Вычисление определённого интеграла.

 

5.1. Формула Ньютона – Лейбница.

.

Например,

 

5.2. Интегрирование подстановкой. Замена переменной.

Теорема. Если:

1)  и её первообразная  непрерывны на отрезке .

2)множество значений функции  при  является множество, заполняющее отрезок от [а;в].

3) и при этом ,

то   (*) - формула замены переменной.

Доказательство: Пусть F( x) – первообразная для функции f( x) на отрезке [а;в].

Тога по формуле Ньютона- Лейбница   (1).

Покажем, что (1) равна (*).

 Тогда  является первообразной для функции (1) на отрезке .

Тогда по формуле Ньютона – Лейбница

Отметим некоторые особенности этой формулы:

 1) при вычислении определённого интеграла по формуле (1) возвращаться к старой переменной не надо.

2) часто вместо подстановки применяют подстановку .

3) обязательно надо менять пределы интегрирования при замене переменной.

Примеры:

1)

 5.3. Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема: Если функции u= u( x) и v= v( x) имеют непрерывные производные на [а;в], то имеет место

(2).

Доказательство: для всех : любые (uv)’=u’v+uv’=>uv являются первообразной для u’v+uv’;тогда при любых  справедливо равенство:

Примеры:

§6.  Геометрическое применение определённого интеграла.

6.1. Вычисление площадей плоских фигур.

 

Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (f(x)≥0), равна определенному интегралу:

(1)

S-?: y= ; y=0; x=0;x=1.                                                    

  Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0) ,то площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, взятому с противоположным знаком («-»).

(2)

Пример: у= ; у=0; х=-1; х=-2.

х=-2 х=-1 у

                               S=

 

 

                                    

                                  х

 

Формулы 1 и 2 можно объединить: S= (3)

Площадь фигуры ограниченной кривыми  и , прямыми х=а и х=в при условии, что  для всех , находятся по формуле   (4)

 

у

                                                             

 

     а                  в х

 

Пример: Найти S трапеции, ограниченной ; .

                                                        

                                                      

 

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу её можно разбить на части, так, чтобы можно было применить уже известные формулы.

                                    

 

;

Пример: Вычислить S фигуры, ограниченной осью Ох,  и у= sin x; y= cos x.

 

sin x=cos x*cos x

tg x=1

x= ; n

 

Аналогично если криволинейная трапеция ограничена прямыми у=с и у= d, осью Оу и непрерывной кривой х=φ(у) 0

 

 

 

Пример: Найти S фигуры, ограниченной кривой ; у=8 и осью Оу.

 

         

 

6.2. Вычисление объёма тела вращения.

1)Пусть криволинейная трапеция аАВв, ограниченная графиком неопределённой функции y=f(x) 0, прямыми х=а; х=в и отрезком оси абсцисс, вращающейся вокруг оси Ох.

                                

 

Эта трапеция опишет тело, которое называется телом вращения. Найдем его объём(V).

Разделим отрезок  на части точками . Через точки деления проведём плоскости, перпендикулярные оси Ох, в результате получаются поперечные сечения, которые представляют собой окружности радиуса . В результате такого деления всё тело разделяется на

i-го тела с высотой

Тогда, объём всего тела .

 

2) Внутри каждого частичного отрезка  возьмём точку  и проведём через неё поперечное сечение. Заменим каждый i-тый слой с объёмом  с высотой  и основанием, полученным в результате сечения через точку ( ).

3) Составим сумму объёмов элементарных цилиндров   (1)

Сумма (1) есть интегральная сумма  на отрезке . Эта сумма ≈ объёму тела V.

4) Выберем шаг деления - наибольшее из d , при .

5) За объём тела вращения примем lim интегральной суммы (1) при , т.е.   (2)=

Если предел (2) существует и конечен, а f(x)- непрерывная функция, то предел (2) существует и равен определённому интегралу функции  на .

(3)

=

Замечание: Если криволинейная трапеция cCDd ограничена графиком напрерывной функции ; прямыми у=с, у=d и отрезком оси ординат, вращающимся вокруг оси Оу, этот объём тела вращения равен   (4)

 

Примеры:

1)Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями ; у=0, х=2

 

у

 

 

2) Найти объём тело, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной ; х=0; у=4.

.

 

§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).

 существует, если выполняется условие:

1) промежуток интегрирования - конечный.

2) Подъинтегральная функция f( x) непрерывна на .

Такие интегралы называют собственными.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то такой интеграл называют несобственным.

когда нарушается первое условие, т.е. промежуток интегрирования бесконечен либо на верхнем, либо на нижнем, либо на обоих.

Пусть функция f( x) непрерывна на . Если существует конечный предел lim f( x) dx, т.е. его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают:

(1)

Если lim (1)=∞ или не существует, то говорят, что данный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на    (2).

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой: (если f(x) непрерывна для всех )

 

Геометрический смысл:

Если функция ; то промежуток (а;+∞).

Примеры: вычислить несобственные интегралы и установить их расходимость.

1)  - расходится.

2)  - сходится.

3)  - сходится.

 

Интеграл Пуассона.

 Несобственный интеграл      -интеграл Пуассона. Это равенство доказано.

 

 

Кратные интегралы.

8.1.Двойные интегралы.

Пусть область Д – некоторая замкнутая и ограниченная область на плоскости ХОУ.

И в этой области определена некоторая непрерывная функция z= f( x; y).

Разобьём область Д на n- произвольных частей. Площади каждой части обозначим  В каждой из частичных областей возьмём произвольную точку: .

(1)- интегральная сумма для функции z= f( x; y) на области Д.

Назовём диаметром области d – наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Пусть  - шаг разбиения.

Определение. Если интегральная сумма (1) имеет предел при , то этот предел называется двойным интегралом от функции z= f( x; y) по области Д и обозначается:

(2)

dS=dxdy

При вычислении двойного интеграла используется теорема о сведении двойного интеграла к повторному, т.е. т.о. возможности дважды применить процесс обычного интегрирования.

Теорема. Пусть функция z= f( x; y) ограничена и интегрируема в области Д. Область  Д ограничена сверху и снизу двумя непрерывными кривыми .

Пусть для каждого х из отрезка  существует определенный интеграл.

 - (внутренний интеграл.)

Тогда существует повторный интеграл:  и двойной интеграл функции f( x; y) по области Д:  (3)

В формуле (3) при вычислении внутреннего интеграла переменную х считают Const.

 

 

Пример: Найти двойной интеграл: , если область Д ограничена у=х, у=2х, х=0, х= ln2.

(*)

 

 

 

(смотреть*)

 8.2. Тройные интегралы.

Пусть область V – некоторая замкнутая и ограниченная область в пространстве xOyz.

В этой области определена произвольная ограниченная функция u= f( x; y; z). Разобьём область V на n-произвольных частей. - объём этих частей.

В каждой из частей возьмём точку  и составим произведение:

(4)- интегральная сумма для функции

u= f( x; y; z) в области V.

 - шаг разбиения – наибольшее из всех диаметров частичных объёмов.

Если существует предел интегрирования суммы (4) при  и он равен конечному числу, то он называется тройным интегралом от функции u= f( x; y; z) по области V:

(5)

(dV=dxdydz)

Теорема. (смотреть график выше) Если область V представляет из себя следующее:

ограничена поверхностями:

 - проекции этих поверхностей на плоскости хОу.

х=а

х=в

И тогда формула для вычисления тройного интеграла:

 

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920

Поделиться: