Стохастические задачи синтеза по полным данным

Стохастические задачи синтеза по полным данным

Перейдем к рассмотрению задач синтеза оптимального управления при действии случайных факторов. Предполагается, что априорные стохастические характеристики действующих возмущений известны, и поэтому они могут быть учтены при формировании алгоритма управления. Именно такие задачи называются стохастическими задачами синтеза.

Будем различать два типа стохастических задач синтеза: задачи управления по полным данным и задачи управления по неполным данным.

В первом случае, при управлении по полным данным, предполагается, что формирование управления u осуществляется при наличии полной информации о текущем состоянии объекта (см. рис. 18.1). Другими словами, в любой момент времени может быть точно измерен полный вектор состояния x. Вектор измерений y в этом случае просто совпадает с векторм состояния x.

Во втором случае, при управлении по неполным данным, считается, что измерению доступны лишь часть компонент вектора состояния, либо другой вектор y, связанный с вектором состояния x, но не совпадающий с ним.

Обсуждение начнем с более простого случая управления по полным данным. Как и в детерминированных задачах синтеза,  используем достаточные условия оптимальности. Сначала рассмотрим случай дискретного, затем непрерывного управления.

Рис.	18.1	Блок-схема системы управления

 

Линейные непрерывные системы, оптимизируемые по квадратичному критерию

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления  линейной непрерывной системой

,

(18.84)

полагая, что ограничения на управление отсутствуют, а x является белым шумом с характеристиками (18.72). В качестве критерия, подлежащего минимизации, примем интегро-терминальный критерий

(18.85)

Будем считать матрицу W положительно опре­деленной.

Для решения задачи обратимся к достаточным условиям оптимальности. В данном случае стохастическое уравнение Беллмана (18.83) принимает вид

(18.86)

с граничным условием

(18.87)

Найдем характеристики  и  марковского процесса (18.84). Раскрывая в выражениях (18.80) пределы с учетом (18.84) и (18.74), получаем:

	(18.88)

Таким образом, вектор сноса случайного процесса  - представляет собой правую часть уравнения (18.84) при отсутствии возмущений, а матрица коэффициентов диффузии совпадает с матрицей интенсивностей белого шума и не зависит ни от x, ни от u. С учетом (18.88) уравнение Беллмана (18.86) принимает вид

(18.89)

Отсюда находим связь оптимального управления с функцией будущих потерь

(18.90)

С учетом (18.90) получаем окончательно следующее уравнение для функции будущих потерь

(18.91)

Покажем, что решение этого уравнения с учетом граничного условия (18.87) имеет вид

(18.92)

Подставляя это выражение в уравнение (18.91), получаем

(18.93)

Уравнение (18.93) обращается в тождество при любых х, если матрица L и скаляр с удовлетворяют уравнениям

	(18.94)

Граничные условия для этих уравнений следуют из сравнения выражений (18.92) и (18.87) и имеют вид

(18.95)

С учетом выражения (18.92) алгоритм оптимального управления (18.90) окончательно принимает вид

(18.96)

где матрица коэффициентов обратной связи запишется как

(18.97)

Таким образом, как и в дискретном случае, закон оптимального управления линейной стохастической системой является линейным. Более того, он полностью совпадает с законом оптимального управления соответствующей детерминированной системой. Итак, аддитивное случайное возмущение типа белого шума  в линейной системе не влияет на алгоритм оптимального управления при использовании квадратичного критерия, а сказывается лишь на величине функции будущих потерь  и, следовательно, на общем значении критерия оптимальности. Другими словами, такие системы можно синтезировать, не учитывая аддитивных случайных возмущений, влияние которых следует оценивать лишь при анализе точности работы замкнутой системы.

 

Упражнение 1. Убедиться в том, что функция будущих потерь (18.92) с учетом соотношений (18.94) и (18.95) является решением уравнения (18.91).

Упражнение 2. Получить обобщение найденного решения на случай управления системой (18.94) с использованием критерия оптимальности

ЛИТЕРАТУРА

1. Аоки М. Введение в методы оптимизации. – М.: Наука, 1977.

2. Брайсон А., Хо-Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. - М,: Мир, 1972.

3. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. - М.: Наука, 1973.

4. Гаврилов В.М. Оптимальные процессы в конфликтных ситуациях. - М.: Советское радио, 1969.

5. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. - М.: Наука, 1972.

6. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. - М.: Наука, 1976.

7. Зайченко Ю.П. Исследование операций. –Киев: Высшая школа, 1979.

8. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. – М.: Советское радио, 1973.

9. Кибзун А.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями.- М.: Физматлит, 2009.

10. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1973.

11. Лебедев А.А. Введение в анализ и синтез систем. - М.: МАИ, 2001.

12. Лебедев А.А., Бобронников В.Т., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Статистическая динамика управляемого полета. - М.: .Машиностроение, 1978.

13. Летов А.М. Динамика полета и управление. - М.: Наука, 1969.

14. Лэсдон Л.С. Оптимизация больших систем. – М.: Наука, 1975.

15. Малышев В.В. Конспект лекций по курсу " Теория оптимальных систем". - М.: МАИ, 1974.

16. Малышев В.В. Методы оптимизации сложных систем. - М.: МАИ, 1981.

17. Малышев В.В. Программирование оптимального управления летательными аппаратами. - М.: МАИ, 1982.

18. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1987.

19. Малышев В.В, Кибзун А.И. Метод решения стохастических задач управления с вероятностными ограничениями.- Труды Всесоюзного совещания по статистическим методам в процессах управления. - Алма-Ата, 1981.

20. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1989.

21. Малышев В.В., Карп К.А. Вероятностный анализ и управление. - М.: МАИ, 2003.

22. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.

23. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем.- М.: Наука, 1975.

24. Моисеев Н.Н. Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978.

25. Немировский А.С, Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. - М.: Наука, 1980.

26. Основы синтеза систем летательных аппаратов. Пол редакцией Лебедева А.А. - М.: МАИ, 1996.

27. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.

28. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. - М.: Наука, 1973.

29. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. -М.: Наука, 1968.

30. Решетнев М.Ф., Лебедев А.А., Бартенев В.А. и др. Управление и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах. - М.: Машиностроение, 1988.   

31. Смирнов О.Л., Падалко С.А., Пиявский С.А. САПР: формирование и функционирование проектных модулей. - М.: Машиностроение, 1987.

32. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Неоинейное программирование. Методы последовательной безусловной оптимизации. – М.: Мир, 1972.

33. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. – М. Мир, 1967.

34. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975.

35. Шкадов Л.М. и др. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. - М.: Машиностроение, 1972.

36. Шор Н.Э. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1979.

37. Черноусько Ф.Л., Боничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления - М.: Наука, 1973.

38. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. – М.: Наука, 1969.

 

Стохастические задачи синтеза по полным данным

Перейдем к рассмотрению задач синтеза оптимального управления при действии случайных факторов. Предполагается, что априорные стохастические характеристики действующих возмущений известны, и поэтому они могут быть учтены при формировании алгоритма управления. Именно такие задачи называются стохастическими задачами синтеза.

Будем различать два типа стохастических задач синтеза: задачи управления по полным данным и задачи управления по неполным данным.

В первом случае, при управлении по полным данным, предполагается, что формирование управления u осуществляется при наличии полной информации о текущем состоянии объекта (см. рис. 18.1). Другими словами, в любой момент времени может быть точно измерен полный вектор состояния x. Вектор измерений y в этом случае просто совпадает с векторм состояния x.

Во втором случае, при управлении по неполным данным, считается, что измерению доступны лишь часть компонент вектора состояния, либо другой вектор y, связанный с вектором состояния x, но не совпадающий с ним.

Обсуждение начнем с более простого случая управления по полным данным. Как и в детерминированных задачах синтеза,  используем достаточные условия оптимальности. Сначала рассмотрим случай дискретного, затем непрерывного управления.

Рис.	18.1	Блок-схема системы управления

 

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: