Расчеты при начислении простых процентов

Начисление простых процентов может происходить дискретно в зависимости от условий договора раз в год, полугодие, квартал или месяц. Иногда проценты начисляют и за более короткий срок.

Пусть задана исходная стоимость денег PV. Наращенную (будущую) сумму денег через определенный период обозначим через FV; число процентных периодов, т.е. периодов начисления процентов – n; ставку процентов за период – i.

Тогда простые обычные проценты за один процентный период начисляются следующим образом: PV * i

Следовательно, в конце первого процентного периода сумма денег составит PV + PV * i = PV *(1+ i ).

В конце второго процентного периода сумма увеличится еще на PV * i и составит: PV *(1+ i )+ PV * i = PV (1+2 i ).

В конце третьего – PV (1+2 i )+ PV * i = PV *(1+3 i ) и т.д.

Наконец, в конце n-го процентного периода наращенная сумма составит: PV *[1+( n -1)* i ]+ PV * i = PV *(1+ ni ).

Таким образом, процесс наращения суммы денег за счет начисления простых процентов моделируется как арифметическая прогрессия с первым членом PV и разностью PV * i

Следовательно, наращенная сумма денег за счет начисления простых процентов заn процентных периодов времени имеет вид:

                                                 (2.1)

Формулой (2.1) можно воспользоваться, например, для исчисления суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты; размера срочного вклада с процентами и пр.

Определение: Множитель  называется множителем наращения простых процентов. Он показывает, во сколько раз увеличилась сумма вклада (или долга) к концу срока финансовой операции.

Сумма начисленных процентных денег может быть определена по формуле: . Разность  называется дисконтом.

 

Пример. Вклад 100 000 у.е. размещен в сберегательный банк на 3 года под обычные простые проценты 4, 5 % годовых. Определите наращенную сумму вклада.

Решение: из условия задачи PV =100000 у.е., i =0, 045; n =3 года. Найдем наращенную сумму вклада по формуле (2.1): FV = PV *(1+ in )=100000*(1+0.045*3)=100000*1.135=113500 у.е.. Наращение суммы вклада (процентные деньги) составит 13500 у.е.

 

В рассмотренном примере срок финансовой операции составляет 3 года. Однако, как правило, к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд, срок которых менее года (n< 1). Рассмотрим более общий случай, когда n не является целым числом.

Отметим, что при использовании формулы (2.1) размерности n и i должны быть согласованы. Если n измеряется в годах, то i – ставка годовых процентов (показывает рост за год).

В случае если продолжительность финансовой операции не равна целому числу лет, периоды начисления процентов n выражают дробным числом, как отношение продолжительности финансовой сделки в днях к количеству дней в году (или отношение продолжительности финансовой сделки в месяцах к числу месяцев в году).

Обозначим срок операции t. В качестве временной базы выберем продолжительность года, выраженную в тех же единицах, что и t. Обозначим ее Y (year – год). Подставим отношение  вместо n в формулу (2.1), получим формулу (2.2)

                                 (2.2)

Иногда при расчете простых процентов предполагают, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом. Проценты, рассчитанные по временной базе Y=360 дней, называются обыкновенными или коммерческими процентами (ordinary interest). При использовании действительной продолжительности года (365 или 366 дней) получают точные проценты.

Число дней финансовой операции также можно измерить приближенно и точно. В первом случае ее продолжительность определяется из условия, согласно которому месяц принимается равным 30 дням. Точное число дней финансовой операции определяется путем подсчета числа дней между датой ее начала и датой ее окончания по календарю. Первый и последний день финансовой операции считается за один день. На практике для подсчета ее продолжительности можно пользоваться табл. 1 и 2 (приложение 1). В указанных таблицах приведены порядковые номера дней в обычном году в високосном году. Срок проведения финансовой операции рассчитывается как разность между порядковыми номерами даты ее окончания и даты начала. Таким образом, на практике применяют три варианта расчетов:

1) Точные проценты с точным числом дней ссуды.

Этот вариант дает самые точные результаты и обозначается 365/365. Он применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например в Великобритании.

2) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Франции. Он обозначается как 365/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

3) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии. Этот метод обозначается как 360/360.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

Пример. Ссуда в размере 1 млн. у.е. выдана 20 января до 5 октября включительно под 18 % годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока? Найти решение тремя способами.

Решение: Определим точное число дней ссуды. Дате 20 января соответствует № 20 (приложение 1). Дате 5 октября – № 278. Таким образом, точное число дней ссуды составит 258 дней (278 – 20).

Определим приближенное число дней ссуды. При этом продолжительность каждого месяца принимается за 30 дней. Количество полных месяцев срока ссуды равно 8 (с 20 января по 20 сентября). Срок от 20 сентября по 5 октября составляет 15 дней: (30-20)+5. Приближенное число дней ссуды рассчитывается таким образом: 8·30+15=240+15=255 дней.

Определим величину долга в конце срока тремя методами:

1.Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

= у.е.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360)

=1129000 у.е.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

FV=1000000*(1+ )*0.18)=1127500 у.е.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: