Тема 1.3 Динамика вращательного движения

 

План

Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращения

Момент силы и момент импульса

Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращения

Движение твердого тела (ТТ), при котором все точки прямой OO^/, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси вращения OO^/.

При рассмотрении вращательного движения пользуются понятием момента инерции материальной точки твердого тела, являющимся наряду с массой мерой инертности тела, но при непоступательном (вращательном) движении. С точки зрения инерции важна не только масса, но и расстояние ее от оси вращения.

Моментом инерции материальной точки I относительно заданной оси называется физическая скалярная величина, равная произведению массы m на квадрат ее расстояния  до оси:

;                                                                                                      (1.62)

для системы материальных точек:

.                                                                                      (1.63)

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно определить расчетом или экспериментально. В случае непрерывного распределения вещества (массы) в теле (ТТ) расчет сводится к вычислению интеграла по всему его объему V (массе) (мысленно разбиваем обычно однородное тело на материальные точки dm):

.                                                                                        (1.64)

Аналитическое вычисление интегралов возможно лишь в простейших случаях – для тел правильной геометрической формы (цилиндр (стержень, кольцо, диск), параллелепипед, шар и т.д.), для тел неправильной формы интегралы находятся численно.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, а также теорему Штейнера.

 

Рисунок 1.17 – К определению теоремы Штейнера

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух неподвижных параллельных осей. Пусть оси перпендикулярны плоскости рисунка и проходят соответственно через точки О и А (все точки находятся в плоскости рис. 1.17).

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через его центр масс С, сложенному с величиной ma², где а – расстояние между осями, m – масса тела.:

,                                                                                                (1.65)

Далее вычисляют моменты инерции некоторых тел правильной формы.

1. Тонкий однородный стержень (длина l, масса m, Þ линейная плотность t=m/l=const):

а) ось вращения ОО^/ проходит перпендикулярно стержню через его центр масс С

Рисунок 1.18 – Тонкий однородный стержень

 

В силу симметрии получают:

;                                           (1.66)

б) ось вращения АА^/ проходит перпендикулярно стержню через его конец. По теореме Штейнера (1.63) получают:  

.                                                                      (1.67)

2. Однородное тонкое круглое кольцо (масса m, радиус R, ). В силу симметрии очевидно (рис. 1.19), что

,                                                                                               (1.68)

в силу симметрии

.                                                                                            (1.69)

Рисунок 1.19                                         Рисунок 1.20

Тонкое круглое кольцо               Однородный диск

3. Однородный диск или сплошной цилиндр (масса m, радиус R, объемом V). Начало координат (пересечение) трех взаимно перпендикулярных осей располагают в центре масс цилиндра (можно аналогично случаю 2, а) сместить все вещество вдоль оси ОZ, т.е. получить тонкий диск малой толщины h^/, плотности r=m/V¢, V¢ =p× R²h¢ – объем после смещения, см. рис. 1.20), для которого

.             (1.70)

Согласно уравнению (1.65) имеют:

.                                                                                         (1.71)

Рисунок 1.21 – Полый шар с бесконечно тонкими однородными стенками

 

4. Полый шар с бесконечно тонкими однородными стенками (сфера массы m, радиуса R). Расположим начало координат (пересечение) трех взаимно перпендикулярных осей в центре сферы, в ее центре масс С (рис. 1.21), тогда в силу симметрии и формулы (1.71):

.                                                               (1.72)

5. Сплошной однородный шар (масса m, радиус R, объем V). Расположим начало координат (пересечение) трех взаимно перпендикулярных осей в центре шара и рассмотрим шар как совокупность тонких сфер. Момент инерции такого тонкого сферического слоя по формуле (1.68) будет иметь вид:

,

тогда момент инерции шара:

.                                                                                  (1.73)

В некоторых задачах используется понятие момента инерции относительно точки. Поскольку ориентация различных элементов тела (ТТ) относительно его произвольной точки должна задаваться тремя координатами, то его инертность должна характеризоваться набором 9 чисел – тензором инерции (в математике используются скаляры – одно число, векторы – тройки чисел и тензоры – запись их представляет собой матрицу III порядка).

Если работа силы идет только на вращение тела, т.е. на увеличение кинетической энергии (КЭ) вращения, то

.

При увеличении скорости вращения от 0 до w КЭ вращения равна

.                                                                (1.74)

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: