Условие равновесия тела, имеющего ось вращения.

 

Если сумма всех действующих на тело сил равна нулю, то это еще не значит, что данное тело находится в состоянии покоя. Можно лишь утверждать, что оно не движется поступательно, то есть с ускорением, одинаковым по значению и направлению для всех его частей.

Если, например, приложить к телу две силы (рис. 1.23), равные по числовому значению, но противоположно направленные (и такие, чтобы линии их действия не совпадали), то для них условие равновесия выполняется: векторная сумма сил равна нулю. Но тело, не перемещаясь поступательно, все-таки движется – оно вращается. Как видим, условие равенства нулю векторной суммы сил является необходимым, но недостаточным условием равновесия тела.

 

Рисунок 1.32

 

Выясним, какое еще условие, кроме равенства нулю векторной суммы сил, должно выполняться, чтобы тело находилось в равновесии.

Закрепим на штативе тело так, чтобы оно могло поворачиваться вокруг оси О (рис. 1.33), перпендикулярной к плоскости страницы. Приложим к различным точкам тела силы и попытаемся осуществить поворот тела. Мы убедимся, что силы , и  линии действия которых проходят через ось вращения О, не вызывают поворота тела. Любая такая сила уравновешивается силой реакции закрепленной оси.

Поворот тела (или его вращение) могут вызвать только те силы, линии действия которых не проходят через ось вращения. Сила , например, линия действия которой проходит на определенном расстоянии OAот оси вращения О (рис. 1.34), заставляет тело поворачиваться по часовой стрелке, а сила , линия действия которой проходит на расстоянии ОВ от оси вращения О (рис. 1.35), поворачивает тело против часовой стрелки.

Очевидно, поворот (или вращение) тела вокруг оси под действием одной силы  можно остановить действием другой силы . Опыт показывает, что если две силы  и в отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их совместном действии тело будет находиться в равновесии, если выполняется условие (рис. 1.36):

 

                                          Рисунок 1.33                               Рисунок 1.34

 

                                          Рисунок 1.35                   Рисунок 1.36

Действие силы на тело, имеющее ось вращения, зависит не только от значения силы, но и от расстояния линии действия этой силы до оси вращения. Действие силы, значительной по модулю, можно уравновесить небольшой по модулю силой, приложив ее подальше от оси вращения. Кратчайшее расстояние от оси вращения к направлению приложенной силы (линии действия силы) называют плечом силы d. На рисунке 1.34 плечо силы - это расстояниеd ₁= OA, плечо силы - этоd ₂ = ОВ. Произведение модуля силыFи плечаdназывают моментом силы относительно оси вращения:

M = Fd                                                                                     (1.90)

Слова «относительно оси» в определении момента необходимы. Дело в том, что не изменяя ни модуль силы, ни направление ее действия, можно получить другое значение момента силы. Для этого достаточно перенести ось вращения из точки О (см. рис. 1.33-1.36 в любую другую точку, то есть изменить плечо силы.

Момент силы зависит от двух величин: от модуля самой силы и от ее плеча. Один и тот же момент можно создать небольшой силой, плечо которой большое, и большой силой с малым плечом. В этом можно убедиться на таком простом примере. Попытайтесь открыть дверь, нажимая на нее с большой силой вблизи петель, на которых она вращается (рис. 1.37). Этому может помешать даже ребенок, случайно нажавший с небольшой силой на дверь вблизи ее ручки в противоположную сторону.

Рисунок 1.37

Точно так же вы не сможете отвинтить гайку пальцами или гаечным ключом, нажимая на него вблизи гайки, и легко отвинтите, если перенесете точку приложения силы подальше от гайки.

Для новой величины – момента силы – необходимо знать единицу измерения. Из выражения М= F∙ dследует, что за единицу вращающего момента в СИ нужно взять момент силы в 1 Н, линия действия которой находится на расстоянии 1 м от оси вращения. Эту единицу называют ньютон - метром (Н-м).

Моментам силы приписывают определенные знаки: если сила вращает тело вокруг оси по часовой стрелке, момент положительный, а если против часовой стрелки, - отрицательный. Тогда моменты сил  и относительно оси О (см. рис. 1.33) имеют противоположные знаки и их алгебраическая сумма равна нулю. Таким образом, можно записать условие равновесия тел с закрепленной осью вращения:

                                                                                             (1.91)

Тело с неподвижной осью вращения находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов приложенных к нему сил относительно этой оси равна нулю.

Правило моментов сформулировано нами для случая, когда на тело действуют только две силы. Можно погашать, что это правило верно и тогда, когда на тело действует несколько сил.

Если ось вращения закреплена, то тело под действием сил  и будет ее деформировать (то есть другое тело, на которое оно насажено, как на ось). Деформация будет такой, чтобы сила упругости действующая на тело со стороны оси, уравновесила сумму сил  и , стремящихся сместить тело. Таким образом, будет выполнено и первое условие равновесия тела: сумма всех трех сил , и равна нулю (рис. 1.38-б).

 

Рисунок 1.38

Следовательно, чтобы закрепленное на оси тело находилось в равновесии, одновременно должны выполняться два условия. Во-первых, сумма всех действующих на тело сил должна равняться нулю.

Во-вторых, сумма моментов сил относительно данной оси тоже должна равняться нулю.

Оба сформулированные выше условия равновесия часто применяют при расчетах сил, действующих на различные части механизмов и сооружений. При помощи правила моментов можно найти не только силы, но и точки приложения этих сил, или, как говорят, распределение нагрузок. Кроме того, правило моментов сил позволяет объяснить действие простых механизмов – рычага, блока, клина, винта, наклонной плоскости и т. п.

Примеры задач по данной теме

Задача №1. Однородное бревно длиной lи массой m = 100 кг лежит на двух опорах. Расстояние от правого конца бревна до ближней опоры равно , а от левого -  С какой силой давит бревно на каждую опору? Какую минимальную силу нужно приложить, чтобы немного приподнять бревно за правый конец?

Решение. Выберем координатную ось так, чтобы она прошла через точку А (рис. 1.38). Запишем условие равновесия бревна:

;

где N₁ и N₂– силы реакции опор. Отсюда найдем:

,

Согласно третьему закону Ньютона бревно давит на опоры с силами  и равными по модулю силам и  но противоположно направленными. Следовательно,  = 400 Н, =600 Н.

                                     Рисунок 1.39                               Рисунок 1.40

Запишем теперь условие равновесия для случая, если бревно приподнято за правый конец:

,

Задача 2. Шар массой mопирается на две гладкие плоскости, образующие двугранный угол. Нижняя пло­скость наклонена к горизонту под углом α, а верхняя – под углом β к нижней (рис. 31). Определить силы давления шара на плоскости.

Решение. Запишем правило моментов сил относительно точки А:

отсюда

Точно с такой же по модулю силой шар давит на верхнюю плоскость.

Силу N₁ определим из правила моментов сил относительно точки В:

,

отсюда

Точно с такой же по модулю силой шар давит на нижнюю плоскость.

 

Цент тяжести.

При решении задач нам часто приходилось использовать силу тяжести. Мы всегда при этом говорили, что сила тяжести для тела массой m равна , но ничего не говорили о точке приложения этой силы. А между тем она существует в каждом теле. Ее можно обнаружить при помощи такого простого опыта.

Наденем тело на горизонтальную ось и дадим ему возможность свободно вращаться вокруг этой оси. Тело примет определенное положение – положение равновесия. Равновесие этого тела, очевидно, связано с тем, что выполняются все условия равновесия. На тело действуют две силы: сила тяжести , точку приложения которой мы пока не знаем, и сила упругости  со стороны оси О, уравновешивающая действие силы тяжести. Сумма моментов этих сил должна равняться нулю. Собственно говоря, нулю должен равняться момент силы тяжести, поскольку момент силы упругости  равен нулю при любом положении тела.

Но стоит только немного отклонить тело от положения равновесия, как оно начнет двигаться: тело будет вращаться вокруг оси, возвращаясь к положению равновесия. Отсюда можно сделать вывод, что в отклоненном положении плечо силы уже не равно нулю. А это значит, что в данном теле имеется точка, смещающаяся вместе с телом при отклонении его от положения равновесия (рис. 1.41).

 

Рисунок 1.41                   Рисунок 1.42

Точку приложения силы тяжести определить просто. Если тело находится в состоянии равновесия, то эта точка должна лежать на вертикали, проходящей через точку крепления тела. Следовательно, достаточно дважды подвесить тело за произвольно выбранные точки и провести через них вертикальные прямые. В месте пересечения этих линий и находится точка приложения силы тяжести, которую называют центром тяжести.

Обычно такой способ определения центра тяжести пригоден только для плоских тел. В общем случае приходится подвешивать тело трижды.

Для однородных симметричных тел предугадать положение центра тяжести можно по характеру симметрии. Например, центр тяжести диска или шара должен находиться в геометрическом центре этого поля. То же самое можно оказать и о центре тяжести прямоугольного параллелепипеда. Центр тяжести может оказаться и вне тела, как, например, у кольца.

Центр тяжести можно определить и с помощью вычислений. Идея этого способа основана на том, что момент силы тяжести относительно оси, проходящей через центр тяжести, должен быть равен нулю. Объясним это на таком примере.

Возьмем два тела с массами m₁ и m₂, соединенные невесомым стержнем так, что они образуют вместе одно целое (рис. 1.42). Размеры тел будем считать ничтожно малыми по сравнению с расстоянием между ними. Найдем общий центр тяжести тел m₁ и m₂.

Очевидно, центр тяжести должен находиться на ли­нии, соединяющей телаm₁ и m₂: если одно из этих связанных тел подвесить, то стержень займет вертикальное положение. Остается определить, в каком именно месте на стержне находится центр тяжести.

Если бы мы знали это место, то смогли бы закрепить стержень на горизонтальной оси, проходящей черев центр тяжести О (рис. 1.43). Тогда и сам стержень можно было бы разместить горизонтально, и он оставался бы в положении равновесия. Положению равновесия отвечает равенство нулю суммы моментов сил и , плечи которыхd ₁иd ₂нам предстоит определить:

                                                                                            (1.92)

Отсюда получим уравнение, связываю­щее массы тел и расстояния до них от центра тяжести:

                                                                                                        (1.93)

и задача, по сути, решена. Таким образом, Общий центр тяжести двух тел делит расстояние между ними в отношении, обратном отношению их масс.

Воспользовавшись уравнением (1.93), можно найти центр тяжести и более сложного тела. Для этого нужно мысленно разделить его на части, размеры которых малы по сравнению с размерами самого тела. Потом нужно применить правило (1.93) для любых его двух частей m₁ и m₂ и найти их общий центр тяжести. Это будет точка приложения силы тяжести Аналогично можно найти общий центр тяжести для тела и следующей части m₃. Это будет точка приложения силы . При таком способе вычислений точка приложения все возрастающей силы тяжести будет «путешествовать». Окончательное ее место расположения – точка приложения силы , то есть центр тяжести данного тела.

Примеры задач по данной теме

Задача1. Четыре однородных шара с массами m₁ = 1 кг, m₂= 5 кг, m₃= 7 кг и m₄= 3 кг закреплены на невесомом стержне так, что их центры находятся на равных расстоянияхd=0, 2 м друг от друга. Найти положение центра тяжести системы.

Решение. Укажем положение центров тяжести шаров на оси н силы, приложенные к этим центрам (рис. 1.43). Допустим, что центр тяжести системы О расположен слева от шара m₃ на расстоянии х от него. Запишем правило моментов сил относительно центра тяжести О:

,

отсюда х=0, 05м.

Следовательно, центр тяжести системы находится на расстоянии 0, 25 м от шара m₄.

                                          Рисунок 1. 43                  Рисунок 1.44

Задача 2. Из однородной круглой пластинки радиусаR= 9 см вырезали круг в два раза меньшего радиуса так, что вырез касается края пластинки. Определить положение центра тяжести пластинки с вырезом.

Решение. Обозначим через mмассу целой круглой пластинки радиуса R. Ее центр тяжести находится в центре круга О (рис. 1.44). Пусть m₁– масса вырезанного круга. Тогда масса пластинки с вырезом и ее центр тяжести, вследствие симметрии, переместится в точку С на расстояние х от точки О. Запишем условие равенства моментов сил относительно точки О:

.

Поскольку пластинки однородны, то пропорциональны их площадям. Тогда .

,

где k – коэффициент пропорциональности. Подставив эти значения m иm₁ в условие равновесия, получим:

,

отсюда

.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: