Момент силы и момент импульса

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 16Следующая ⇒

Вращение является составляющей большинства рассматриваемых в механике движений. Каждый день мы являемся свидетелями великого космического вращения. Данные последних теоретических исследований говорят, что всё вокруг и мы сами по свойствам напоминаем вращающиеся с большой частотой поля.

Динамические характеристики – момент силы и момент импульса, используемые при описании вращательного движения, играют в теории вращательного движения такую же большую роль, какую сила и импульс играют в динамике поступательного движения.

Рисунок 1.22 - К определению момента силы и момента импульса

Известно, что передвинуть массивный предмет (например, ящик) вручную тяжело, гораздо легче передвинуть его с помощью длинной палки, трубы (лома), т.е. перекантовать с помощью рычага, причем, чем длинней этот рычаг, тем легче это сделать (прикладывается меньшая сила при большей длине рычага (см. рис. 1.22)). Вспомним знаменитое изречение Архимеда (ок. 286–212 гг. до н.э.): «Дайте мне точку опоры (и рычаг) и я переверну Землю».

Другой пример – взвешивание предметов на весах (см. рис. 1.23): при равных плечах (силы) весов l_i перевесит тот груз, масса которого m_i больше, а если массы грузов равны, то перевесит груз, для которого плечо силы l_i больше.

Рисунок 1.23 – К определению момента силы и момента импульса

Следует различать момент силы и момент импульса относительно точки и относительно оси, в первом случае – это вектора, а во втором – проекции векторов (скаляры).

Рисунок 1.24 - К определению момента силы и момента импульса

Пусть дана точка О (полюс), относительно которой находится момент силы. Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение (вектор) радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы на вектор :

(1.75)

Модуль момента силы:

, (1.76)

где l=rsina – кратчайшее расстояние до линии АВ действия силы (рис.1.24), называемое плечом силы l.

При этом вектор не изменится, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы, например в точку А^/. При этом параллелограмм ОАВС перейдет в параллелограмм ОА^/В^/С. Оба параллелограмма имеют одинаковые основание и высоту, а следовательно, и площадь.

При повороте тела под действием силы на бесконечно малый угол точка приложения силы А проходит путь и работа равна:

(1.77)

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:

(1.78)

Тогда или , откуда уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

(1.79)

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

, (1.80)

где М – момент силы, I – момент инерции тела, ε – угловое ускорение.

Единицы измерения [М]=Н× м (не путать с [А]=Дж=Н× м).

Моментом импульса (количеством движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

(1.81)

где - импульс точки.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z

Рисунок 1.25 – Правило правого винта, для определения направления вектора момента импульса тела

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса со скоростью перпендикулярной радиусу. Момент импульса отдельной частицы равен

(1.82)

и направлен по оси в сторону определяемую правилом правого винта ( совпадает с направлением вектора угловой скорости ) ( рис 1.25

Единицы измерения .

Моментом импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц.

(1.83)

Продифференцируем по времени

(1.84)

В векторной форме уравнение (1.84) – еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела:

(1.85)

В замкнутой системе момент внешних сил , следовательно .

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени:

(1.86)

При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси z закон сохранения момента импульса равносилен:

(1.87)

Сопоставим основные величины и соотношения для поступательного движения тела и для его вращения вокруг неподвижной оси в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Основные величины и соотношения поступательного и вращательного движения

Поступательное движение		Вращательное движение
масса	m	момент инерции	I
перемещение		угловое перемещение
скорость		угловая скорость
ускорение		угловое ускорение
сила		момент силы
импульс		момент импульса
работа		работа
кинетическая энергия		кинетическая энергия
основное уравнение динамики		основное уравнение динамики