Анализ устойчивости замкнутой системы

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 36Следующая ⇒

Замкнутую САУ (регулятор которой подключен к объекту в цепи отрицательной обратной связи) сначала проверяют на устойчивость при заданных значениях параметров настройки регулятора. Неустойчивая система неработоспособна, и нет смысла анализировать качество ее работы.

При исследовании замкнутой системы на устойчивость рассматривают ее так называемое свободное движение, т.е. движение, которое появляется в системе после подачи и снятия возмущающего воздействия.

Русский математик А. М. Ляпунов доказал, что если система, движущаяся свободно, будет устойчивой, то будет устойчивой и система с вынужденным движением, на которую возмущение действует постоянно. Математический анализ на устойчивость системы, движущейся свободно, значительно проще анализа системы с вынужденным движением.

Таким образом, замкнутая система будет устойчивой, если после подачи и снятия возмущающего воздействия она через конечный промежуток времени возвращается в состояние равновесия. Примером свободного движения являются свободные колебания маятника, который качнули.

При свободном движении входной сигнал системы — возмущающее воздействие после снятия отсутствует. Объект и регулятор в свободном движении замкнуты только друг на друга.

Структурная схема САУ, движущейся свободно, изображена на рис. 12.9. На этой схеме х — сигнал связи регулятора с объектом. Для анализа на устойчивость замкнутой системы, движущейся свободно, разорвем ее (см. на схеме место разрыва системы), после чего получим цепь из последовательно соединенных объекта и регулятора. Передаточная функция этой разомкнутой САУ, движущейся свободно, будет иметь вид

Для лучшего понимания последующих математических действий и выводов рассмотрим для примера систему, в которой объект аппроксимирован апериодическим звеном, а регулятор имеет ПИ-закон регулирования, тогда

Следовательно, для данного примера

Если раскрыть эти отношения, получим дифференциальное уравнение свободного движения разомкнутой системы, записанное в операторной форме:

Теперь замкнем систему, движущуюся свободно. При замыкании, поскольку регулятор работает в цепи отрицательной обратной связи, имеет место следующее равенство:

Следовательно, дифференциальное уравнение свободного движения данной замкнутой системы будет имеет вид

или

Однако х_вых._p(p) и х_вх.o(p)- это сигнал х (см. рис. 12.9), поэтому предыдущее дифференциальное уравнение свободного движения данной замкнутой системы можно записать следующим образом:

или после преобразования

В общем виде дифференциальное уравнение свободного движения замкнутой САУ по аналогии можно записать следующим образом:

Если полином в квадратных скобках дифференциального уравнения свободного движения замкнутой системы приравнять к нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы.

Для данной системы характеристическое уравнение будет иметь вид

Характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде следующее:

Характеристическое уравнение, видимо, потому и названо характеристическим, что его корни «характеризуют», будет замкнутая система устойчивой или нет. Для системы, движущейся свободно, неважно в какой точке разомкнули (разорвали) кольцо из объекта и регулятора, т. е. можно записать, что сигнал х = х_вых.о — регулируемый параметр.

Общим решением дифференциального уравнения свободного движения замкнутой сис

τ — текущее время; С_k— постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий свободного движения системы (мощности первоначального возмущающего воздействия); е = 2, 71; р_к— корни характеристического уравнения замкнутой системы; п — количество постоянных интегрирования.

Поскольку характеристическое уравнение замкнутой системы получено из дифференциального уравнения свободного движения замкнутой системы, записанного в операторной форме (преобразованного по Лапласу), оно является алгебраическим.

Корни алгебраического уравнения (характеристического) могут быть действительными, комплексными, положительными и отрицательными. Рассмотрим эти варианты.

1. Все корни характеристического уравнения замкнутой системы действительные и отрицательные.

В этом случае решение дифференциального уравнения свободного движения замкнутой системы можно записать следующим образом:

При τ → ∞ (от нуля, без отрицательных т) в дроби 1/е^p^кτ к бесконечности стремится знаменатель е^ркτ, а сама дробь стремится к нулю.

Следовательно, с течением времени к нулю стремится и каждое из п слагаемых суммы, а также х_вых(τ ) — значение регулируемого параметра в замкнутой системе, движущейся свободно. Значит, после подачи и снятия возмущающего воздействия система с течением времени приходит в состояние равновесия, т.е. такая замкнутая система — устойчивая

2. Один корень характеристического уравнения замкнутой системы положительный (р₁ > 0), остальные — отрицательные (р_к < 0 для 2 < k < п).

В этом случае решение дифференциального уравнения свободного движения замкнутой системы запишем следующим образом:

В этом случае сумма с течением времени стремится к

нулю, но слагаемое непрерывно возрастает.

Следовательно, непрерывно растет и х_вых(τ ) — регулируемый параметр, т.е. замкнутая система будет неустойчивой.

3. Один корень характеристического уравнения равен нулю (р₁ = 0), остальные — отрицательные

Разобьем сумму на два слагаемых:

Здесь второе слагаемое при c течением времени

стремится к нулю, а первое слагаемое

Следовательно, выходной сигнал — регулируемый параметр в такой системе с течением времени приобретает вид незатухающих синусоидальных колебаний с амплитудой С₁ т.е. теоретически замкнутая система находится на границе устойчивости, а практически она неустойчивая.

4. Корни характеристического уравнения замкнутой системы — комплексные числа (р_к= ± т_k ± in_k).

В этом случае решение дифференциального уравнения свободного движения замкнутой системы будет иметь вид

Из предыдущих вариантов ясно, что если все действительные части (т_k) всех комплексных корней характеристического уравнения замкнутой системы отрицательные, то такая система будет устойчивой. Мнимые части комплексных корней (± in_k) характеристического уравнения на устойчивость влияния не оказывают, так как соs(п_kτ ) и sin(п_kτ ) изменяются в пределах от +1 до -1. Однако

от мнимых частей комплексных корней характеристического уравнения зависит колебательность процесса регулирования: с возрастанием п_k быстрее изменяется угол φ = n_kτ и, следовательно, выше частота колебаний процесса регулирования.

Для анализа устойчивости замкнутой САУ удобно корни характеристического уравнения разместить на комплексной плоскости (рис. 12.10). Если все корни (действительные и комплексные) располагаются в левой полуплоскости, то система ус-

тойчивая; если хотя бы один корень характеристического уравнения попадает в правую полуплоскость — система неустойчивая; если действительный корень равен нулю или есть чисто мнимые корни — система находится на границе устойчивости, т. е. практически она неустойчивая. Также чем ближе отрицательный действительный корень к мнимой оси комплексной плоскости, тем меньшим запасом устойчивости обладает замкнутая система, и чем меньше действительная часть комплексного корня характеристического уравнения, тем меньше запас устойчивости.

Как правило, комплексные корни характеристического уравнения замкнутой САУ сопряженные, т. е. р_k = т_k + in_k; р_k₊₁ = т_k₊ ₁ - in_k₊₁.

Следовательно, большая мнимая часть (п_к) комплексных корней характеристического уравнения определяет колебательность или частоту колебаний процесса регулирования, т.е. чем больше угол φ (см. рис. 12.10), тем больше колебаний совершает система, приходя в равновесное состояние.

⇐ Предыдущая 18 19 20 21 222324 25 26 27 Следующая ⇒