![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Алгебраические дополнения и миноры.
1º Минором некоторого элемента 2º Алгебраическое дополнение элемента 3º Определитель равен сумме произведений элементов, какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Например,
Пример 1. Вычислить определитель:
3.Решение системы методом Крамера. Исследование системы.
Решением системы называется совокупность чисел Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решение. Если
при условии, что определитель системы
не равен нулю, имеет следующее единственное решение:
где
1. Элементы двух строк определителя пропорциональны, например: а) если б) если 2. Если найдутся числа
тогда: а) если б) если
Пример 2. Дана система линейных уравнений: Установить, что система совместна и найти её решение методом Крамера. Решение. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементам строки. Разложим по первой строке: Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение. Найдём решение системы по формуле Крамера.
Пример 3. Решить систему уравнений. Решение.
Пример 4. Решить систему уравнений: Решение. Следовательно, получим Контрольные вопросы 1. Определители. 2. Алгебраические дополнения и миноры. 3. Решение системы методом Крамера. Исследование системы.
Задания. 1. Вычислить определители, разложив их по элементам: а) первого столбца; б) по элементам третьей строки. 2. Найти площадь треугольника с вершинами 3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя.
4. Решить системы уравнений методом Крамера.
. Тема 3 1. Матрицы. Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей третьего порядка, а определитель
соответствующим определителем этой матрицы. Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей второго порядка, а определитель соответствующим определителем этой матрицы.
1.Матрица A называется невырожденной, если 2.Если элементы 3.Две матрицы 4. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которого равны нулю 5. Единичной матрицей называется матрица
Элементарными преобразованиями матриц являются: 1) Перестановка местами двух параллельных строк (столбцов) матрицы; 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное то нуля; 3)Прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов параллельной строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Две матрицы A и
т.е. элемент матрицы – произведения стоящей в Для произведения двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц Обратная матрица 1)Матрица B называется обратной по отношению к матрице А, если 2) Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу. 3) Обратная матрица к матрице
где
4)Обратная матрица к матрице
где Пример1. Найти сумму и произведения матриц
Решение.
Пример 2. Найти обратную матрицу к матрице Решение . Вычисляем определитель матрицы: Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
Следовательно,
3. Матричный способ решения линейных уравнений. Матрицей – столбцом называется матрица вида Произведение Система уравнений может быть записана в виде
где Решение этой системы имеет вид
Пример 3. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы Решение. Перепишем систему в виде где Решение матричного уравнения имеет вид Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
Таким образом, Откуда Следовательно, Пример 4 Решить матричные уравнения
Решение. 1) Найдем обратную матрицу
где
2)Умножим слева правую и левую части равенства 3) Умножим справа правую и левую части равенства 4) Таким образом:
Ранг матрицы. Пусть дана прямоугольная матрица
Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A, отличные от нуля. Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг матрицы А будем обозначать r(A). Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Пример 5. Определить ранг и найти базисные миноры матрицы. Решение. Имеем Все миноры третьего порядка равны нулю. Базисными минорами является миноры второго порядка этой матрицы отличные от нуля:
Итак, ранг данной матрицы r(A)=2. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1345; Нарушение авторского права страницы