Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.



Тема1

1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

Прямая с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчёта и единицей масштаба называется координатной осью.

 

Расстояние d между точками и на оси:

(1)

Деление отрезка в данном отношении: даны точки и . Координата точки , делящий отрезок в отношении , определяется по формуле:

(2)

В частности при делении отрезка пополам, т.е. в отношении имеем

(3)

Пример 1. Отрезок двумя точками разделён на три равные части. Определить координаты точек деления, если ,

Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = Следовательно, по формуле (2) находим:

т.е. .

Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда

=2

и по формуле (2) находим:

т.е.

Ответ: , .

2. Прямоугольная система координат на плоскости .

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оy, имеющие общее начало отсчета О и одинаковую единицу масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости.

Расстояние между точками и на плоскости: . (4)

 

2º Деление отрезка в данном отношении: координаты точки , делящей отрезок между точками и в заданном отношении определяются по формулам:

; (5)

в частности, при делении отрезка пополам, т.е.

; (6)

 

Пример 2. Определите расстояние между точками и .

Решение. Воспользуемся формулой (4), получим:

.

 

Пример 3. Даны вершины треугольника: , и . Найти длину медианы, проведённой из вершины .

Решение. Найдём координаты точки - середины отрезка ; имеем:

; ; .

Вычислим теперь длину медианы :

.

 

Полярные координаты.

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется её расстоянием от полюса ( - полярный радиус вектор точки M) и углом , образованный отрезком с полярной осью Ох ( полярный угол точки). Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.

Если начало декартовой системы координат совместить с полюсом, а ось направить по полярной оси, то прямоугольные координаты и точки и её полярные координаты и связаны формулами:

(7)

Пример 4. Найти прямоугольные координаты точки , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение. Используя формулу (7) имеем:

, .

Итак,

 

4. Прямоугольная система координат в пространстве .

Три взаимно перпендикулярные координатные оси Ох, Оу, Оz с общим началом О и одинаковой единицей масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат в .

Точка О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Оz - ось аппликат.

Пусть М произвольная точка пространства и - радиус вектор точки М. Проекции радиус вектора на оси координат , , называются прямоугольными координатами точки или вектора . Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке соответствует единственная упорядоченная тройка её прямоугольные координаты и обратно, каждой упорядоченной тройка соответствует, и притом одна единственная точка в пространстве .

 

Расстояние между точками и :

(8)

В частности, расстояние точки от начала координаты определяется:

(9)

2º Если отрезок, концами которого служат точки и разделён точкой в отношении , то координаты точки определяются соотношением:

; ; . (10)

 

Пример 5. Даны точки и . Найти координаты точек и , делящих отрезок на три равных части.

Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = . Следовательно, по формуле (10) находим:

; ; ;

т.е. .

Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда и по формуле (10) находим:

; ;

т.е. . Ответ: , .

Контрольные вопросы

 

 

1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

2. Прямоугольная система координат плоскости.

3. Полярные координаты.

4. Прямоугольная система координат в .

Задания.

1) Определить расстояние между точками: а) и ; б) и .

2) Найти точку , симметричную точке относительно точки .

3) Найти координаты середины отрезка, если известны его концы: 1) и ; 2) , .

4)Определить расстояние между точками: 1) и ; 2) и .

5) Известны точки , - концы отрезка . Показать, что на этом отрезке находится точка , расстояние которой от точки в два раза больше расстояния от точки .

6) Построить точки, заданные полярными координатами , , , .

7) Определить расстояние между точками и . (Применить к треугольнику теорему косинусов.)

9) Найти полярные координаты точек, симметричных точкам , , : 1) относительно полюса; 2) относительно полярной оси.

10) Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами , и

11) В каком отношении точка равноудалённая от точек и , разделит отрезок от начала координат до точки

12) Даны следующие вершины куба , , и . Определить его остальные вершины.

 

Тема 2.

Определители.

1 º Определителем второго порядка

называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:

 

(1)

Определитель третьего порядка записывается в виде

(2)

 

и определяется равенством

.

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы строками:

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца)определителя можно вынести за знак определителя:

 

3. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

 

5. При перестановке двух строк (столбцов) определителя, определитель меняет знак на противоположный

 

6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.

7. .

 

Площадь треугольника с вершинами , , равен

(3)

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1229; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.055 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь