Формулы длин дуг плоских кривых.

Длина кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

 

Длина кривой заданной параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

 

Длина кривой заданной в полярных координатах уравнением

вычисляется по формуле:

.

Пример 8.Найти длину дуги кривой от до .

Решение. Кривая симметрична относительно оси Ox. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения находим . По формуле вычисления длины дуги получим

 

Контрольные вопросы.

1.Определённый интеграл

2.Формула Ньютона- Лейбница.

3. Вычисление объёмов тел вращения.

 

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) 3) ; 4) ;

5) : 6) .

2. Найти площади фигур ограниченных линиями:

1) , , ; 2) , у=1-х², х=0; 3) , х=е, у=0.

3.Найти объём тела, образованного вращением фигуры ограниченной линиями:

=4-х²; у=0; х=0;

1) вокруг оси Ox; 2) вокруг оси Oy.

 

4. Найти длину дуги кривой:

а) отсеченной осью Ox;

б)

в) Кардиоиды

Тема 16.

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

, ,

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченнойфункции называется интеграл вида:

Признак сравнения. Если функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , то для любого

2) Если , то для любого

.

Итак, данный интеграл при сходится, при расходится и при расходится.

Пример 2.Исследовать сходимость .

Решение.Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что

.

Но интеграл сходится, так как (см. пример 1.) Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и данный ряд.

 

Пример 3.Исследовать сходимость , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , для некоторого , то

2) Если , то

,

 

3) Если , для некоторого , то

 

.

 

 

Контрольные вопросы.

1. Несобственные интегралы.

2. Признак сравнения.

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) ; 3) ; 4)

 

2.Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

4) , 5) , 6) .

Контрольная работа № 1

Задание № 1. Даны координаты вершин треугольника АВС.

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол В;

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение и длину высоты CD.

Сделать чертеж.

 

1. А(1; -1), В(4; 3), С(5; 1).

2. А(0; -1), В(3; 3), С(4; 1).

3. А(1; -2), В(4; 2), С(5; 0).

4. А(2; -2), В(5; 2), С(6; 0).

5. А(0; 0), В(3; 4), С(4; 2).

6. А(0; 1), В(3; 5), С(4; 3).

7. А(3; -2), В(6; 2), С(7; 0).

8. А(3; -3), В(6; 1), С(7; -1).

9. А(-1; 1), В(2; 5), С(3; 3).

10. А(4; 0), В(7; 4), С(8; 2).

Задание № 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости ABC; 3) угол между ребром AD и гранью ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC.

 

1.	А (4, 2, 5),	В (0, 7, 1),	С (0, 2, 7),	D (1, 5, 0).
2.	А (4, 6, 5),	В (6, 9, 4),	С (2, 10, 10),	D (7, 5, 9).
3.	А (7, 7, 3),	В (6, 5, 8),	С (3, 5, 8),	D (8, 4, 1).
4.	А (2, -3, 1),	В (6, 1, -1),	С (4, 8, -9),	D (2, -1, 2).
5.	А (1, -4, 0),	В (5, 0, -2),	С (3, 7, -10),	D (1, -2, 1).
6.	А (-3, 4, -3),	В (-2, 2, -1),	С (8, 6, 7),	D (5, 8, 3).
7.	А (3, 1, -2),	В (4, -1, 0),	С (14, 3, 8),	D (11, 5, 6).
8.	А (-2, 0, -2),	В (2, 4, -4),	С (0, 11, -12),	D (-2, 2, -1).
9.	А (0, 4, 5),	В (3, -2, 1),	С (4, 5, 6),	D (3, 3, 2).
10.	А (2, -1, 7),	В (6, 3, 1),	С (3, 2, 8),	D (2, -3, 7).

Задание №3.Решить систему линейных уравнений способами:

а ) методом Гаусса;

б ) с помощью формул Крамера.

 

Вариант №	Система уравнений	Вариант №	Система уравнений
	2x+y–z =-3 -3x–4y–4z=8 5x+6y+3z=-11		3x+4y+2z=7 2x–y–3z=-4 x+5y+z=3
	2x+5y+4z=-17 -4x-3y+3z=10 -3x +2y + 7z = -9		x+y–z=1 8x+3y–6z=2 4x +y –3z = 3
	6x+4y–z=-9 2x+5y–2z=3 -4x+7y-5z=18		x–4y–2z=4 3x+y+z=6 3x–5y–6z=5
	x+y+3z=-1 2x–y+2z=-4 4x+y+4z=-2		x+2y+4y=3 5x+y+2z=15 3x – y + z = 12
	2x–y–z=4 3x+4y–2z=11 3x–2y+4z=11		-6x+5y–2z=4 3x–3y+z=-3 x+y+2z=-2

Задание № 4. Найти производную функций:

Вариант 1: а) y=(5x²+4 + 6)⁵, б) y= ,

в) y=2^{tg x} ∙ sin3x, г) y=ln ctg .

Вариант 2: а) y=(2x⁴ – +2)³, б) y= ,

в) y=3^sin2x ∙ arccos x, г) y= ln tg 4x.

Вариант 3: а) y=( x⁸+8 –1)³, б) y= ,

в) y=2^{arctg x} ∙ sin3x, г) y= ctg ln .

Вариант 4: а) y=( x⁵–3 – 4)⁵, б) y= ,

в) y=3^cos3x ∙ sin3x, г) y= tg ln 4x.

Вариант 5: а) y=(3x⁷+5 –3)³, б) y= ,

в) y=2^{arcsin x} ∙ tg x, г) y= ln .

Вариант 6: a) y= (5x⁴ – +3)², б) y= ,

в) y=5^tg2x ∙ arccos x, г) y= ln .

Вариант 7: а) y= (4x³ + -2)⁵, б) y= ,

в) y=e ^{arctg x} ∙ cos 3x, г) y=ln .

Вариант 8: а) y= (7x⁵–3 - 5)⁴, б) y= ,

в) y=5^{arccos 2x∙} ∙ sin x, г) y=sin( ln5x).

Вариант 9: а) y= (3x⁴ + -3)⁵, б) y= ,

в) y=2^{cos x} ∙ arcsin x, г) y=ln sin 5x.

Вариант 10: а) y= (6x³ – + 6)⁵, б) y= ,

в) y=5 ^tg2x ∙ arctg2x, г) y=ln cos 2x.

 

 

Задание № 5. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

Вариант 1: 1) ; а) = 2; б) = -1; в) .

2) . 3) .

Вариант 2: 1) ; а) = -1; б) = 1; в) .

2) . 3) .

Вариант 3: 1) ; а) = 2; б) = -2; в) .

2) . 3) .

Вариант 4: 1) ; а) = 1; б) = 2; в) .

2) . 3) .

Вариант 5: 1) ; а) = -2; б) = -1; в) .

2) . 3) .

Вариант 6: 1) ; а) = -1; б) = 1; в) .

2) . 3) .

Вариант 7: 1) ; а) = 2; б) = -2; в) .

2) . 3) .

Вариант 8: 1) ; а) = 1; б) = 2; в) .

2) . 3) .

Вариант 9: 1) ; а) = -2; б) = -1; в) .

2) . 3) .

Вариант 10: 1) ; а) = -1; б) = 1; в) .

2) . 3) .

 

Задание № 6.

 

Провести полное исследование функции и построить ее график:

 

Вариант 1: .

Вариант 2: .

Вариант 3: .

Вариант 4: .

Вариант 5: .

Вариант 6: .

Вариант 7: .

Вариант 8: .

Вариант 9: .

Вариант 10: .

 

Задание №7. Найти производную функции, заданной

параметрически: .

 

 

Вариант №			Вариант №

 

Задание №8.Найти производную неявной функции, заданной уравнением

 

Вариант №		Вариант №

 

Задание №9.

а) вычислите определенный интеграл

b) найдите первообразную и сделайте проверку дифференцированием.

 

Вариант №
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)
	а)	b)

 

Задание №10. Найдите частные решения дифференциальных уравнений.

Вариант №
	у¢ + у = х	у(0)=0
	ху¢ - у = х3	у(1)=0
	у¢ + у = х + 2	у(0)=0
	у¢ + 2ху = 2х	у(0)=5
		у(1)=е
	ху¢ - у = х3	у(1)=
		у(1)=2
	2ху + х2 у¢ = 0	у(1)=1
	у¢ + 2ху = 2х2 ×	у(0)=0
	у¢ + у tg х = 2х cos х	у(0)=0

 

 

Рекомендуемая литература

 

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М., 1989.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. – М., 1982.

3. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М., 1986.

4. Данко П. Е..и др. Высшая математика в примерах и задачах. – М.: Высшая математика, 1986.

5. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., 1983.

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Популярное:

1. XI. Испытание подлинности постигнутого
2. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ДУГОВАЯ СВАРКА
3. АППАРАТУРА ДЛЯ ДУГОВОЙ СВАРКИ И НАПЛАВКИ
4. Билет № 28. Комбинаторные задачи. Виды и формулы для подсчёта числа возможных комбинаций.
5. Было темно ( ) и только высоко на вершинах деревьев кое-где дрожал яркий золотой свет и переливался радугой в сетях паука.
6. Вавилонское пленение, его подлинные масштабы и значение
7. Ввод формулы, содержащей функцию
8. Влияние длины воздушного зазора на вебер-амперную характеристику магнитной цепи
9. Геополитические гегемонистические циклы в геополитике(последнее полутысячелетие). Сдвоенные циклы Кондратьева-Валлерейтана. Длинные циклы Дж.Модельски и В.Томпсона.
10. Диаграммы содержат блоки и дуги
11. Длина свободного пробега молекулы — среднее расстояние, которое частица пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего.
12. Длина строки ПРИВЕТ ВСЕМ равна: 11