Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если .

Пусть и - две бесконечно малые функции при .

1) Если , то называются бесконечно малой более высокого порядка чем (при );

2) Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (при );

3) Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Эквивалентность обозначается так: ~ при .

Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при :

~ , ~ , ~ , ~ , ~ ,

Пример 5. Найти пределы:

а) , б) .

Решение. а) =

б) = .

Пример 6. Найти предел:

Контрольные вопросы:

1. Понятие последовательности.

2. Понятие предела последовательности

4. Определение предела функции.

5. Свойства пределов.

6. Два замечательных предела.

7. Понятие эквивалентных бесконечно малых функций.

8.Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

Задания .

1. Вычислить пределы:

а) б) в) г)

2.Найти пределы последовательностей:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

3. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными вычислить следующие пределы:

а) б) в)

Тема 9.

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. ,

Обозначая (приращение аргумента) и , (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т.е. функция непрерывна в точке тогда и только тогда, тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной в точке справа, если выполняется условие (когда стремится к справа, оставаясь больше ).

Если , то говорят, что функция непрерывна слева (когда стремится к слева, оставаясь меньше ).

Если непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв в точке , если она определена в сколь угодно близких точках к , но в самой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.

Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции в точке , если существуют конечные односторонние пределы

и .

Скачком функции в точке называется разность его односторонних пределов , если они различны.

Если = , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.

Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.

Пример 1.

Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где

Решение. При можно сократить на .

Следовательно, при . Легко

видеть, что . Значит, при функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Найдем односторонние пределы в точке , т.е.

В точке функция имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева в точке равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке . При остальных значениях функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).

Пример 3. Доказать непрерывность функции .

Решение. Пусть - произвольное значение на числовой прямой.

Найдем и составим разность

Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величине

Итак, отмечаем, что

Контрольные вопросы

1. Определение непрерывной функции в точке.

2. Разрыв функции в точке. Классификация разрывов.

3. Свойства непрерывных функций.

Задания.

1) Показать, что при функция имеет разрыв.

2) Найти точки разрыва функции .

3) Каков характер разрыва функции в точке .

4) Исследовать на непрерывность функции

а) ; б)

Тема 10

Производная функции

Пусть функция определена на интервале .Определим:

- приращение аргумента в точке , а

- приращение функции в точке .

Если существует конечный предел

то он называется производной функции в точке .

Значение производной -есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, абсцисса которой есть

Если - закон прямолинейного движения точки, то первая производная пути по времени -есть скорость этого движения.

. Основные правила дифференцирования.

Пусть - некоторая постоянная, , - функции, имеющие производные.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; .

6. Производная сложной функции.

Если функции и имеют конечные производные, то

7. Дифференцирование функции, заданной параметрически..

Пусть зависимость между и функцией задана параметрически в виде двух уравнений

где -вспомогательная переменная, называемая параметром.

Производная функции, заданной параметрически определяется по правилу

, или .

8. Производная обратной функции.

Пусть функция в некоторой окрестности точки возрастает (или убывает) и является непрерывной. Пусть кроме того, функция дифференцируема, в точке и производная отлична от нуля. Тогда обратная функция определена в некоторой окрестности соответствующей точки , дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную .

9. Производная функции , , где и суть функции от , имеющие в данной точке производные и есть:

Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Решение. Зададим приращение , такое, что .

Тогда

;

Поэтому

;

Переходим к пределу при :

;

т.е. .

Пример 2. Исходя из определения производной функции, найти производную функции .

Решение. Находим

Откуда

и, следовательно

Итак, .

. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. ; 19. .

10. ;

Пример 3. Найти производную функции .

Решение.

Пример 4. Найти производную .

Решение. Берем производную от как сложной функции

, где , .

, где ,

;

Итак,

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Имеем , откуда

Пример 6. Найти , если , .

Решение. Имеем

Пример 7. Найти производную .

Решение. Показательная функция , определена на бесконечной прямой и служит обратной для логарифмической функции .

Согласно вышеуказанному утверждению, функция дифференцируема в любой точке и для ее производной справедлива формула .

Итак, .

Пример 8. Вычислить производную .

Решение. Функция , определенная на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, получим:

Мы взяли перед корнем знак +, т.к. положителен всюду на интервале .

Итак .

Понятие дифференциала.

Пусть функция имеет в точке конечную производную , тогда ее приращение можно записать в виде

где .

Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается :

При , получим , поэтому дифференциал функции примет вид

Основные свойства дифференциала

1) где = const,

3) ,

4) ,

6) .

Применение дифференциала для приближенных вычислений.

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е. и

Пример 9. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную данной функции .

Следовательно, по определению дифференциала функции получим

Пример1 0. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение

Решение . Рассмотрим функцию . Пологая и применяя формулу , получим

3.Производные высших порядков.

Производной второго порядка (второй производной) функции называется производная от производной . Вторая производная обозначается так: , или , или .

Если - закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения.

Аналогично производная третьего порядка функции есть производная производной второго порядка и т.д., производной n-го порядка от функции называется производная от производной -го порядка . Обозначается n-я производная так: или , или .

Пример 10. Дана функция .

Найти: , , , …

Решение.

; ;

; ; ;

Пример 11. Дана функция

Найти: .

Решение. ,

Контрольные вопросы.

Производная функции.

2.Основные правила дифференцирования.

3.Производная обратной функции.

4.Формулы дифференцирования основных элементарных функций.

5.Понятия дифференциала функции.

6.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

7.Производные высших порядков.

Задания.

1. Пользуясь определением производной вычислить производные следующих функций:

1) ;

2) .

2. Найти производные и дифференциалы следующих функций

; ; ; ;

; ; ;

; .

3.Найти производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4.Найти ,

1) если , ;

2) если , ;

3) если , .

5.Вычислить с помощью дифференциала приближенные значения

, , , .

6.Найти производные

1)обратных тригонометрических функций

; ; ; ; .

2) обратную к .

7. Найти , , , …, для функций:

1) . 2) . 3) . 4) .

Тема 11

1.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и то в интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором

Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство (геометрический смысл: касательная в точке параллельна секущей АВ).

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале , причём то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором где .

Формула Тейлора. Если функция имеет в точке все производные до порядка включительно, то

Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

При = 0 получаем частный случай формулы Тейлора-формулу Маклорена

Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:

Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции

если а=-3; в=3. Найти значение .

Решение. Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её значения на концах отрезка равны Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке выполняются. Значение определяем из уравнения , т.е. .

Пример 2. На дуге АВ кривой найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если А(1, 3) и В(3, 3).

Решение. Функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение х= , удовлетворяющее равенству:

где

Подставив соответствующие значения, получим

Отсюда . Таким образом, точка М имеет координаты М(2; 4).

Пример 3. Проверить теорему Коши для функции =х³ и и найти с.

Решение . Из формулы Коши имеем

, т.е. .

Отсюда, получим .

Пример 4. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Решение. Представим, данную функцию в виде

Далее воспользуемся формулой .

Будем иметь

Пример 5. Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора

Решение. Так как

и то получим

Контрольные вопросы.

1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.

3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Задания.

1. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Пояснить графически.

2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций: а) на отрезке

б) на отрезке

3.Проверить теорему Коши и найти с для функций: а) и на отрезке ,

б) х² и на отрезке .

4. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора

а) ,

б) .

Тема 12.

Правило Лопиталя. (раскрытиенеопределенностей)

Первое правило Лопиталя.

Если функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при , , и производные и существуют в упомянутой окрестности, за исключением, быть может, самой точки и существует ,

Тогда

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒