Исследование систем линейных уравнений.

Пусть дана система m-линейных уравнений с n-неизвестными

Матрицы

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы .

Теорема Кронекера – Капелли: Для совместности системы необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. .

Однородная система уравнений всегда совместна.

Если ранг совместной системы r равен числу неизвестных, т.е. , то система является определенной. Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система неопределенная.

Пример 6. Исследовать систему уравнений:

Решение. Рассмотрим расширенную матрицу системы Вычтем из 2-ой строки 1-ую и разделим элементы полученной строки на 4, получим: .

Вычтем из третьей строки 1-ую и разделим на 2, будем иметь .

Вычтем, из элементов 3-ей строки соответствующие элементы 2-ой строки ,

после этого вычеркнем 3-ю строку, получим .

Ранг матрицы равен . Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Следовательно, по теореме Кронекера–Капелли, система совместна. Возьмем уравнения

За основные неизвестные примем и . Это можно сделать, так как определитель из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля: . Свободным неизвестным служит .

Перепишем систему в виде:

Выразим и через : .

Поэтому общее решение системы: .

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система m-линейных уравнений с n-неизвестными

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и приведении данной системы уравнений к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу даннойсистемы.

Рассмотрим расширенную матрицу даннойсистемы

Данную матрицу можно привести к ступенчатому виду при помощи следующих элементарных преобразований.

Процесс нахождения коэффициентов ступенчатой системы называется прямым ходом, а процесс нахождения неизвестных обратным ходом.

Пример 7. Решить данную систему методом Гаусса

Решение. Напишем соответствующую расширенную матрицу .

Введем 5-й, так называемый контрольный столбец:

Контрольный столбец, каждый элемент которого равен сумме элементов соответствующей строки, вводим для проверки правильности преобразований. При линейных преобразованиях элементов матрицы такому же преобразованию должны подвергнутся элементы контрольного столбца, при этом каждый элемент контрольного столбца остается равным сумме всех других элементов соответствующей строки преобразованной матрицы. Переход от одной матрицы к другой будем записывать с помощью знака эквивалентности.

Этот процесс называется прямым ходом. Далее используя обратный ход, получим:

Итак получили:

Ответ: .

Контрольные вопросы

1. Матрицы

2. Обратная матрица

3. Матричный способ решения линейных уравнений.

4. Ранг матрицы.

5.Теорема Кронекера – Капелли

6. Исследование системы линейных уравнений.

7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Задания.

1.Найти ранг матрицы

2. Решить системы матричным способом и методом Гаусса.

, , ,

3.Решить матричные уравнения

1) ;

2) ;

3) .

Тема 4.

Векторная алгебра.

1.Векторы. Линейные операции над векторами .

1⁰ Вектором называется направленный отрезок . Вектор обозначается или указанием его начала и конца или одной буквой .

2⁰Векторы параллельные одной прямой, называются коллинеарными

Векторы параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины

3⁰ Линейные операции.

1) Произведением вектора на число , называется вектор , имеющий длину и направленный одинаково с при и противоположно при .

2) Сложение векторов. Суммой векторов и называется вектор , определяемый по правилу треугольника: начало вектора совмещают с концом ; - вектор соединяющий начало с концом .

3) Разностью - называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор .

4⁰ Свойства линейных операций:

1) , 2)

3) , 4) 5)

Вектор - , называется обратным вектором. Имеют место равенства:

5⁰Проекция вектора на ось. Мы предполагаем, что в пространстве задана некоторая система декартовых прямоугольных координат. Рассмотрим произвольный вектор . Пусть вектор составляет угол с осью ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой:

. (1)

Проекция суммы векторов на ось, равна сумме проекций этих векторов на эту ось:

Пример1. На плоскости даны точки А(0, -2), В(4, 2), С(4, -2). В начале координат приложены силы , , Построить их равнодействующую , найти её проекции на оси координат и её длину. Выразить силы , , , , через единичные векторы , .

Решение. Имеем , , , ,

, , .

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒