Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Кафедра «Экономика транспорта»Стр 1 из 4Следующая ⇒
Кафедра «Экономика транспорта» ЭКОНОМЕТРИКА Методические указания к практическим занятиям Часть I
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ ПГУПС
Предназначены для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика» профиль «Экономика предприятий и организаций» (транспорт).
Лабораторная работа № 1
Задание
Исходные данные для лабораторной работы представлены табл. 1.1 значений переменных x и y (по вариантам). Расчёты произвести с помощью таблиц MS Excel. Принять уровень значимости . 1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и индекс корреляции . В случае необходимости изменить уравнение нелинейной зависимости для математически корректного расчёта индекса корреляции . Сделать выводы о тесноте и характере связи между переменными. 2. Оценить значимость линейного коэффициента парной корреляции и индекса корреляции . 3. Рассчитать доверительный интервал для статистически значимого коэффициента парной корреляции . Таблица 1.1 Исходные данные к лабораторной работе № 1 по вариантам
Решение типового примера Пусть даны следующие значения переменных x и y по месяцам 2012 г., а также вид уравнения нелинейной зависимости (табл. 1.2): Таблица 1.2 Исходные данные типового примера
1. Для расчёта линейного коэффициента парной корреляции и индекса корреляции произведём промежуточные вычисления с помощью таблиц MS Excel согласно формулам 1.2, 1.3 и 1.4 в табл. 1.3 Таблица 1.3 Промежуточные расчёты типового примера
Тогда согласно формулам 1.2 и 1.3 имеем следующее значение линейного коэффициента парной корреляции: , , . Таким образом, для рассматриваемых переменных характерна сильная линейная корреляционная связь, причём положительная (прямая) – с ростом эксплуатационных расходов растёт себестоимость и наоборот. Индекс корреляции лежит в интервале , т.е. является вещественным числом. Поэтому необходимо изменить предлагаемое уравнение нелинейной зависимости из условия работы (в противном случае подкоренное выражение по данным табл. 1.3 получается отрицательным). Заменяем коэффициент при с на в уравнении и пересчитываем суммы в табл. 1.3. Тогда получаем следующее значение индекса корреляции согласно формуле 1.4: . Как видно из расчёта индекса корреляции нелинейная зависимость между переменными проявляется слабее, нежели линейная. 2. Расчётный критерий Стьюдента для оценки значимости согласно формуле 1.5 равен . Критическое значение статистики Стьюдента находим по табл. 1 Приложения 2 для заданного уровня значимости и количества степеней свободы : . Так как , то найденное значение признается статистически значимым. Расчётный критерий Фишера для оценки значимости согласно формуле 1.6 равен . Критическое значение статистики Фишера находим по табл. 2 Приложения 2 для заданного уровня значимости и количества степеней свободы и : . Так как , то найденное значение признается статистически незначимым. 3. Для построения доверительного интервала для статистически значимого рассчитаем величину по формуле 1.7 (Z-преобразование Фишера): . Квентиль стандартного нормального распределения порядка можно получить с помощью функции MS Excel НОРМСТОБР (0, 975): . Тогда имеем следующие границы доверительного интервала для согласно формуле 1.8: , . Теперь оценим границы доверительного интервала для на основе границ доверительного интервала для с использованием обратного Z-преобразования Фишера согласно формуле 1.9 с помощью функции ФИШЕРОБР (z) из MS Excel: , . Таким образом, доверительный интервал для равен (0, 3471; 0, 9314).
Лабораторная работа № 2
ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ Наиболее простой эконометрической моделью, построенной на основе парной линейной корреляционной связи, является модель парной линейной регрессии, имеющая вид: , (2.1) где – независимая (факторная) переменная; – зависимая (результативная) переменная; – параметры (коэффициенты) уравнения регрессии; – независимая, нормально распределённая случайная величина, остаток с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Оценка параметров производится классическим методом наименьших квадратов (МНК) путём минимизации суммы квадратов остатков: . (2.2) В результате минимизации остатков строится система нормальных уравнений. Решением системы находятся следующие формулы для расчёта оценок параметров через наблюдаемые значения переменных , . (2.3) Качество регрессионной модели оценивают с помощью коэффициента детерминации , который определяется по формуле , (2.4) где , – расчётные (прогнозные) значения величины , полученные подстановкой соответствующих значений в уравнение регрессии. Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (дисперсии) зависимой переменной объясняет построенное уравнение регрессии. Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитывается значение критерия Фишера по формуле (k – число факторов): , (2.5) где , . (2.6) Далее находится критическое значение критерия Фишера для заданного уровня значимости и количества степеней свободы и . Если , то делается вывод о значимости уравнения регрессии (нулевая гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии отвергается), в противном случае уравнение регрессии признается статистически незначимым. Одним из методов оценки значимости коэффициентов регрессионного уравнения является построение доверительных интервалов. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии имеют соответственно вид , (2.7) . (2.8) При этом исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов регрессии вычисляются по формулам , , , (2.9) а критическое значение критерия Стьюдента определяется для количества степеней свободы и заданного уровня значимости . Если по результатам расчёта доверительного интервала окажется, что доверительный интервал включает 0, то соответствующий коэффициент регрессии объявляется незначимым, в противном случае соответствующий коэффициент значим. Альтернативным методом оценки значимости рассчитанных коэффициентов регрессионного уравнения является использование расчётных значений t-критерия Стьюдента, которые определяются по формулам: , ( в общем случае). (2.10) Расчётные значения t-статистик сравниваются (по модулю) с критическими значениями t -статистик, определёнными для количества степеней свободы и заданного уровня значимости . Если расчётное значение превосходит критическое, то нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергается и соответствующий параметр признается значимым, в противном случае – незначимым. Точность построенного уравнения регрессии можно оценить с помощью средней ошибки аппроксимации (допустимый предел значений – не более 8–10%): . (2.11) Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат от своей величины при изменении фактора на 1% от своего значения: . (2.12) Прогнозное значение (точечный прогноз) определяется путём подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения независимой переменной . Для построения доверительного интервала прогноза сначала вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза : . (2.13) Затем строится сам доверительный интервал по формуле (для заданного уровня значимости ): . (2.14) Быстрое развитие эконометрики во второй половине ХХ – начале ХХI века одновременно с развитием компьютерных технологий привело к появлению специализированных эконометрических пакетов для построения и анализа эконометрических моделей на компьютерах. К получившим известность эконометрическим пакетам относятся SAS, GAUSS, STATA, TSP, SPSS, Microfit386, Econometric Views. В данной лабораторной работе для расчетов используется некоммерческий эконометрический пакет Gretl, версия 1.9.14 (официальный сайт пакета: http: //gretl.sourceforge.net/).
Задание
Исходные данные для лабораторной работы представлены табл. 1.1 значений переменных x и y (по вариантам, см. лабораторную работу № 1, столбцы «№ варианта», «Переменная x», «Переменная y»). Для пунктов 1–8 ниже расчёты произвести в MS Excel, для пунктов 9–10 – в Gretl. Принять для данной лабораторной работы уровень значимости . 1. Составить уравнение парной линейной регрессии . 2. С помощью коэффициента детерминации оценить качество построенной модели. 3. Оценить значимость уравнения регрессии с помощью дисперсионного анализа. 4. Построить доверительные интервалы для оценки параметров регрессии и сделать вывод о значимости параметров. 5. С помощью значений t-статистики Стьюдента для параметров регрессии подтвердить вывод о значимости параметров, полученный в п. 4. 6. Оценить точность построенного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации. 7. Рассчитать и интерпретировать средний коэффициент эластичности. 8. Определить точечный прогноз при . Построить доверительный интервал прогноза . 9. Определить параметры уравнения регрессии, коэффициент детерминации, расчётные и критические значения t- и F-статистик, исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов, доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, стандартную ошибку модели с помощью эконометрического пакета Gretl и сравнить с результатами расчёта в MS Excel (результаты должны совпасть). 10. Построить график наблюдаемых значений и прямую регрессии в Gretl, объяснить порядок построения графика. Решение типового примера Пусть даны следующие значения переменных x и y по месяцам 2012 г. (табл. 1.2, см. лабораторную работу № 1). 1. Для расчётов согласно формулам 2.3, 2.4, 2.6, 2.9, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14 произведём промежуточные вычисления с помощью таблиц MS Excel в табл. 2.1. Таблица 2.1 Промежуточные расчёты типового примера
Продолжение табл. 2.1
Согласно формулам 2.3 и промежуточным вычислениям в табл. 2.1 имеем следующие значения оценок коэффициентов регрессии: , , тогда искомое уравнение парной линейной регрессии выглядит следующим образом: . 2. Согласно формуле 2.4 и промежуточным вычислениям в таблице 2.1 рассчитаем коэффициент детерминации : , таким образом построенное уравнение регрессии объясняет 59% вариации (дисперсии) зависимой переменной . 3. Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитаем значение критерия Фишера по формуле 2.5: , , . При этом критическое значение критерия Фишера для заданного уровня значимости и количества степеней свободы и согласно табл. 2 Приложения 2 равно . Так как , то делаем вывод о значимости уравнения регрессии. 4. Для построения доверительных интервалов для коэффициентов регрессионного уравнения воспользуемся формулами 2.9 для расчёта исправленных выборочных оценок стандартных отклонений : , , . Критическое значение статистики Стьюдента находим по табл. 1 Приложения 2 для заданного уровня значимости и количества степеней свободы : . Соответственно, согласно формулам 2.7 и 2.8 искомые доверительные интервалы для следующие: , . Т.к. доверительный интервал для включает в себя 0, то коэффициент незначим. Доверительный интервал для не включает в себя 0, поэтому коэффициент значим. 5. Определим расчётные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии по формулам 2.10: , . Критическое значение статистики Стьюдента находим по табл. 1 Приложения 2 для заданного уровня значимости и количества степеней свободы : . Так как , то коэффициент незначим; т.к. , то коэффициент значим. Таким образом, вывод о значимости коэффициентов, полученный в п. 4 лабораторной работы с использованием доверительных интервалов, подтверждён. 6. Оценим точность построенного уравнения регрессии с помощью расчёта средней ошибки аппроксимации по формуле 2.11: , т.е. в среднем расчётные значения отклоняются от фактических значений на 4, 7%, точность построенного уравнения регрессии высокая. 7. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле 2.12: . Таким образом, при изменении фактора (эксплуатационные расходы) на +1% от своего значения, результат (себестоимость перевозок) изменится на +0, 96% от своей величины в среднем по совокупности. 8. Прогнозное значение независимой переменной , тогда прогнозное значение (точечный прогноз) равен: . Рассчитаем среднюю стандартную ошибку прогноза по формуле 2.13: . Тогда по формуле 2.14 искомый доверительный интервал для ( для и количества степеней свободы ) при : . 9. Данные для расчёта в Gretl проще всего импортировать в эконометрический пакет из MS Excel. Перенесём исходные данные (табл. 2.1, столбцы 2 и 3) на лист Excel. Импортируем данные из подготовленной таблицы Excel в Gretl с помощью функции Файл-Открыть-Импорт-Excel. Теперь построим модель линейной парной регрессии в Gretl с помощью функции Модель-Метод наименьших квадратов с выбором зависимой и независимой переменных. Рассмотрим построенную в окне Gretl модель. В столбце «Коэффициенты» показаны коэффициенты регрессии (0, 059 и 1, 382× 10–5 соответственно); R-квадрат (коэффициент детерминации) равен 0, 589; расчетные значения t-статистик для показаны в столбце «t-статистика» (0, 1628 и 3, 792 соответственно); расчетное значение F-статистики (F(1, 10)) для уравнения регрессии равно 14, 38; стандартные отклонения (ошибки) равны 0, 362 и 3, 643× 10–6 соответственно (столбец «Ст. ошибка»); стандартная ошибка модели («Ст. ошибка модели») равна 0, 0864. Критическое значения t-статистики Стьюдента в Gretl может быть получено из основного окна программы с помощью функции Инструменты-Критические значения с последующим выбором соответствующей статистики, степеней свободы и уровня значимости. Аналогично находится критическое значение F-статистики Фишера. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии могут быть рассчитаны в Gretl с помощью функции Анализ-Доверительные интервалы для коэффициентов в окне модели Gretl. Результаты расчёта в эконометрическом пакете совпадают с результатами расчёта в MS Excel, приведенными выше в типовом примере данной лабораторной работы. 10. График наблюдаемых значений и прямая регрессии в Gretl строится с помощью функции Графики-График наблюдаемых и расчётных значений-В зависимости от Х в окне построенной модели.
Лабораторная работа № 3
Задание
Исходные данные для лабораторной работы представлены табл. 3.1 значений зависимой и независимых переменных (по вариантам). Для пунктов 1–6 ниже расчёты произвести в Gretl, для пункта 7 – в Gretl и MS Excel. Принять уровень значимости . Таблица 3.1 Исходные данные к лабораторной работе №3 по вариантам
1. Построить матрицу парных линейных коэффициентов корреляции для зависимой и всех независимых переменных. Установить, какие факторы коллинеарны. 2. Построить уравнение множественной линейной регрессии, обосновав выбор факторов. 3. Оценить статистическую значимость уравнения множественной регрессии и статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии с использованием p-значений t- и F-статистик. 4. Построить уравнение множественной регрессии со статистически значимыми факторами. 5. Определить значение коэффициента множественной корреляции и детерминации, скорректированное значение коэффициента множественной детерминации. 6. Провести тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность с использованием теста Вайта. 7. Рассчитать и интерпретировать средние коэффициенты эластичности, бета- и дельта-коэффициенты.
Решение типового примера Пусть даны следующие значения зависимой и независимых переменных (табл. 3.2). Таблица 3.2 Исходные данные типового примера
1. Импортируем данные в Gretl и построим матрицу парных линейных коэффициентов корреляции для зависимой и всех независимых переменных с помощью функции Вид-Корреляционная матрица. По результатам расчета 0, 1688, , , , , . Таким образом, переменные X10 и X11 явно коллинеарны. 2. Построим уравнение множественной линейной регрессии с помощью функции Модель-Метод наименьших квадратов. Фактор X11 исключаем из построения, т.к. он коллинеарен с X10 и его связь с другими факторами сильнее, нежели у X10 ( ). При этом теснота связи X10 с результативным признаком высокая ( ). Итак, искомое уравнение множественной линейной регрессии выглядит следующим образом: .
3. Построенное уравнение множественной линейной регрессии статистически значимо, так как p-значение для расчётной статистики Фишера (количество степеней свободы и ) меньше уровня значимости : . Коэффициент статистически незначим, т.к. для расчётного значения t-статистики (количество степеней свободы ) p-значение больше уровня значимости : . Аналогичные p-значения для коэффициентов меньше , следовательно коэффициенты статистически значимы. 4. Построим уравнение множественной линейной регрессии с помощью функции Модель-Метод наименьших квадратов, исключив фактор X4. Полученное уравнение множественной линейной регрессии выглядит следующим образом: . На основе анализа р-значений для расчётных t- и F-статистик построенное уравнение регрессии и все коэффициенты регрессии являются статистически значимыми. 5. Рассчитанное значение коэффициента множественной детерминации: ; скорректированное значение коэффициента множественной детерминации: . Таким образом, построенное уравнение регрессии объясняет 54% вариации (дисперсии) зависимой переменной . Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1158; Нарушение авторского права страницы