Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: – это необходимый признак сходимости ряда.

Если же , то ряд расходится — это достаточный признак расходимости ряда.

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость

1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда

(1)

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда

(2)

то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

При исследовании рядов на сходимость и расходимсость по этому признаку часто используются геометрическая прогрессия

которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд

являющийся расходящимся рядом.

Признак Даламбера.

Если для ряда

то при ряд сходится, при – расходится (при вопрсо о сходимости ряда остается нерешенным).

Пример 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд

расходится.

Решение. Найдем

Таким образом, предел общего члена ряда при отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.

Разложение функции в степенные ряды Тейлора

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

(1)

При представлении элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора обычно поступают следующим образом: вычисляют последовательные производные данной функции в точке , а затем, пользуясь формулами (1), составляют для нее ряд Тейлора и определяют интервал сходимости полученного ряда. В этом интервале ряд Тейлора сходится к породившей его функции , если только все значения получаются непосредственной подстановкой значения в выражения

Применяя рассмотренный способ, можно найти разложение в ряд Тейлора для следующих функций:

помимо указанного способа, можно получить разложения функций в ряд Тейлора, исходя из известных разложений, например, разложений (2)-(7). При этом возможно использование следующих действий над степенными рядами внутри их интервалов сходимости:

1) два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов);

2) степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;

3) степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное в результате указанных действий разложение будет искомым.

Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию .

Решение. Вычислим значения данной функции и ее последовательных производных при

Подставляя полученные значения в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции, получим

Это и есть разложение в ряд Тейлора для функции . Полученный ряд сходится к породившей его функции при любом значении x.

Заметим, что то же самое разложение можно получить из ряда Тейлора для функции заменой на .

X. Элементы комбинаторики

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями. Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

1.Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по т обозначается символом и вычисляется по формуле:

2.Перестановки. Перестановками из п элементов называют такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из п элементов обозначается символом Р_п и вычисляется по формуле Р_п = п!.

4. Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из п элементов по m обозначается . Оно находится по формуле:

Пример 1. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

Решение. Согласно формуле получим:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Используя формулу , перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что п 6, разделим обе его части на (п — 2)(n — 3)(n — 4):

п(п - 1) = 30(п - 5), п² - 31п+ 150 = 0; n₁ = 6, п₂ = 25

Пример 3. Вычислить: а) б)

б) 5. Элементы теории вероятности

Для предсказания какого-либо события, результата, опыта или наблюдения необходимо знать комплекс условий, в которых происходит событие, опыт или наблюдение. Для того, чтобы оценить вероятность события числом, имеющим точный математический смысл, надо, чтобы опыт мог быть повторен в одних и тех же условиях достаточно много раз. Пусть опыт произведен п раз, интересующее нас событие наблюдается в т случаях из п. т/п — частота осуществления события (0 т п). Оказывается, что при достаточно большом числе повторений частота осуществления события т/п близка к некоторому числу Р, причем близость возрастает с увеличением п.

Событие называется достоверным, если оно непременно должно произойти. Событие называют невозможным, если оно заведомо не произойдет.

Вероятность достоверного события V равна единице: P(V) = 1.

Вероятность невозможного события Е равна нулю: Р(Е) = 0.

Вероятность любого события А подчинена условиям 0 т п;

(0 Р(А) 1):

События А и В называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов п = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет т = 200. Согласно формуле Р = т/п, получим Р(А) = 200/1000 = 1/5 = 0, 2.

Пример 2. В коробке 5 белых, 10 красных и 15 синих шаров. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет или белый или красный?

Решение. Число исходов 5 4-10-1-15 = 30; Р(Б) = 5/30 = 1/6; Р(К) = 10/30 = 1/3; Р(Б или К) = 1/6 + 1/3 = 1/2.

Два несовместных и единственно возможных события называются противоположными и обозначаются: А и ; Р(А) + Р( ) = 1.

Если А и В независимые события, то Р(А и В) = Р(А) • Р(В)

Пример 3. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. А - первая монета, В - вторая монета. Р(А)= 1/2; Р(В) = 1/2; Р(А и В) = 1/2 • 1/2 = 1/4

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒