Формулы приближенного вычисления интегралов

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

ПОСТАНОВКА ВОПРОСА. Пусть требуется вычислить определенный интеграл где данная функция, непрерывная на отрезке . Если функция задана аналитически и мы можем найти ее первообразную (т.е. можем найти неопределенный интеграл функции то вычисление определенного интеграла легко выполняется по формуле Ньютона-Лейбница:

Например, пусть требуется вычислить интеграл Так как мы можем найти неопределенный интеграл, именно то для вычисления определенного интеграла возьмем какую-либо из первообразных функций, проще всего и применим формулу.

(Здесь мы пользуемся общепринятой записью «двойной подстановки»: символ или означает ) Приведем еще несколько примеров.

Если же первообразная функция не может быть найдена или если функция задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы.

Идея приближенного вычисления интеграла заключается в следующем. Заменяем функцию новой, достаточно близкой к ней функцией , такой, что интеграл от этой функции можно вычислить сравнительно просто. Искомый интеграл заменяем интегралом , и это будет приближенное значение искомого интеграла.

При выводе формул приближенного вычисления определенного интеграла очень удобно исходить из геометрической иллюстрации определенного интеграла. Если на отрезке , то определенный интеграл численного равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной кривой отрезком оси ,

прямыми и (рис. 46), т.е. Поэтому задача о приближении определенного интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции. Вместо вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , мы вычисляем площадь другой криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную формулу приближенного вычисления интеграла. Формулы приближенного вычисления интеграла называют также формулами механических квадратур.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА

1-10. Вычислить пределы:

10.

11. А(–2; 3), В(2; –3). Найти длину отрезка АС, если АС/СВ = 1/2.

12. А(8; 4), В(–2; 6), С(4; 0) — вершины треугольника ABC. Найти угол А..

13. Даны две вершины равностороннего треугольника (0; 0) и . Найти координаты третьей вершины треугольника и вычислить длины его сторон.

14. Серединой отрезка является точка (–2; 4), один из его концов точка
(4; 1). Найти координаты второго конца отрезка.

15. Показать, что треугольник с вершинами А(–3; –2), В(1; 4), С(–5; 0) равнобедренный.

16. Даны координаты точек А(3; –2) и В(6; 4). Точки С и D делят отрезок АВ на три равные части. Найти координаты точек С и D.

17. Дан параллелограмм ABCD с вершинами А(–3; –2), В(3; –3), С(5; 0). Найти координаты вершины D.

18. Найти острый угол между прямой 2х – 3y + 6 = 0 и прямой, проходящей через точки (4; –5) и (–3; 2).

19. Найти уравнение прямой, проходящей через точки пересечения прямых 2х – у – 1 = 0и x– у + 7 = 0; х – 7у – 1 = 0 и 2х – 5у +1 = 0.

20. Дан треугольник ABC с вершинами А(8; 4), В(–2; 6), С(4; 0). Написать уравнение медианы BD.

21-30. Найти производные функций:

21. (0)

22. (1)

23. (0)

24. ( )

25. ( )

26. (0)

27. ( )

28. (1)

29. (0)

30. (-1)

31-40Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

31. y=(x+4)² (x-5) у = 2х² -8а:

32. y=x³-4x²-3x+6

33. у = х³ + 6x² + 9х + 8

34. у - 2х³ - Зх² - 12х - 1

35. у= -х³ + х

36. у = -х²+ 2x4-15

37. у = 1/(х² + 1)

38. у = х⁴ - 5х² + 4

39. у = х/пх

40. у = х -

41-50. Найти интегралы:

41. а) б)

42. а) б)

43. а) б)

44. а) б)

45. а) б)

46. а) б)

47. а) б)

48. а) б)

49. а) б)

50. а) б)

51-60 Решить системы методом Гаусса:

51. 52.

53. 54

55 56.

57. 58.

59. 60.

61. Какова вероятность правильно угадать все 6 чисел на карточке спортлото, если ив 49 чисел можно выбрать 6?

62. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что две взятые наугад электролампы испорчены?

63. В коробке лежат 15 белых шаров, 10 красных и 15 синих. Какова вероятность появления красного шара при вынимании одного шара из коробки?

64. В группе 30 спортсменов: 10 бегунов, 12 лыжников и 8 прыгунов. Вероятность выполнения нормы на разряд у бегуна — 0, 9; у лыжника — 0, 8; у прыгуна — 0, 7. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.

65. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании трех монет.

66. Имеется партия из 100, деталей из которых возможны 3% бракованных. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь бракованная?

67. Два спортсмена-стрелка стреляют в мишень. Вероятность попадания первого — 0, 8; а второго — 0, 9. Какова вероятность того, что оба спортсмена попадут в мишень?

68. Среди 200 деталей 2, 5% бракованных. Какова вероятность того, что две наугад взятые детали бракованные?

69. Четырехтомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что они стоят по порядку номеров?

70. В группе 80% студентов успевают на 4 и 5, а 20% имеют тройки. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных наугад студентов окажутся трое, успевающие без троек, и двое, имеющие тройки.

.Рецензия

На методическую разработку: »Методические указания и контрольные задания» для студентов-заочников образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Методическая разработка имеет своей целью показать значимость математики для познания ряда наук.

На конкретных примерах показаны применения основных разделов математики.

Преподаватель формирует навыки практического применения математики к решению задач, приближает выбор избранной специальности.

Методическая разработка рекомендуется для преподавателей математики в качестве пособия к решению задач и для студентов заочного отделения.

Рецензенты: Лобова О.В.,

Косенкова Л.В..

Литература

1. Александр Луканкин: Математика: учебник для учащихся учреждений среднего профессионального образования

Издательство: ГЭОТАР-Медиа, 2013 г.

2. Математика. Задачник. Учебное пособие для образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования. Автор: Башмаков Марк Иванович

Издательство: Академия (Academia) дата выпуска: 2013 г.
издание: 2-е

3. Элементы высшей математики: учебник для студентов образоват. учреждений СПО, обучающихся по группе специальностей 2200 " Информатика и вычисл. техника" / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. - 9-е изд., стер. - Москва: Академия, 2013.

4. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для среднего профессионального образования / М. С. Спирина, П. А.Спирин. - 5-е изд., стер. - Москва: Академия, 2013.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45