![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Общая схема исследования функций и построения графиков
С учетом изложенного выше можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика. 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на четность и нечетность; 3) исследовать функцию на периодичность; 4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва; 5) найти критические точки первого рода; 6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции; 7) найти критические точки второго рода; 8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба; 9) найти асимптоты графика функции; 10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно); 11) построить график функции. Пример 1. Построить график функции
r1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = – 2 и x = 2. 2) Функция нечетна, так как 3) Функция непериодическая. 4) Функция непрерывна во все области ее определения. Точки x = – 2 и x = 2 являются точками разрыва. 5) Находим
Очевидно, что 6) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов:
![]()
В точке
7) Находим Так как 8) Определяем знак второй производной Мы видим, что интервалах Имеем 9) Так как то
Следовательно, Результаты исследования заносим в табл. 6. По полученным данным строим график функции (рис.121). Первая производная пути по времени дает уравнение скорости движения тела, S't — V, а вторая производная St" — а — ускорения. Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Пример 1. Решение. Выполним деление на х почленно: f(x) - х - х -1/2 + Sinx
Применим теорему о производной алгебраической суммы: Пример 2. Решение, у' = (x3)'Cosx + x3(cosx)' = 3x2Cosx + x3(–Sinx) = x2(3Cosx – xSinx) Пример 3. у = (Зх – 6x2 + 8)10. Найти у'. Решение, у' = 10(Зx - 6х2 + 8)9 • (3x - 6х2 + 8)' = 10(Зx - 6ж2 + 8)9 • (3 - 12х) Пример 4. У – Sin2x/tg2x. Найти y’ Решение Пример 5. Построить график функции у = х3 — 6х2 + 9х — 3 Решение. 1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. Д(у) — R 2. Исследуем функцию на четность и нечетность. Имеем у(-х) = (-x)3 - 6(-x)2 + 9(-x) - 3 = -x3 - 6x2 - 9х - 3 Функция не является ни четной, ни нечетной. 3.Функция не является периодической. 4.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. 5.Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Имеем: у' — Зx2 — 12x + 9; 3x2 — 12x + 9 = 0. Отсюда получаем критические точки x1 = 1, x2 = 3. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы: — 6. Найдем интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба. Имеем: у" = 6х - 12, 6х - 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два интервала: -
6.Используя полученные данные, строим искомый график (рис.1). Рис. 1.
VI. Неопределенный интеграл Перед изучением темы необходимо повторить формулы дифференцирования функций. Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления и формулируется так: дана функция f(x), требуется найти такую функцию F(x), чтобы dF(x) = f(x)dx, т.е. F'(x) = f(x) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x). F(x) + С, где С — произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для функции f(x) и называется неопределенным интегралом. Обозначается: Пример 1. Пример 2. Пример 3. Найти Решение. Применим подстановку Интеграл имеет вид: Выполним замену Пример 4. Найти Решение. Cosxdxесть дифференциал функции Sinx, Cosxdx = dSinx. Поэтому Пример 5. Найти Решение. Положим и — lnx, dv = dx/x2, тогда du = dx/x, По формуле VII. Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла непосредственным переходом к пределу интегральной суммы является операцией довольно трудной и не всегда выполняемой. Формула Ньютона-Лейбница дает возможность вычислить определенный интеграл с помощью неопределенного. Все методы интегрирования, рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются и при вычислении определенного интеграла. Пример 1. Пример 2. Пример 3 . Решение. Предположим, Определенный интеграл был вычислен способом подстановки, т.е. с помощью замены переменной. Обратите внимание на вычисление новых пределов интегрирования. Пример 4- Вычислить Решение. Положим и = lnx; dv = xdx, тогда du = dx/x; v =x2/2. Следовательно: Определенный интеграл был вычислен с применением формулы интегрирования по частям, которая имеет вид: Интегральное исчисление дает общий прием для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, работы, силы и др. Решим ряд задач. Рис. 2 Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = -1; x = 3; у=0 Решение. Сделаем чертеж (рис. 2) Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Sinx; х = — Решение. Сделаем чертеж (рис. 3). Вычислим интеграл:
Рис. 3 Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 4x; у = х Решение. Сделаем чертеж (рис. 4). Вычислим пределы интегрирования, для чего решаем систему уравнений относительно х:
Рис. 4 Задача 4- Сила в 8H растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит? Решение. По закону Гука F — хк, где х — величина растяжения (сжатия), к — коэффициент пропорциональности.
Задача 5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V — 6t2 + 2t (м/с), второе - со скоростью V = 42 + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с? Решение. Очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5с. S1 - S2 = 275 - 75 = 200(m)
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1409; Нарушение авторского права страницы