Общая схема исследования функций и построения графиков

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

С учетом изложенного выше можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика.

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;

5) найти критические точки первого рода;

6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

7) найти критические точки второго рода;

8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;

9) найти асимптоты графика функции;

10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);

11) построить график функции.

Пример 1. Построить график функции

r1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = – 2 и x = 2.

2) Функция нечетна, так как

3) Функция непериодическая.

4) Функция непрерывна во все области ее определения. Точки x = – 2 и x = 2 являются точками разрыва.

5) Находим

Очевидно, что при и . Кроме того не существует при . Следовательно, имеет следующие критические точки первого рода:

6) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (рис. 119). Следовательно, функция f(x) в интервалах и возрастает, а в интервалах убывает.

В точке функция имеет максимум, а точке — минимум. Так как при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет. Имеем:

x				–2
f(x)	–		–		+		–		+		+
f¢ (x)	+		–		–		–		–		+
f¢ ¢ (x)	–	–	–		+		–		+		+
Выводы		т.м.		т.р.		т.п.		т.р.		т.м.

7) Находим .

Так как при и не существует при , то б и являются критическими точками второго рода.

8) Определяем знак второй производной и каждом из интервалов и (рис. 120).

Мы видим, что интервалах и график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервалах и — выпуклость вниз. Вторая производная меняет знак в каждой из критических точек второго рода, однако точки не принадлежат области определения функции и поэтому лишь точка является точкой перегиба с горизонтальной касательной (так как ).

Имеем , следовательно, точкой перегиба является начало координат.

9) Так как и

то и являются вертикальными асимптотами. Далее, находим

Следовательно, является наклонной асимптотой.

Результаты исследования заносим в табл. 6. По полученным данным строим график функции (рис.121).

Первая производная пути по времени дает уравнение скорости движения тела, S'_t — V, а вторая производная S_t" — а — ускорения. Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Пример 1.

Найти f (x).

Решение. Выполним деление на х почленно: f(x) - х - х^-1/² + Sinx

Применим теорему о производной алгебраической суммы:

Пример 2. Найти у'.

Решение, у' = (x³)'Cosx + x³(cosx)' = 3x²Cosx + x³(–Sinx) = x²(3Cosx – xSinx)

Пример 3. у = (Зх – 6x² + 8)¹⁰. Найти у'.

Решение, у' = 10(Зx - 6х² + 8)⁹ • (3x - 6х² + 8)' = 10(Зx - 6ж² + 8)⁹ • (3 - 12х)

Пример 4. У – Sin2x/tg2x. Найти y’

Решение

Пример 5. Построить график функции у = х³ — 6х² + 9х — 3

Решение.

1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. Д(у) — R

2. Исследуем функцию на четность и нечетность.

Имеем у(-х) = (-x)³ - 6(-x)² + 9(-x) - 3 = -x³ - 6x² - 9х - 3 Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.Функция не является периодической.

4.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осью Оу, положим x = 0, тогда у =-3. Точки пересечения с осью Ох в данном случае найти затруднительно, т.к. при у — 0 x³ — 6x² 4- 9x — 3 = 0.

5.Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Имеем: у' — Зx² — 12x + 9; 3x² — 12x + 9 = 0. Отсюда получаем критические точки x₁ = 1, x₂ = 3. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы:

— < x< 1; 1< x< З и 3< x< . Исследуем знак у' в каждом из интервалов. В интервалах - < x < 1иЗ< x< , у’> 0, т.е. функция возрастает, а в интервале 1< x< 3, у’< 0, т.е. функция убывает. При переходе через точку x =1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x = 3 — с минуса на плюс. Значит, Уmах = y(1) = 1, Уmiп = y(3) = -3.

6. Найдем интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба. Имеем: у" = 6х - 12, 6х - 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два интервала: - < х < 2 и 2 < х < . В первом из них у" < 0, а во втором у" > 0, т.е. в интервале- < х < 2 кривая выпукла вверх, а в интервале 2 < x < выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; — 1).

6.Используя полученные данные, строим искомый график (рис.1).

Рис. 1.

VI. Неопределенный интеграл

Перед изучением темы необходимо повторить формулы дифференцирования функций. Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления и формулируется так: дана функция f(x), требуется найти такую функцию F(x), чтобы dF(x) = f(x)dx, т.е. F'(x) = f(x)

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x). F(x) + С, где С — произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для функции f(x) и называется неопределенным интегралом. Обозначается:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. Найти

Решение. Применим подстановку , где z — новая переменная. Возведем обе части в квадрат: 1 + 2х² = z². Продифференцируем обе части равенства: 4xdx = 2zdz, xdx — z/2dz

Интеграл имеет вид:

Выполним замену , получим

Пример 4. Найти

Решение. Cosxdxесть дифференциал функции Sinx, Cosxdx = dSinx. Поэтому =

Пример 5. Найти

Решение. Положим и — lnx, dv = dx/x², тогда du = dx/x, dv = dx/x² - x^-2dx - (-l)x^-1 = -1/x; v = -1/x

По формуле udv = uv — vdu, получим:

VII. Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла непосредственным переходом к пределу интегральной суммы является операцией довольно трудной и не всегда выполняемой. Формула Ньютона-Лейбница дает возможность вычислить определенный интеграл с помощью неопределенного.

Все методы интегрирования, рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются и при вычислении определенного интеграла.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3

Решение. Предположим, , тогда x² + 1 = t²; 2xdx = 2tdt; xdx = tdt; t_H =1, t_B = .

Определенный интеграл был вычислен способом подстановки, т.е. с помощью замены переменной. Обратите внимание на вычисление новых пределов интегрирования.

Пример 4- Вычислить

Решение. Положим и = lnx; dv = xdx, тогда du = dx/x; v =x²/2.

Следовательно:

Определенный интеграл был вычислен с применением формулы интегрирования по частям, которая имеет вид:

Интегральное исчисление дает общий прием для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, работы, силы и др. Решим ряд задач.

Рис. 2

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х², х = -1; x = 3; у=0

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2)

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Sinx; х = — ; х = 0; у = 0

Решение. Сделаем чертеж (рис. 3). Вычислим интеграл:

ед², или

Рис. 3

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у² = 4x; у = х

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4). Вычислим пределы интегрирования, для чего решаем систему уравнений относительно х:

Рис. 4

Задача 4- Сила в 8H растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит?

Решение. По закону Гука F — хк,

где х — величина растяжения (сжатия), к — коэффициент пропорциональности.

Задача 5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V — 6t² + 2t (м/с), второе - со скоростью V = 42 + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

Решение. Очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5с.

S₁ - S₂ = 275 - 75 = 200(m)

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒