Классификация позиционных систем счисления

Все многообразие систем счисления можно разделить на две группы:

1. Аддитивные (непозиционные) системы счисления.

2. Позиционные системы счисления.

Аддитивные системы счисления – системы записи чисел, в которых каждой цифре в записи числа соответствует величина, не зависящая от местонахождения этой цифры в записи числа.

Наиболее известной из аддитивных систем счисления является римская система счисления. В ней для обозначения чисел используются буквы латинского алфавита: I, V, X, L, C, D и M. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд знаков. Значение числа определяется следующим образом:

1) суммируются значения идущих подряд нескольких одинаковых знаков (группа первого вида);

2) вычитаются значения двух знаков, если слева от большего знака стоит меньший, то есть от значения большего знака отнимается значение меньшего (группа второго вида).

Позиционные системы счисления – системы записи чисел, в которых значение цифры в записи числа зависит от ее позиции или местонахождения в числе.

Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.

Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по ее месту в записи числа, то есть «вес» каждого разряда.

Приведем в качестве примера базисы некоторых традиционных систем счисления:

Десятичная система счисления: 1, 10, 10², 10³, …, 10ⁿ.

Двоичная система счисления: 1, 2, 2², 2³, …, 2ⁿ.

Восьмеричная система счисления: 1, 8, 8², 8³, …, 8ⁿ.

Позиционные системы счисления бывают традиционными и нетрадиционными.

Системы счисления, базис которых образуют члены геометрической прогрессии, называют традиционными.

К традиционным системам счисления относятся двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Для записи чисел в десятичной системе счисления используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В восьмеричной системе счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а восьмерка записывается двумя цифрами 10. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления необходимо располагать уже 16-ю различными символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти шестнадцатеричных цифр используются те же, что и в десятичной системе (0, 1, …, 9), для обозначения остальных шести цифр (в десятичной системе они соответствуют числам 10, 11, 12, 13, 14, 15) используют буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

Позиционные системы счисления принято делить на следующие три класса:

1. Системы с целочисленным основанием:

§ единичная (унарная) система счисления, простейшая из позиционных систем счисления;

§ двоичная (применяется в дискретной математике, информатике и программировании);

§ троичная система счисления;

§ восьмеричная (применяется в программировании);

§ десятичная система счисления;

§ двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых областях используется и сейчас);

§ шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах);

§ сорокаичная система счисления (применялась в древности («сорок сороков = 1600»));

§ шестидесятеричная (применяется при измерении углов и, в частности, долготы и широты).

2. Системы с отрицательным основанием (нега-позиционные):

§ нега-двоичная система счисления (с основанием -2);

§ нега-десятичная система счисления (с основанием -10).

Системы с нецелочисленным основанием:

2, 71… = e – e-ричная система счисления с основанием, равным числу Эйлера (применяется в натуральных логарифмах).

В общем виде для традиционных позиционных систем счисления базис можно записать в следующем виде:

Знаменатель P геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием системы счисления.

К нетрадиционным системам счисления относятся факториальная, фибоначчиевая и уравновешенная. Базисы этих систем счисления выглядят следующим образом:

- факториальная – 1!, 2!, …, (n-1)!, n!;

- фибоначчиевая – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …;

- уравновешенная троичная – -1, 0, 1.

Преобразование чисел

В общем случае перевод любого числа, состоящего из целой и дробной частей

, (1)

из системы счисления с основанием P₁ в систему с основанием P₂ может быть выполнен по универсальному алгоритму, который нетрудно определить, приведя целую и дробную части выражения к видам:

(2)

(3)

Согласно этому алгоритму перевод числа, включающего в себя целую и дробную части, состоит из вычислительных процессов двух видов:

1) последовательного деления нацело целой части и образующихся целых частных на основание новой системы счисления;

2) последовательного умножения дробной части и дробных частей получающихся произведений на то же новое основание, записанное, как и в первом случае, цифрами исходной системы счисления.

При переводе целой части числа в ходе процесса последовательного деления получаются остатки, выраженные цифрами исходной системы счисления. Они представляют собой цифры , , …, целой части числа, переведенного в новую систему счисления. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа. Процесс деления продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

При переводе дробной части числа при каждом умножении получаются целые части, которые исключаются из последующих умножений. Эти целые части, изображенные цифрами исходной системы счисления, представляют собой цифры дробной части, переведенной в новую систему счисления. Значение первой целой части является первой цифрой после запятой переведенного числа. Процесс умножения продолжаем до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не выделится период.

Следует отметить, что все арифметические действия осуществляются по правилам исходной системы счисления.

Пример 1.

Требуется перевести число 30, 6 в десятичной системе счисления в двоичную систему счисления.

Согласно вышесказанному переводим отдельно целую и дробную части числа.

Перевод целой части
последовательное деление	остатки
30: 2 = 15
15: 2 = 7
7: 2 = 3
3: 2 = 1
1: 2 = 0

Перевод дробной части
целая часть	последовательное умножение
1	0, 6 ∙ 2 = 1, 2
	0, 2 ∙ 2 = 0, 4
	0, 4 ∙ 2 = 0, 8
	0, 8 ∙ 2 = 1, 6
	0, 6 ∙ 2 = 1, 2

1 1 1 1 0, 1 0 0 1 1

30, 6₁₀ = 11110, 10011₂

Пример 2.

Требуется перевести число 111101, 01 в двоичной системе счисления в десятичную систему счисления.

Перевод целой части
последовательное деление	остатки
111101: 1010 = 110	001
110: 1010 = 0

Перевод дробной части
целая часть	последовательное умножение
010	0, 0100∙ 1010=010, 1000
	0, 1000∙ 1010=101, 0000

6 1, 2 5

111101, 01₂ = 61, 25₁₀

6 1, 2 5

111101, 01₂ = 61, 25₁₀

По универсальному алгоритму наиболее просто переводить числа из десятичной системы счисления в любую другую.

1) цифры исходного числа нумеруются справа налево начиная с нуля – для целой части числа и слева направо начиная с -1 – для дробной части;

2) каждая цифра числа переводится в число в десятичной системе;

3) десятичное число, соответствующее каждой цифре, умножается на основание исходной системы счисления в пронумерованной степени, и результаты складываются.

Пример 3.

Требуется перевести число 111101, 01 в двоичной системе счисления в десятичную систему счисления:

1⁵1⁴1³1²0¹1⁰, 0^-11^-2₂=

=1·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2=61, 25₁₀

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную систему можно воспользоваться представлением исходного числа как суммы произведений цифр данного числа и степеней основания исходной системы счисления. Алгоритм такого перевода выглядит следующим образом (действия проводятся в десятичной системе счисления): Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную систему можно воспользоваться представлением исходного числа как суммы произведений цифр данного числа и степеней основания исходной системы счисления. Алгоритм такого перевода выглядит следующим образом (действия проводятся в десятичной системе счисления):

2) каждая цифра числа переводится в число в десятичной системе;

Пример 4.

Требуется перевести число 111101, 01 в двоичной системе счисления в десятичную систему счисления:

1⁵1⁴1³1²0¹1⁰, 0^-11^-2₂=

=1·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2=61, 25₁₀

Пример 5.

Требуется перевести число 3E5A1 в шестнадцатеричной системе счисления в десятичную систему счисления:

3⁴E³5²A¹1⁰₁₆ = 3·16⁴+E·16³+5·16²+A·16¹+1·16⁰ =

= 3·16⁴+14·16³+5·16²+10·16¹+1·16⁰ = 255393₁₀

Еще более простой алгоритм применяется для работы с системами счисления, основание которых представляет собой ту или иную степень числа 2. К таким системам счисления относятся: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д. Иногда подобные системы счисления называют смешанными. Для записи любой цифры числа, представленного в системе счисления, основание которой 2 в любой степени, необходимо количество двоичных цифр, равное значению данной степени. Например, для записи восьмеричного числа – три двоичные цифры, для записи шестнадцатеричного – четыре.

Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричную систему счисления, преобразуемое число разделяют справа налево на группы по три двоичные цифры, при этом самая левая группа может содержать меньше трех двоичных цифр. Затем каждую группу двоичных цифр выражают в виде восьмеричной цифры с учетом того, что:

000₂ = 0₈	011₂ = 3₈	110₂ = 6₈
001₂ = 1₈	100₂ = 4₈	111₂ = 7₈
010₂ = 2₈	101₂ = 5₈

Аналогично преобразуют двоичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что преобразуемое двоичное число делят на группы по 4 двоичных цифры в каждой, поскольку для записи любой цифры шестнадцатеричного числа необходимы четыре двоичные цифры:

0000₂ = 0₁₆	0100₂ = 4₁₆	1000₂ = 8₁₆	1100₂ = C₁₆
0001₂ = 1₁₆	0101₂ = 5₁₆	1001₂ = 9₁₆	1101₂ = D₁₆
0010₂ = 2₁₆	0110₂ = 6₁₆	1010₂ = A₁₆	1110₂ = E₁₆
0011₂ = 3₁₆	0111₂ = 7₁₆	1011₂ = B₁₆	1111₂ = F₁₆

Преобразование восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичное осуществляется простым переводом каждой цифры исходного числа в группу из трех (для восьмеричного числа) или четырех (для шестнадцатеричного числа) двоичных цифр.

Пример 6.

1101111011₂ = 1 101 111 011 = 1573₈

1101111011₂ = 11 0111 1011 = 37B₁₆

123₈ = 001 010 011 = 1010011₂

A17₁₆ = 1010 0001 0111 = 101000010111₂

Арифметические операции

Арифметические действия над числами (сложение, вычитание, умножение и деление) в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию b системы счисления. Операции сложения и умножения производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Пример 7.

Требуется сложить два числа в двоичной системе счисления:


+

Пример 8.

Требуется найти произведение двух чисел в двоичной системе счисления:




+

Вычитание чисел в двоичной системе счисления может осуществляться двумя способами:

1) из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее, и у результата ставится соответствующий знак;

2) вычитаемое предварительно преобразуется в дополнительный код (перед преобразованием количество разрядов в числах выравнивается), после чего оба числа суммируются.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо:

1) значения всех разрядов изменить на противоположные, т.е. все нули заменить единицами, а единицы нулями (получить обратный код исходного числа);

2) к полученному обратному коду прибавить единицу в младшем разряде.

Пример 9.

Требуется найти разность двух чисел в двоичной системе счисления: 10111₂ – 1101₂

Первый способ:


-

Второй способ:

Получим дополнительный код числа 1101₂

1101 Þ 01101 (добавили один пустой разряд справа)

01101 Þ 10010 (заменили 0 Û 1)

10010 Þ 10011 (прибавили 1 в младшем разряде)


+

Игнорируем 1 переноса из старшего разряда и получаем результат, равный 01010₂.

При делении столбиком приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания.

Пример 10.

Требуется найти частное от деления двух чисел в двоичной системе счисления:


-

		-

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒