Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 36Следующая ⇒

Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические характеристики, включающие в себя логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую характеристику (ЛФХ).

В теории автоматического управления при исследовании динамических свойств САУ (главным образом устойчивости) пользуются логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ). Также эти характеристики широко применяются при определении структуры и параметров регуляторов, формирующих заданный переходный процесс в системах автоматического управления.

Логарифмируя левую и правую части уравнения АФЧХ, можно записать

Зависимости lnA(ω ) и φ (ω ) представляют собой соответственно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики.

Для оценки отношения двух однородных величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ). Связь между числом L и числом А выражается формулой L = 20 lgА. Например, если число А = 10, то L = 20lgА = 20 дБ, так как lg10 = 1.

ЛАХ и ЛФХ представляются в этом случае в виде графиков в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывается частота со в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — значения амплитуд ЛАХ в децибелах и углы ЛФХ в градусах (или радианах) в равномерном масштабе.

Безынерционное звено. Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим L(ω ) = 20lgk. Так как k от частоты не зависит, ЛАХ безынерционного звена будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 9.25).

Рассмотрим вторую составляющую ЛАХ:

Апериодическое звено. Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим

Из этого выражения, полагая, что ω ² T ² < < 1, получим L₂(ω ) = 0, так как lg1 = 0. Если ω ² T ² > > 1, пренебрегая единицей, найдем L₂(ω )= - 20 lgω T. При ω Т = 1 подкоренное выражение будет равно двум, а L₂(ω )= 3 дБ. ЛАХ в этом случае можно представить в виде двух прямых (асимптот), сопряженных в точке ω _s = 1/Т. При этом частота ω _s называется сопрягающей; одна из асимптот L₂(ω )= 0 совпадает с осью абсцисс, а вторая L₂(ω )= - 20lgT наклонена по отношению к ней.

Угол наклона второй прямой найдем на основании следующих соображений. При частоте ω = ω ₁ ордината прямой равна - 20 lgω ₁ T, а при частоте, например, ω = 2ω ₁ она составит -20lg2ω ₁T. Найдем разность этих ординат:

Таким образом, при двухкратном изменении частоты прямая имеет наклон -6 дБ на октаву. Под октавой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий двухкратному изменению частоты. Разность ординат при десятикратном изменении частоты составит:

Наклон прямой в этом случае -20 дБ на декаду (-20 дБ/дек.). Под декадой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий десятикратному изменению частоты. Знак «минус» показывает, что при возрастании частоты ординаты ЛАХ убывают (отрицательный наклон).

На рис. 9.26 показано сопряжение двух асимптот. Первая представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от нее на расстояние 20 lgk. Вторая наклонена по отношению к ней на -20 дБ/дек. Суммируя L₁ и L₂ получим результирующую ЛАХ апериодического звена L(ω ). В окрестности частоты ω _c сопряжение асимптот может быть произведено плавной кривой, проходящей через точку, лежащую ниже точки их пересечения на 3 дБ. Частота ω _с, при которой ЛАХ пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Логарифмическая фазовая характеристика φ (ω ) = -агсtgω Tможет быть построена по точкам. Ее характерные точки: φ (0) = 0; φ (ω _s) = -45°; φ (∞ ) = -90°.

Колебательное звено. Для построения ЛАХ колебательного звена целесообразно его уравнение представить в виде

Прологарифмировав это выражение, получим уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик:

Семейство кривых ЛАХ и АФХ для одного и того же значения со₀ и различных значений ^, построенное по этим уравнениям, приведено на рис. 9.27. Эти кривые построены без учета первого и второго слагаемых уравнения для Lω, так как они являются постоянными величинами. В отличие от предыдущих графиков для придания универсальности кривым по оси абсцисс откладываются значения ω /ω ₀.

При значениях ξ от 0, 35 до 0, 75 с достаточной точностью вместо кривых АФХ можно использовать две прямые асимптоты, сопрягающиеся в точке ω /ω ₀ = 1. Действительно,

Наклон второй асимптоты, определяемый уравнением -20lgω ², составляет 12 дБ на октаву, или -40 дБ/дек. При любых других значениях % характеристики L(ω ) необходимо строить по точкам.

Дифференцирующее звено. Прологарифмировав уравнение этого звена, найдем

ЛАХ L(ω ) строится по трем составляющим (рис. 9.28). Первая составляющая — это прямая, параллельная оси абсцисс; вторая составляющая L₂(ω ) = 20lgω T— это прямая, имеющая положительный наклон 20 дБ/дек и проходящая через точку на оси абсцисс, соответствующую сопрягающей частоте ω _s = 1/T.

Третья составляющая имеет две асимпто-

ты, сопрягающиеся в точке ω _s= 1/Т, одна из которых совпадает с осью абсцисс, а вторая имеет отрицательный наклон -20 дБ/дек.

Просуммировав эти три составляющие, получим результирующую ЛАХ дифференцирующего звена L(ω )

ЛФХ φ (ω ) строится по точкам. Ее характерные точки: φ (0)=90°; φ (ω _s)=45°; φ (∞ )= 0.

Интегрирующее звено. ЛАХ (рис. 9.29) представляет собой прямую, проходящую через точку ω = 1 на расстоянии 20lgk от оси абсцисс и имеющую наклон -20 дБ/дек. ЛФХ выражается прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстояние -π /2 (-90°).

Запаздывающее звено. Уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик этого звена соответственно имеют вид L(ω )= 20lgk; φ (ω ) = - ω τ.

Таким образом, ЛАХ запаздывающего звена аналогична ЛАХ безынерционного звена, а ЛФХ представляет собой кривую с неограниченным возрастанием угла φ (ω ) при изменении частоты ω от 0 до ∞.

Контрольные вопросы

1. Что представляют собой статический и динамический режимы работы объекта и какие существуют типовые возмущающие воздействия?

2. Какие реальные физические объекты можно представить апериодическим звеном? Что такое передаточная функция апериодического звена?

3. Что представляют собой АФХ и типовая кривая разгона апериодическое звена?

4. Какие объекты можно представить как интегрирующее (астатическое) звено? Какова передаточная функция такого звена?

5. Что представляют собой АФХ и типовая кривая разгона интегрирующего звена?

6.Приведите примеры реализации колебательного и апериодического 2-го порядка звеньев. Какова передаточная функция колебательного звена?

7. Что представляет собой АФХ колебательного звена?

8. Что представляют собой типовые кривые разгона колебательного и апериодического 2-го порядка звеньев?

9. Приведите примеры реализации пропорционального звена. Каковы АФХ и типовая кривая разгона этого звена?

10. Приведите пример идеального дифференцирующего звена. Какова его передаточная функция?

11. Поясните АФХ и кривые разгона идеального и реального дифференцирующих звеньев?

12. Приведите пример реализации и поясните АФХ и типовую кривую разгона запаздывающего звена.

13. Что представляют собой логарифмические частотные характеристики динамических звеньев?

14. Поясните ЛАХ и ЛФХ безинерционного и апериодического звеньев?

15. Каковы ЛАХ и ЛФХ колебательного звена и какие факторы влияют на изменение этих характеристик?

16.Поясните ЛАХ и ЛФХ дифференцирующего и интегрирующего
звеньев.

Глава 10

СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ В САУ

Типовые соединения звеньев

В реальных промышленных САУ соединение элементов между собой может быть довольно сложным. Однако любую сложную схему можно разбить на отдельные блоки с одним из трех типовых соединений: последовательным, параллельно-согласованным или параллельно-встречным.

⇐ Предыдущая 15 16 17 18 192021 22 23 24 Следующая ⇒