Доверительный интервал оценки измеряемой случайной величины

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 10Следующая ⇒

Приведенные ниже доверительные оценки истинного значения измеряемой случайной величины даны в предположении, что случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения и имеют симметричный вид, то есть

– e< Y < +e

или

|Y– |< e. (10)

Величина e определяется по заданной доверительной вероятности (надежности оценки) P; обычно надежность задается в виде одного из трех уровней: 0, 95; 0, 99 или 0, 999. Для определения доверительного интервала единичного или среднего результатов используется критерий Стьюдента t_{(P, f)}:

e₍_Yi)=t₍_P,_f)S₍_Yi), (11)

e₍_Y)=t₍_P,_f)S₍_Y). (12)

Критерий Стьюдента t_{(P, f)} выбирается из таблиц в зависимости от принятого уровня значимости и числа степеней свободы, имевших место при определении дисперсии (прил. В).

Упражнение № 2. По результатам упражнения № 1 определить доверительный интервал оценки средней плотности магнезита.

Величина критерия Стьюдента при степени свободы f=10 и принятых уровнях значимости 0, 05 и 0, 01 (надежностью оценки параметра соответственно (1 – 0, 05)=0.95 или 95 % и 0, 99) составляет соответственно t_{(0.95, 10}₎=2, 23; t_{(0.99, 10}₎=3, 17. Соответственно доверительная ошибка среднего значения составляет:

при q=0, 05 e_(Y)=2, 23·8, 36=18, 6,

при q=0, 01 e_(Y)=3, 17·8, 36=26, 5.

Таким образом, значение средней плотности магнезита с надежностью 95% находится в интервале 3025, 8 – 3063, 0 кг/м³; с надежностью 99 % в интервале 3017, 9 – 3070.9 кг/м³.

Задача № 7. По результатам задачи № 6 определить влияние количества повторов на величину доверительной ошибки среднего значения плотности газобетона.

Сравнение средних значений

Целью эксперимента нередко является установление влияния факторов) (например, температуры твердения) на некоторый объект (например, бетон нормального твердения). Для этого пользуются сравнением количественных результатов оценки объекта исследования (например, предела прочности бетона при сжатии R_b) при изменяемых условиях твердения: R₁ – при нормальных условиях твердения; R₂ – при твердении в условиях температуры окружающей среды, например, 30 С.

Если между двумя средними значениями существует разница, то возникает вопрос: не вызвана ли она случайными ошибками эксперимента? Иными словами, исследователь кроме самих результатов должен получить достоверные данные о существовании так называемом статистическом различии между средними значениями. Излагая методику поиска ответа на этот вопрос, будем считать, что проводимые измерения независимы и равноточны, грубые ошибки исключены, а систематические учтены; распределение ошибок подчиняется нормальному закону.

Как и ранее, методика решения вопроса о наличии статистическом различии результатов зависит от того, известны или нет исследователю дисперсии измерений. Будем рассматривать случай, когда дисперсии неизвестны.

В этом случае сравнение средних значений производится при добавочном предположении, что дисперсии ошибок в сериях измерений одинаковы (это предположение можно принимать без дополнительных проверок в том случае, если когда опыты проводятся по единой методике и на одном оборудовании). Рассмотрим алгоритм решения задачи на конкретном примере.

Упражнение № 3. Оценить влияние температуры твердения бетона на величину его прочности в 7-ми суточном возрасте по результатам следующих испытаний (здесь и далее в примере значения прочности приведены в МПа):

серия 1 (T_тв=20 С): 30, 7, 32, 1, 31, 8, 33, 6, 29, 5;

серия 2 (T_тв=30 С): 34, 8, 32, 8, 33, 9, 34, 8, 32, 7.

Решение этого вопроса осуществляется в следующей последовательности.

1. Рассчитываем средние значения в сериях. Эти величины составляют соответственно R₁=31, 5, R₂=33, 8.

2. Проводим оценку величин среднего квадратического отклонения единичных результатов по формуле (3). Для первой серии S_R₁_i=1, 54; для второй S_R₂_i=1, 027.

3. Для решения вопроса о случайности различия результатов в сериях производим расчет величины T по формуле

, (13)

где

(14)

В нашем случае Q=1, 31; T=2, 787.

4. После расчета значения T следует задать желаемую вероятность вывода и определить значение критерия Стьюдента, соответствующее заданной вероятности и числу степеней свободы f=n₁+n₂–2, то есть для рассматриваемого примера f=8. Для вероятностей 0, 9, 0, 95, 0, 99 табличные величины критерия Стьюдента соответственно составляют 1, 860, 2, 306 и 3, 355.

Если величина T превосходит значение критерия Стьюдента, расхождение в средних значениях можно считать неслучайным; в противном случае нет оснований считать, что расхождение результатов является статистически значимым. В нашем случае с вероятностью 0, 95 различие в результатах значимо и, следовательно, повышение температуры твердения бетона на 10 С катализирует гидратационные процессы и ускоряет набор прочности бетона.

Если результаты расчетов не позволяют сделать вывод о значимом различии результатов при заданной вероятности, а исследователь считает данный фактор значимым, то единственно возможный дальнейший путь-увеличение числа повторов для снижения ошибки опыта.

Если предположение о равенстве дисперсий в сериях результатов требует доказательства, то оно проводится следующим образом.

При равенстве числа повторов результатов в сериях n₁=n₂ однородность дисперсий может быть проверена по критерию Кохрена G, который вычисляется по формуле

(15)

при суммировании всех сравниваемых дисперсий.

Расчетное значение критерия Кохрена сравнивают с табличным критическим значением G_кр (прил. Г). Если G < G_кр, то оценки дисперсий однородны.

2. При неравенстве числа повторов результатов в сериях однородность дисперсий может быть проверена по критерию Фишера F, который вычисляется по формуле

. (16)

Расчетное значение критерия Фишера сравнивают с табличным критическим значением F_кр (прил. Д). Если F < F_кр, то оценки дисперсий однородны

Задача № 8. При проведении исследовательской дипломной работы по оценке влияния комплексной полифункциональной добавки на прочность бетона, студенткой Дружининой М.О. были получены следующие результаты, МПа:

· состав бетона без добавки: 24, 6; 22, 1; 25, 7; 25, 6; 23, 8; 22, 4;

· состав бетона с добавкой: 27, 6; 28, 1; 27, 7; 29, 6; 28, 8.

Доказать или опровергнуть обоснованность вывода по работе об увеличении прочности бетона.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒