Расчет коэффициентов полного факторного эксперимента. Эффекты взаимодействия. Смешанные оценки

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

Целью реализации план - матриц как в задачах оптимизации, так и в задачах интерполяции – получение математических моделей, то есть определение неизвестных коэффициентов полинома. Для линейной модели полином выглядит как Y= b₀+b₁X₁ + b₂X₂. Рассматривая математические модели как объект исследования, следует помнить, что как и для других физических величин, для моделей существуют понятия истинного значения коэффициентов и экспериментальной оценки этого значения. Планируя и реализуя эксперимент, мы пытаемся провести проверку адекватности математической модели.

Эксперимент, имеющий конечное число опытов, позволяет получить выборочные оценки коэффициентов уравнения: b₀, b₁, b₂ и т.д. Их точность и надежность зависят от свойств выборки и определяются известными статистическими методами.

Для расчета коэффициентов полного факторного эксперимента следует пользоваться формулой

; j=1…k. (22)

Подсчет оценок коэффициентов ПФЭ типа 2² по формуле (22) дает следующие результаты

Аналогичным образом расчет b₂ дает значение 5, 25.

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов полностью формализован. Если уравнение Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂ справедливо, то оно справедливо и для средних значений переменных факторов =b₀+b₁ ++b₂ , а так как в силу симметрии = =0, то b₀= , то есть мы определяем значение свободного члена полинома. Чтобы привести оценку свободного члена в соответствие с общей формулой расчета (22) коэффициентов модели поступают следующим образом: в матрицу планирования помещают дополнительный вектор-столбец фиктивной переменной X₀, которая для всех опытов принимает значение [+1]. Тогда b₀=24, 5.

Свободный член уравнения является оценкой параметра оптимизации в центральной точке плана. Но такой же столбец X₀ надо было бы использовать и при расчете оценки квадратичных эффектов X²₁, X²₂. Следовательно, по результатам реализации ПФЭ оценка свободного члена является смешанной с суммарной оценкой квадратичных эффектов всех факторов. Если квадратичные эффекты будут значимы, прогнозируемый результат опыта в центральной точке эксперимента будет существенно отличаться от экспериментального значения, и следует переходить к планам второго порядка.

Окончательно полином первой степени вида в рассматриваемой задаче имеет вид Y=24, 75+12, 25X₁+5, 25X₂.

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов: чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор на параметр оптимизации. Если знак коэффициента [+], то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, и наоборот. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в значение параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний. Но чаще, а особенно для качественных факторов, вклад фактора в параметр оптимизации оценивают по ЗНАЧЕНИЮ ЭФФЕКТА ФАКТОРА, представляющему собой значение вклада фактора в параметр оптимизации при переходе с нижнего на верхний уровень. Численно эффект фактора равен удвоенному значению коэффициента с сохранением знака.

Если линейная модель адекватна, то поставленная задача решена. В экстремальных задачах далее продолжается восхождение по градиенту, в интерполяционных – эксперимент заканчивается. А если линейная модель неадекватна? Можно ли, используя результаты ПФЭ, оценить нелинейность модели? Да. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеется эффект взаимодействия факторов. Для его количественной оценки в матрицу планирования дополнительно помещается вектор столбец произведений двух факторов X₁X₂. При вычислении значения коэффициента взаимодействия пользуются известной уже формулой (22), поступая со столбцом взаимодействия так же, как с обычным столбцом матрицы. Заметим, что добавление в матрицу вектор – столбца эффекта взаимодействия фактора не изменяет свойств матрицы. Следует обратить внимание на то, что в задачах оптимизации необходимо стремиться сделать эффекты взаимодействия как можно меньшими, а в задачах интерполяции наоборот, выявление эффектов взаимодействия представляет собой практический интерес.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒