Проверка адекватности математической модели

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒

Первый вопрос, который задает исследователь после получения коэффициентов математической модели – пригодность модели. Проверка пригодности модели называется проверкой адекватности модели.

Предсказанное по математической модели значение параметра оптимизации всегда отличается от фактического значения на какую-то величину, или иными словами, фактические значения параметра оптимизации имеют разброс относительно линии регрессии. Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии вполне подходит остаточная сумма квадратов, но она зависит от числа коэффициентов и уравнений: введите столько коэффициентов, сколько вы провели независимых опытов и получите остаточную сумму, равную нулю. Поэтому в статистике остаточную сумму относят на один " свободный" опыт. Число таких опытов называется числом степеней свободы f. Числом степеней свободы называется разность между числом опытов (строк матрицы) и числом коэффициентов, которые уже вычислены по результатам опытов независимо друг от друга.

Если, например, проведен ПФЭ типа 2³ и определены коэффициенты линейной зависимости, то число степеней свободы f= N – (k+1)=8 – (3+1)=4. Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы называется остаточной дисперсией или дисперсией адекватности (S²_ад)

. (25)

В статистике разработан критерий, который удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется критерием Фишера (F-критерий) и определяется следующим образом

. (26)

Дисперсии в формуле определяются со своими значениями степеней свободы.

Проверка гипотезы состоит в сравнении расчетного значения критерия Фишера с табличным (прил. Д).

В нашем случае S²_ад=12, 24 (по результатам табл. 6), S²_{y}=7, 5, F_расч=1, 63, что меньше табличного значения 1, 99.

2.18. Построение математических моделей планов 2-го и выше порядков

Полный факторный эксперимент рекомендуется использовать при построении линейных моделей, которые в реальных технологических задачах встречается нечасто. Для моделей высокого порядка следует использовать ненасыщенные планы 2-го и более порядка, параметры которых приводятся, например, в [7], позволяющие получать адекватные модели полиномов с общей формулой

. (27)

На практике при работе с задачами в области строительного материаловедения удачно используются ненасыщенные планы Хартли на гиперкубе второго и третьего порядков, план- матрицы которых приведены в табл. 7, 8.

Таблица 7

№ п/п	Факторы план-матрицы эксперимента
Х₁	Х₂
	–1	–1
	+1	+1
	–1
	+1
		–1
		+1

	–1	+1
	+1	–1

Все этапы проведения эксперимента соответствуют полному факторному эксперименту.

Расчет коэффициентов математической модели и построении ее графического образа проводится при использовании специального программного обеспечения, основанного на использовании матричного исчисления.

Рассмотрим пример построения и анализа математической модели на примере упражнения 6.

Упражнение 6. Разработать комплексную противоморозную добавку, обеспечивающую заданные параметры бетонной смеси и бетона в условиях твердения при температуре минус 15 ^оС:

· удобоукладываемость бетонной смеси должна быть не менее 15 см;

· живучесть бетонной смеси должна быть не менее 1 часа с момента изготовления;

· прочность бетона через 8 часов твердения должна быть не менее 0, 8 МПа;

· прочность бетона через 28 суток твердения должна быть не менее 25 МПа.

Таблица 8

№ п/п	Факторы план- матрицы эксперимента
Х₁	Х₂	Х³
	–1	–1	+1
	+1	–1	–1
	–1	+1	–1
	+1	+1	+1
	–1
	+1
		–1
		+1
			–1
			+1

	–1	–1	+1
	+1	–1	+1
	–1	+1	–1
	+1	+1	–1

Предварительно проведенные исследования определили состав комплексной добавки, который должен был в себя включать противоморозную добавку карбоната калия K₂CO₃ (Х₁) и пластифицирующую – лигносульфонат технический ЛСТ (Х₂).

Осадка конуса после приготовления бетонной смеси для всех составов бетона составляла 15 +1 см.

Матрица планирования и результаты работы приведены в табл. 9.

Таблица 9

№ п/п	Х₁	Х₂	ОК, см, через 1 час	R_сж^{8 часов}, МПа	R_сж^{28 сут}, МПа
Код	Физ. значение, % от Ц	Код	Физ. значение, % от Ц
	–1		–1	0, 6		0, 2	9, 7
	+1		+1	1, 8		0, 8	25, 4
	–1			1, 2		0, 1	37, 5
	+1			1, 2		1, 8	24, 4
			–1	0, 6		0, 8	14, 4
			+1	1, 8		1, 3	15, 6
				1, 2		0, 8	15, 7
	–1		+1	1, 8		0, 4	2, 0
	+1		–1	0, 6		1, 4	37, 5

Примечание. В таблице приведены средние значения контролируемых параметров.

При обработке результатов эксперимента были получены полиномы второй степени, коэффициенты которых приведены в табл. 10.

Таблица 10

Нормируемый параметр	Коэффициенты математической модели
В₀	В₁	В₂	В₁₁	В₁₂	В₂₂
Осадка конуса, см, через час после приготовления	13, 3	1, 11	7, 39	0, 56	1, 58	− 6, 28
Прочность бетона на сжатие, МПа, через 8 часов твердения	0, 97	0, 49	0, 03	− 0, 20	− 0, 20	− 0, 05
Прочность бетона на сжатие, МПа, через 28 суток твердения	20, 9	6, 56	− 2, 87	7, 55	− 0, 73	− 8, 27

Получение конечного результата – состава комплексной добавки, базируется на анализе полученных математических моделей, а точнее на анализе их графических образов, приведенных на рис. 6.

По каждому варьируемому фактору определяются подобласти параметра оптимизации, в которых выполняются граничные условия задачи. Наложение подобластей друг на друга позволяет выделить подобласть, в которой выполняются все граничные условия.

В нашем случае это подобласть, ограниченная точками A, B, C, D.

Конечным итогом данной работы является экспериментальное подтверждение выбранного состава комплексной противоморозной добавки на практике.

3. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 Следующая ⇒