|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Прикладная геология, горное дело,Стр 1 из 8Следующая ⇒
МАТЕМАТИКА Методические пособия для самостоятельной работы студентов Заочной формы обучения специальностей укрепненной группы профессий
Прикладная геология, горное дело, Нефтегазовое дело и геодезия Технология материалов Химические технологии Электро- и теплоэнергетика
г. Пермь 2016 Методическое пособие разработано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта для среднего профессионального образования по специальностям укрепненных групп профессий Прикладная геология, горное дело, Нефтегазовое дело и геодезия Технология материалов Химические технологии Электро- и теплоэнергетика и рабочей программой дисциплины.
Методическое пособие рассмотрено и утверждено методическим советом ЧОУ СПО «ЗУГТ» Протокол №_________от______________________2016
Данное пособие содержит теоретический материал по дисциплине, содержание практических занятий, задания для самостоятельной работы студентов и методического указания по выполнению контрольных работ. ВВЕДЕНИЕ
Методические указания составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по техническим специальностям. Уровень подготовки специалистов – базовая подготовка. Дисциплина " Математика" относится к циклу " Математические и общие естественнонаучные дисциплины" - ЕН-01. В процессе изучения дисциплины студенты должны усвоить основные понятия, утверждения и методы, изложенные в программе. Математика и ее методы вторгаются в нашу жизнь, и необходимость их использования ощущается специалистами всех отраслей производства. Усиленный поток научной информации, математизация наук требует постоянного совершенствования подготовки специалистов с современным математическим образованием. В условиях рыночной экономики специалист среднего звена должен быть организатором производства, руководителем коллектива. Стране нужны специалисты нового типа, высокой квалификации, с широким теоретическим кругозором, способные быстро осваивать новое в науке и технике. Основная задача дисциплины состоит в том, чтобы дать студентам комплекс математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения смежных и специальных дисциплин, для использования в практической деятельности, для развития логического мышления. Согласно минимуму содержания программа дисциплины " Математика" состоит из 4 разделов, охватывающих вопросы теоретического и практического характера. К этим разделам относятся математический анализ, основные численные методы, основы теории вероятностей и математической статистики, основы дискретной математики. В результате освоения дисциплины обучающийся специальностей Должен уметь: - Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности. Должен знать: - Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы; - Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности; - Основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики; - Основы интегрального и дифференциального исчисления. Для студентов заочной формы обучения количество обзорных лекций составляет – 2 часа, практических занятий – 12 часов. Сокращенная программа – 8 часов, из них 6 часов – практические занятия.
Студенты заочной формы обучения выполняют домашнюю контрольную работу в соответствии с методическими указаниями для студентов-заочников. Самостоятельная работа студентов-заочников заключается в изучении литературы, список которой указан в методических указаниях, ответов (устных ответов) на вопросы для самоконтроля, расположенных в методических указаниях, и выполнения контрольной работы по своему варианту. Формой итогового контроля по дисциплине является экзамен. Для студентов, обучающихся по сокращенной программе – зачет. До экзамена/зачета допускаются студенты, имеющие зачтенную домашнюю контрольную работу. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН Для заочной формы обучения
* - Сварочное производство Сокращенная программа
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ВВЕДЕНИЕ История возникновения, развития и становления математики как основопологающей дисциплины, необходимой для изучения профессиональных дисциплин. Цель, задачи математики. Связь математики с общепрофессиональными и специальными дисциплинами.
Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа Тема 1.1. Основы интегрального и дифференциального исчисления
Функции одной независимой переменной. Пределы. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функций. Производная, геометрический смысл. Исследование функций Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Приложения интеграла к решению прикладных задач. Функции нескольких переменных. Частные производные. Практические занятия: Производная, ее геометрический смысл. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Методические указания Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию. Перед тем как записать понятие производной рекомендуется рассмотреть физическую задачу о неравномерном движении и его скорости, которая приводит к понятию производной. Данная тема включает в себя очень много формул дифференцирования и интегрирования (табличные интегралы). Формулы дифференцирования следует изучить в следующей последовательности: - правила дифференцирования (производная постоянной, функции у = х, суммы и разности функции, произведения двух функций, произведения постоянной на функцию, производного частного); - формулы дифференцирования (степенной, тригонометрических, логарифмических, показательных, обратных тригонометрических функций). В рекомендуемой литературе предлагаются различные варианты общей схемы исследования и построения графика функции. Студент по своему усмотрению может выбрать ту или иную схему построения графика функции. Каждому математическому действию соответствует обратное ему действие. Для дифференцирования существует обратное действие-интегрирование. Нужно разобраться в определении первообразной для функции f(x), понять неоднозначность нахождения первообразной, а затем следует изучить определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла. Зная формулы дифференцирования, студент легко сможет выписать в таблицу основные интегралы. Эти интегралы называются табличными интегралами. Из способов интегрирования рекомендуется изучить лишь непосредственное интегрирование (приведение к одному или нескольким табличным интегралам) и метод подстановки (замены переменной). В рекомендуемой литературе приводится схема интегрирования методом подстановки и множество решенных примеров на нахождение интегралов по данному методу. Все это позволит студенту понять сущность интегрирования методом подстановки. После серьезной работы над темой " Неопределенный интеграл" студенту не составит огромного труда изучить такие вопросы как: - определение определенного интеграла; - основные свойства определенного интеграла (предлагается пять свойств, среди них два свойства аналогичны свойствам неопределенного интеграла); - методы вычисления определенного интеграла: непосредственный к метод подстановки. Определенный интеграл широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин. Следует разобраться в следующих приложениях определенного интеграла: - вычисление площади плоских фигур (геометрический смысл определенного интеграла); - нахождение объема тела вращения; - вычисление пути пройденного точкой и скорости тела; - вычисление работы силы. Из функции нескольких переменных следует рассмотреть функции двух переменных z = f(x, y) и частные производные этой функции по аргументу х и по аргументу у. Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определение производной функции. 2. Напишите все формулы дифференцирования. 3. Дайте определение сложной функции. Как найти ее производную? 4. Сформулируйте условия возрастания и убывания функции. 5. Как найти точки экстремума и экстремумы функции? 6. Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой? 7. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба. 8. Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции? 9. Какая функция называется первообразной для функции f (x)? 10. Дайте определение неопределенного интеграла. 11. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. 12. Каким действием можно проверить интегрирование? 13. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы). 14. Дайте определение определенного интеграла. 15. Перечислите основные свойства определенного интеграла. 16. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 17. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла. 18. Дайте определение функции двух переменных. 19. Как найти частные производные функции z = f (х, у) двух независимых переменных х и у по аргументу х, по аргументу у? Методические указания Рекомендуется рассмотреть несколько задач, которые приведут к дифференциальным уравнениям: задачи о нахождении уравнения кривой по заданной функции углового коэффициента и об определении закона движения точки по заданной функции скорости. Следует разобраться в основных понятиях: определение, решение и порядок дифференциального уравнения. Выяснить, какое решение является частным, а какое - общим решением дифференциального уравнения и, что собой представляют с геометрической точки зрения данные решения. Необходимо понять, какие дифференциальные уравнения называются с разделяющимися переменными, а какие однородные первого порядка и составить алгоритм решения данных уравнений. Из дифференциальных уравнений второго порядка предлагается изучить только линейные однородные с постоянными коэффициентами. Для закрепления навыков решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами рекомендуется разобрать решенные уравнения по учебнику [3] в перечне основной литературы. Однако в нем отсутствует четкий алгоритм решения данных уравнений, поэтому каждый студент может сам разработать алгоритм решения этих дифференциальных уравнений, разбирая решенные уравнения.
Вопросы для самоконтроля 1. Какое уравнение называется дифференциальным? 2. Какая функция называется решением дифференциального уравнения? 3. Какое решение дифференциальных) уравнения называется общим и какое частным? 4. Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения? 5. Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить? 6. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения или нет? 7. Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений. 8. Каков общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными? 9. В какой последовательности решают дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными? 10. В чем заключается задача Коши? 11. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения первого порядка. 12. С помощью какой подстановки решается однородное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение? 13. Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами? 14. Что такое характеристическое уравнение? 15. Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения: а) действительные и различные (k1 ≠ k2) б) действительные и равные (k1 = k2 = k3) в) комплексные сопряженные (k1.2 = α ± β i)? 16. Приведите примеры задач, решаемых с помощью дифференциального уравнения. Методические указания Дифференциальные уравнения - большая и важная область современной математики. Дифференциальные уравнения широко используются при решении разнообразных задач науки и техники. Следует отметить, что во многих случаях различные явления описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. При изучении данной темы подробно рассмотрите понятие дифференциального уравнения с частными производными и порядок данного уравнения. Следует знать, какая функция может являться решением дифференциального уравнения с частными производными и можно ли проверить правильность найденного решения. Из дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка рекомендуется изучить лишь линейные однородные. Ознакомиться с методикой решения данных уравнений предлагается по задачнику [5(2)] в перечне основной литературы.
Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определение дифференциального уравнения с частными производными. 2. Что такое порядок дифференциального уравнения с частными производными? 3. Какая функция называется решением дифференциального уравнения с частными производными? 4. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения с частными производными или нет? 5. Уравнение какого вида называется линейным дифференциальным уравнением с частными производными первого порядка? 6. Как получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую линейному дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка?
Методические указания При изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется метод поэтапного исследования данного объекта. На первом этапе учитываются самые главные характеристики изучаемого процесса, явления. Потом переходят к следующему этапу, учитывая новые или более точно вычисленные старые характеристики предмета и т.д. Одним из математических понятий, при помощи которых моделируются такие ситуации, является понятие " суммы" бесконечного числа слагаемых, за которым утвердилось название ряда. Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросов естествознания и в приближенных вычислениях. С помощью рядов вычисляются значения различных функций, вычисляются значения интегралов, решаются дифференциальные уравнения и т.п. В частности, программы приближенного вычисления значений элементарных функций и решения многих стандартных задач, заложенные в память ПК, основаны на применении теории рядов. При изучении теории рядов следует уяснить понятие " ряд", запись ряда и ознакомиться с видами рядов: числовой, функциональный, степенной, ряд Маклорена. Рассмотрите примеры на исследование сходимости и расходимости числового ряда, применяя определение, необходимый признак сходимости ряда, признак Даламбера. Основное внимание нужно уделить на разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Прежде всего рекомендуется рассмотреть разложение в ряд Маклорена следующих функций:
При разложении в ряд Маклорена простейших функций другого вида удобно воспользоваться разложениями вышеуказанных функций, применяя некоторые преобразования.
Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определение числового ряда. 2. Какой числовой ряд называется сходящимся, расходящимся? 3. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда, достаточный признак расходимости ряда. 4. В чем заключается сущность признака Даламбера? 5. Дайте определение функционального ряда. 6. Какой ряд называется степенным рядом? 7. Какой функциональный ряд называется сходящимся в точке х0, расходящимся в точке х0? 8. Какой ряд называется рядом Маклорена? 9. Что значит разложить функцию в ряд Маклорена? Раздел 2. Основные понятия и методы линейной алгебры Методические указания Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин " матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков. Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.
Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ. Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann. Равенство матриц. A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n) Действия над матрицами. 1. Сложение матриц - поэлементная операция
2. Вычитание матриц - поэлементная операция
3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B) Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B, т.е.
Покажем операцию умножения матриц на примере
5. Возведение в степень
m> 1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц 6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'
Строки и столбцы поменялись местами Пример
Виды матриц 1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n 3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1. Например
5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠ j. Например
6. Единичная матрица: m=n и
7. Нулевая матрица: aij=0, i=1, 2, …, m j=1, 2, …, n
8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0. Пример.
9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A Например,
10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii ) Пример.
Ясно, A'=-A 11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ã ii ( ã ji – комплексно – сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно – сопряженное Ã =3-2i ) Пример
Вопросы для самоконтроля
Методические указания –Вопросы для самоконтроля: 1. Определители матриц, их свойства. 2. Определители второго и третьего порядков. 3.Определители n-го порядка. 4.Ранг матрицы. Тема 2.3. Обратная матрица
Обратная матрица. Свойства обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Практические занятия. Нахождение обратной матрицы Методические указания Вопросы для самоконтроля: 1. Обратная матрица 2. Свойства обратной матрицы. 3. Теорема о существовании обратной матрицы.
Метод Гаусса
Правило Крамера
Вопросы для самоконтроля:
Раздел 3. Основные понятия теории комплексных чисел
Методические указания Модуль комплексного числа Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание. Если z - вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине. Деление комплексных чисел Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено. Аргумент комплексного числа Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z. Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z. Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет. Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1. Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число. Комплексные числа. Методические указания Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел. Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Раздел 4. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
Методические указания Прежде чем познакомиться с основными понятиями теории вероятностей следует рассмотреть три тина комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Уяснить для себя, чем отличаются перестановки от размещения, перестановки от сочетания, размещения от сочетания. По рекомендуемой литературе разобраться в формулах и в решенных комбинаторных задачах. Рассмотрите понятие случайного события и на примерах разберитесь в видах события; невозможные, достоверные, совместные, несовместные, зависимые, независимые. После этих понятий следует изучить классическое определение вероятности события, и научиться находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей. Из операций над событиями необходимо познакомиться лишь с суммой конечного числа событий. Изучение теоретического материала следует сопровождать рассмотрением решенных задач по предложенным учебникам, а затем следует ответить на вопросы для самоконтроля. Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта. Количественной же характеристикой результата проведенного опыта является случайная величина. Рассматривая примеры, необходимо усвоить понятие случайной величины, виды случайной величины (дискретной и непрерывной) и их определения. Нужно рассмотреть соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Такое соответствие называется законом р определения случайной величины. Закон распределения случайной величины удобно давать в виде таблицы.
Вопросы для самоконтроля 1. Что называется п - факториалом? 2. Что называется перестановками? Запишите формулу. 3. Что называется размещениями? Запишите формулу. 4. Что называется сочетаниями? Запишите формулу. 5. Что понимается под случайным событием? Приведите примеры. 6. Какие события называются достоверными? Приведите примеры. 7. Какие события называются невозможными? Приведите примеры. 8. Что понимается под вероятностью события? 9. Дайте классическое определение вероятности события. 10. Какие события называются несовместными, совместными? Приведите примеры. 11. Как формулируется теорема сложения вероятностей? 12. Дайте определение частоты наступления события и объясните от чего она зависит? 13. Какими свойствами обладает вероятность события? 14. Какие события называются независимыми, зависимыми? Приведите примеры. 15. Какая величина называется случайной? 16. Какая случайная величина называется дискретной? 17. Что называется законом распределения случайной величины? 18. Как строится ряд распределения дискретной случайной величины? 19. Какое равенство справедливо для вероятностей случайной величины?
Тема 4. 2. Основные понятия математической статистики Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, полигон, эмпирическая функция распределения, выборочное среднее и дисперсия. Методические указания Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл " среднего значения" случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения. Из числовых характеристик рекомендуется изучить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Наряду с понятиями этих чисел следует разобраться в формулах вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Вопросы для самоконтроля 1. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? 2. Что называется дисперсией случайной величины? 3. Чему равно математическое ожидание дискретной случайной величины? 4. Какая формула применяется для вычисления дисперсии случайной величины X?
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ
Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, оставляя поля в 3-4 см. Ответы на вопросы нужно начинать с новой страницы. Вопросы необходимо переписывать полностью. Ответы на них должны быть четкими и конкретными, содержать необходимые иллюстрации (схемы, графики, таблицы), ссылки на литературу. Или в печатном варианте. Текст набирается шрифтом Times New Romans? кегль – 14, интервал - 1, 5. В конце контрольной работы дается список использованной литературы. После чего следует оставлять 1 -2 страницы чистыми для написания рецензии. Полностью выполненную работу студент должен выслать в техникум для проверки. Если работа не зачтена, то студент должен переделать ее и выслать в техникум повторно вместе с первой. Зачтенная контрольная работа хранится у студента и предъявляется на замене по данному предмету. Если студент выполняет не свой вариант, работа возвращается без проверки. По всем неясным вопросам, которые возникают в процессе изучения материала и выполнения контрольной работы, следует обратиться устно или письменно в техникум к преподавателю данной дисциплины за консультацией. К выполнению работы следует приступить только после тщательного изучения теоретического материала, согласно содержания программы. Популярное: |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 1069; Нарушение авторского права страницы
и 
записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
