![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
К решению первой задачи контрольной работы следует приступить после изучения темы " Дифференциальное и интегральное исчисление" (Производная функции). Предел отношения приращения функции ∆ y к вызвавшему его приращению аргументу x в точке x0 при стремлении ∆ x к нулю, то есть Называется производной функции y = f(x) по аргументу x в точке x0.
Производная обозначается одним из символов: y`, f`(x), Операция нахождения производной называется дифференцированием, сама функция называется дифференцируемой, если имеет конечную производную. Производная сложной функции. Если у = f(u), и = ф (х) - дифференцируемые функции своих аргументов то производная сложной функции у = f(ф(х)) существует и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х: Эта формула распространяется и на сложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более. Правила дифференцирования Во всех приведенных формулах буквами U; g обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x: U=U(x), g=g(x), а буквами a, c, n – постоянные.
Формулы дифференцирования
Пример 1 Найдите производную функции
Решение Применяя правила 6, 3, 1 и формулу 7 получим
Пример 2 Найдите производную функции
Решение Это сложная функция с промежуточным аргументом cos x. Применяя правила 3, 5 и формулы 7а, 10, 15а, получим:
Пример 3 Найдите производную функции
Решение Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов: Теперь дифференцируем по правилам 3, 1, 5 и формулам 15, 15а, 7: Вычислим значение производной при t = 2: К решению второй задачи перейдите после изучения темы " Дифференциальное и интегральное исчисление" (неопределенный и определенный интеграл). Действие, обратное дифференцированию называется интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. Дифференцируемая функция Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно, но все первообразные будут отличаться друг от друга только на постоянную величину. Совокупность F(x) + С всех первообразных функций на интервале (а; в) называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом интервале и пишут: здесь f (x) dx - подынтегральное выражение; f (х) - подынтегральная функция; х - переменная интегрирования; с - произвольная постоянная.
Например,
Свойства неопределенного интеграла 1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: 2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции: Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)
Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием. Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применений свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 1 Найдите интеграл
Решение Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем
свойством 1 и найдем неопределенный интеграл, применяя формулу 2
Пример 2 Найдите интеграл Решение Найдем неопределенный интеграл, применяя свойства 1 и 2 и формулы 3 и 7. Интегрирование методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Для итерирования методом подстановки можно использовать следующую схему: 1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной; 2) найти дифференциал от обеих частей замены; 3) все подынтегральные выражения выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 4) найти полученный табличный интеграл; 5) сделать обратную замену.
Пример 3 Найдите интеграл
Решение Произведем подстановку 5 - Зх = t, тогда -3dx = dt, откуда dx = - dt /3. Далее получим
Пример 4 Найдите интеграл
Решение Предположим 2 + 3ex = t, тогда 3ex dx = dt, откуда ex dx = dt/3. Далее получаем
Пример 4 Найдите интеграл
Решение Предположим x/2=t, тогда dx/2=dt, откуда dx=2 dt. Далее получим Пусть функция F (x) является первообразной для функции f (x) в некотором промежутке, а числа а и в принадлежат этому промежутку. Приращение F(e)-F (а) любой из первообразных функций F(x) + c при изменении аргумента от x = а до х = в называется определенным интегралом от а до в функции f(x) и обозначается в - верхним. Отрезок [а; в] называется отрезком интегрирования; функция f (х) - подынтегральной функцией, а переменная х - переменной интегрирования.
Основные свойства: 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: 2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный: 3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 1030; Нарушение авторского права страницы