МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

К решению первой задачи контрольной работы следует приступить после изучения темы " Дифференциальное и интегральное исчисление" (Производная функции).

Предел отношения приращения функции ∆ y к вызвавшему его приращению аргументу x в точке x₀ при стремлении ∆ x к нулю, то есть

Называется производной функции y = f(x) по аргументу x в точке x₀.

Производная обозначается одним из символов:

y`, f`(x), , а её значение при x = x₀ обозначается

Операция нахождения производной называется дифференцированием, сама функция называется дифференцируемой, если имеет конечную производную.

Производная сложной функции.

Если у = f(u), и = ф (х) - дифференцируемые функции своих аргументов то производная сложной функции у = f(ф(х)) существует и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х:

Эта формула распространяется и на сложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Правила дифференцирования

Во всех приведенных формулах буквами U; g обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x: U=U(x), g=g(x), а буквами a, c, n – постоянные.

Формулы дифференцирования

Основные элементарные формулы

Сложные формулы

Пример 1

Найдите производную функции

Решение

Применяя правила 6, 3, 1 и формулу 7 получим

Пример 2

Найдите производную функции

Решение

Это сложная функция с промежуточным аргументом cos x. Применяя правила 3, 5 и формулы 7а, 10, 15а, получим:

Пример 3

Найдите производную функции и вычислите её значение при t = 2.

Решение

Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Теперь дифференцируем по правилам 3, 1, 5 и формулам 15, 15а, 7:

Вычислим значение производной при t = 2:

К решению второй задачи перейдите после изучения темы " Дифференциальное и интегральное исчисление" (неопределенный и определенный интеграл).

Действие, обратное дифференцированию называется интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция.

Дифференцируемая функция называется первообразной для функции f(x) на интервале (а; в) , если для каждого .

Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно, но все первообразные будут отличаться друг от друга только на постоянную величину.

Совокупность F(x) + С всех первообразных функций на интервале (а; в) называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом интервале и пишут:

здесь

f (x) dx - подынтегральное выражение;

f (х) - подынтегральная функция;

х - переменная интегрирования;

с - произвольная постоянная.

Например, , так как

Свойства неопределенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применений свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1

Найдите интеграл

Решение

Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем

свойством 1 и найдем неопределенный интеграл, применяя формулу 2

Пример 2

Найдите интеграл

Решение

Найдем неопределенный интеграл, применяя свойства 1 и 2 и формулы 3 и 7.

Интегрирование методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для итерирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) все подынтегральные выражения выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) сделать обратную замену.

Пример 3

Найдите интеграл

Решение

Произведем подстановку 5 - Зх = t, тогда -3dx = dt, откуда dx = - dt /3. Далее получим

Пример 4

Найдите интеграл

Решение

Предположим 2 + 3e^x = t, тогда 3e^x dx = dt, откуда e^x dx = dt/3. Далее получаем

Пример 4

Найдите интеграл

Решение

Предположим x/2=t, тогда dx/2=dt, откуда dx=2 dt. Далее получим

Пусть функция F (x) является первообразной для функции f (x) в некотором промежутке, а числа а и в принадлежат этому промежутку.

Приращение F(e)-F (а) любой из первообразных функций F(x) + c при изменении аргумента от x = а до х = в называется определенным интегралом от а до в функции f(x) и обозначается . Числа а и в называются пределами интегрирования а - нижнем,

в - верхним. Отрезок [а; в] называется отрезком интегрирования; функция f (х) - подынтегральной функцией, а переменная х - переменной интегрирования.

Основные свойства:

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒