Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x, y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy - мнимой осью.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z.

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ ),

(5)

где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству
r > 0.

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

cos φ + i sin φ = e iφ .

(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,

(7)

где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству
r > 0.

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа e ^iφ , при любом значении φ равен 1.

Вопросы для самоконтроля:

Комплексные числа.

Формы записи и изображение комплексных чисел.

Тема 3.2 Действия над комплексными числами

Сложение, умножение, деление комплексных чисел. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

Методические указания

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e ^iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I.1 Особенности комплексных соединений природных и синтетических порфиринов.
2. А. Изображение мнимое. Б. Линза рассеивающая. В. Изображение уменьшенное. Г. В расчетах ошибка. Д. Линза собирающая. Е. Изображение увеличенное.
3. Аксиоматическая теория натуральных чисел
4. Алгебры с делением над полем действительных чисел
5. Графическое изображение рядов распределений.
6. Зеркальное изображение электрических полей
7. Изображение материальных потоков (ГОСТ 14202-69)
8. Изображение приборов, средств автоматизации и линий связи
9. Исследование аксиом теории целых чисел
10. Методика «Расстановка чисел»
11. Множества, состоящие из чисел, называют числовыми множествами.