Вычисление определенного интеграла методом подстановки

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) все подынтегральные выражения выразить через новую переменную (должен получиться табличный интеграл);

5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 9

Вычислите интеграл

Решение

Введем подстановку 8 – x = t, тогда –dx=dt, dx=-dt. Определим пределы интегрирования для переменной t. При x = 0 получаем t_н = 8 – 0 = 8, при x=7 получаем t_в = 8 – 7 = 1.

Выразим подынтегральное выражение через t и dt и, перейдя к новым пределам, получим:

Пример 10

Вычислите интеграл

Решение

Предположим 1 - cos x = t, тогда sin x dx = dt. Определим пределы интегрирования я для переменной t:

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим:

К решению третьей задачи контрольной работы нужно приступить после изучения темы " Матрицы, действия с матрицами".

Пример 1: Умножение матриц

Пример 2:

К решению четвертой задачи следует приступить после изучения темы " Системы линейных уравнений. Формулы Крамера".

Пример 1:

Пример 2: Решить систему у равнений по формулам Крамера:

Найдем определитель матрицы системы:

К решению шестой задачи контрольной работы нужно приступать после изучения раздела " Основы теории вероятностей и математической статистики".

В практической деятельности часто встречаются явления, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерное я при массовом их повторении.

Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Под событием понимается такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти (появление цифры при подбрасывании монеты).

События обозначаются буквами А, В, С,... Если событие неизбежно произойдет при каждой реализации комплекса условий, то оно называется достоверным; если же оно не может произойти - невозможным.

Если событие А при реализации комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то оно называется случайным.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называется совместными.

Так, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба; это - пример несовместных событий.

Если произведено N одинаковых испытаний и М - число испытаний, в котором событие А произошло, то отношение называется частотой наступления события А в данной последовательности испытаний.

Частота случайна и зависит от числа N всех испытаний.

Для количественной оценки возможности появления случайного события А вводится понятие вероятности.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, то есть

Из этого определения вытекают свойства:

1) вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы: 0 < Р (А) < 1;

2) вероятность достоверного события равна единице: Р (А) = 1, так как n/n = 1;

3) вероятность невозможного события равна нулю: Р (А) = 0, так как 0/n = 0;

Пример 1

В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые? Решение

Из 10 шаров вынули 2 шара, следовательно число всех случаев будет равно числу сочетаний из 10 элементов по два, то есть:

. Число же случаев, благоприятствующих данному событию, определяется равенством

. Итак,

Пример 2

Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найдите вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом.

Решение

Здесь число всех исходов есть перестановка из 9 элементов n=Р₉ = 9! Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих данному событию. Представим, что четыре определенные книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке Р₆=6! способами (связка плюс остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять Р₄ = 4! способами. При этом каждая комбинация внутри связки, может сочетаться с каждым из Р₆ способов образования связки, то есть m = 6! 4!. Следовательно

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А + В или A U В.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Пример 3

В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих, 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.

Решение

Имеем ,

. Применив теорему сложения вероятностей, получим:

Случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, У, Z, и их значения - соответствующими строчными буквами х, у, z.

Случайные величины делятся на дискретные (прерывные) и непрерывные.

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие лишь конечное или счетное множество значений.

Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

Значения x_i	x₁	x₂	x₃	…	x_n
Вероятности p_i	p₁	p₂	p₃	…	p_n

Для вероятностей p₁, …, p_n справедливо равенство .

Пример 5

Разыгрываются две вещи стоимостью по 150 рублей и одна вещь стоимостью 300 рублей. Составьте закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение

Искомая случайная величина X представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 150 и 300 рублей.

Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату - два случая и третьему - один случай. Найдем их вероятности:

Закон распределения случайной величины имеет вид:

Значения x_i	₀	₁₅₀	₃₀₀
Вероятности p_i	_{0, 94}	_{0, 04}	_{0, 02}

В качестве проверки найдем

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений значений случайной величины на вероятности этих значений.

Если случайная величина X характеризуется конечным рядом распределения (1), то математическое ожидание М (X) определяется по формуле:

Дисперсией случайнее величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: Д (X) = М [X - М (X)]². Если ввести обозначение М (X) = n, то формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины X запишется в виде

Пример 6

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X - число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости.

Решение

Случайная величина X числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон ее распределения:

Значения х_i
Вероятности p_i	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогда математическое ожидание есть

Вычислим дисперсию:

Контрольная работа

Вариант 1

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найти линейную комбинацию заданных матриц:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. Вычислите по формуле прямоугольников, с точностью до 0, 001, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оцените погрешность.

7. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Вариант 2

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найти линейную комбинацию заданных матриц:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. Вычислите по формуле трапеций с точностью до 0.0001, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оцените погрешность.

7. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Вариант 3

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3.Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. Вычислите по формуле трапеций с точностью до 0, 01, приняв n = 5. Оцените погрешность.

7. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Берут наудачу 3 учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы 1 из взятых учебников окажется в переплете.

Вариант 4

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5.. Выполните действия с комплексными числами:

6. Вычислите по формуле трапеций с точностью до 0, 0001, приняв n = 10.

7. Даны вероятности значений случайной величины X: значение 10 имеет вероятность 0, 3; значение 2 - вероятность 0, 4; значение 8 - вероятность 0, 1; значение 4 -вероятность 0, 2. Постройте ряд распределения случайной величины X.

Вариант 5

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5.. Выполните действия с комплексными числами:

6. Вычислите по формуле прямоугольника с точностью до 0, 01, приняв n=4. Оцените погрешность.

7. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найдите вероятность того, что среди 5 взятых наугад деталей 3 стандартных.

Вариант 6

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. Вычислите по формуле трапеций, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оцените погрешность.

7. Случайная величина X характеризуется рядом распределения:

x_i
p_i	0, 2	0, 4	0, 3	0.08	0, 02

Определите математическое ожидание.

Вариант 7

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20 рублей, на 10 - по 15 рублей, на 15 - по 10 рублей, на 25 - по 2 рубля и на остальные - ничего. Найдите вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не меньше 10 рублей.

Вариант 8

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке. Найдите вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

Вариант 9

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. Бросаются одновременно 2 игральные кости. Найдите вероятность следующего события: сумма выпавших очков равна 8.

Вариант 10

1. Найдите производную функции и вычислите:

а)

б)

2. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

3. Найдите произведение матриц АВ и ВА, если это возможно:

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера: )

5. Выполните действия с комплексными числами:

6. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78