Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть - произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n - ой степени из числа z₀, где называют такое комплексное число z = r e ⁱ^φ, которое является решением уравнения

z ⁿ = z_0.

(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k - произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

где

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов z_k при k = 0, ..., n – 1 располагаются в вершинах правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Замечание. В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z₁ и z₂, отличающихся знаком:

z₂ = – z₁.

Пример 1. Найти все корни уравнения

z³ = – 8i.

Решение. Поскольку

то по формуле (10) получаем:

Следовательно,

Пример 2. Решить уравнение

z² + 2z + 2 = 0.

Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Так как

то решения уравнения имеют вид

z₁ = – 1 + i, z₂ = – 1 – i.

Раздел 4. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

Тема 4.1 Случайная величина, её функция распределения

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.

Практические занятия. Классическое определение вероятностей.

Методические указания

Прежде чем познакомиться с основными понятиями теории вероятностей следует рассмотреть три тина комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Уяснить для себя, чем отличаются перестановки от размещения, перестановки от сочетания, размещения от сочетания.

По рекомендуемой литературе разобраться в формулах и в решенных комбинаторных задачах. Рассмотрите понятие случайного события и на примерах разберитесь в видах события; невозможные, достоверные, совместные, несовместные, зависимые, независимые.

После этих понятий следует изучить классическое определение вероятности события, и научиться находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей.

Из операций над событиями необходимо познакомиться лишь с суммой конечного числа событий.

Изучение теоретического материала следует сопровождать рассмотрением решенных задач по предложенным учебникам, а затем следует ответить на вопросы для самоконтроля.

Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта. Количественной же характеристикой результата проведенного опыта является случайная величина.

Рассматривая примеры, необходимо усвоить понятие случайной величины, виды случайной величины (дискретной и непрерывной) и их определения. Нужно рассмотреть соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Такое соответствие называется законом р определения случайной величины. Закон распределения случайной величины удобно давать в виде таблицы.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется п - факториалом?

2. Что называется перестановками? Запишите формулу.

3. Что называется размещениями? Запишите формулу.

4. Что называется сочетаниями? Запишите формулу.

5. Что понимается под случайным событием? Приведите примеры.

6. Какие события называются достоверными? Приведите примеры.

7. Какие события называются невозможными? Приведите примеры.

8. Что понимается под вероятностью события?

9. Дайте классическое определение вероятности события.

10. Какие события называются несовместными, совместными? Приведите примеры.

11. Как формулируется теорема сложения вероятностей?

12. Дайте определение частоты наступления события и объясните от чего она зависит?

13. Какими свойствами обладает вероятность события?

14. Какие события называются независимыми, зависимыми? Приведите примеры.

15. Какая величина называется случайной?

16. Какая случайная величина называется дискретной?

17. Что называется законом распределения случайной величины?

18. Как строится ряд распределения дискретной случайной величины?

19. Какое равенство справедливо для вероятностей случайной величины?

Тема 4. 2. Основные понятия математической статистики

Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, полигон, эмпирическая функция распределения, выборочное среднее и дисперсия.

Методические указания

Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл " среднего значения" случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Из числовых характеристик рекомендуется изучить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Наряду с понятиями этих чисел следует разобраться в формулах вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

2. Что называется дисперсией случайной величины?

3. Чему равно математическое ожидание дискретной случайной величины?

4. Какая формула применяется для вычисления дисперсии случайной величины X?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ

Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, оставляя поля в 3-4 см. Ответы на вопросы нужно начинать с новой страницы. Вопросы необходимо переписывать полностью. Ответы на них должны быть четкими и конкретными, содержать необходимые иллюстрации (схемы, графики, таблицы), ссылки на литературу. Или в печатном варианте. Текст набирается шрифтом Times New Romans? кегль – 14, интервал - 1, 5. В конце контрольной работы дается список использованной литературы. После чего следует оставлять 1 -2 страницы чистыми для написания рецензии.

Полностью выполненную работу студент должен выслать в техникум для проверки.

Если работа не зачтена, то студент должен переделать ее и выслать в техникум повторно вместе с первой.

Зачтенная контрольная работа хранится у студента и предъявляется на замене по данному предмету.

Если студент выполняет не свой вариант, работа возвращается без проверки.

По всем неясным вопросам, которые возникают в процессе изучения материала и выполнения контрольной работы, следует обратиться устно или письменно в техникум к преподавателю данной дисциплины за консультацией.

К выполнению работы следует приступить только после тщательного изучения теоретического материала, согласно содержания программы.

Задание для контрольной работы содержит три вопроса. Номера вопросов контрольной работы выбираются по таблице в соответствии со своим вариантом.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒