Тема 2.4 Решение систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.

 

Практические занятия. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Решение систем линейных уравнений матричным методом. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

 

Методические указания

Решением линейной системы называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Метод Гаусса

Правило Крамера

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Системы линейных алгебраических уравнений.
2. Решение невырожденных линейных систем.
3. Формулы Крамера.
4. Решение методом Гаусса

 

Раздел 3. Основные понятия теории комплексных чисел

 

Тема 3.1 Формы записи комплексных чисел

Комплексные числа. Формы записи и изображение комплексных чисел.

 

Практические занятия. Изображение комплексных чисел.

 

Методические указания

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y - произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и множения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y), записывается в виде

z = x + i y.

(1)

где использован символ i, называемый мнимой единицей.

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z.

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.

Комплексные числа, у которых Im z = 0, являются вещественными числами.

Комплексные числа, у которых Re z = 0, являются чисто мнимыми числами.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Сложение и вычитание комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x₁ + i y₁ и x₂ + i y₂, т.е. в соответствии с формулами

z₁ + z₂ = x₁ + i y₁ + x₂ + i y₂ = x₁ + x₂ + i (y₁ + y₂),

z₁ – z₂ = x₁ + i y₁– (x₂ + i y₂) = x₁– x₂ + i (y₁– y₂).

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂, так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1.

(2)

По этой причине

z₁ z₂ = (x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = x₁x₂ + i x₁ y₂ + i y₁x₂ + i ² y₁ y₂ =

= x₁x₂ + i x₁ y₂ + i y₁x₂ – y₁ y ₂ = x₁x₂ – y₁ y₂ + i (x₁ y₂ + i x₂ y₁).

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание. Если z - вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число
z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. D. СОЦИОИДЕОЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВЕЩЕЙ И ПОТРЕБЛЕНИЯ
2. F. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
3. I. Местное самоуправление в системе институтов конституционного строя. История местного самоуправления
4. I. Методические принципы физического воспитания (сознательность, активность, наглядность, доступность, систематичность)
5. I. Определите значение терминов, сгруппируйте их по темам.
6. II. Проверка и устранение затираний подвижной системы РМ.
7. II.2. Локальные геосистемы – морфологические единицы ландшафта
8. III 7 Взаимодействие аллельных и неаллельных генов с решением
9. III. Борьба за разрешение восточного вопроса.
10. III. ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
11. III.3. Композиционное и пространственное решение пейзажей
12. III.3. Система классификационных единиц