Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Практические занятия Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Методические указания

Рекомендуется рассмотреть несколько задач, которые приведут к дифференциальным уравнениям: задачи о нахождении уравнения кривой по заданной функции углового коэффициента и об определении закона движения точки по заданной функции скорости. Следует разобраться в основных понятиях: определение, решение и порядок дифференциального уравнения.

Выяснить, какое решение является частным, а какое - общим решением дифференциального уравнения и, что собой представляют с геометрической точки зрения данные решения.

Необходимо понять, какие дифференциальные уравнения называются с разделяющимися переменными, а какие однородные первого порядка и составить алгоритм решения данных уравнений.

Из дифференциальных уравнений второго порядка предлагается изучить только линейные однородные с постоянными коэффициентами.

Для закрепления навыков решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами рекомендуется разобрать решенные уравнения по учебнику [3] в перечне основной литературы. Однако в нем отсутствует четкий алгоритм решения данных уравнений, поэтому каждый студент может сам разработать алгоритм решения этих дифференциальных уравнений, разбирая решенные уравнения.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?

3. Какое решение дифференциальных) уравнения называется общим и какое частным?

4. Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?

5. Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить?

6. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения или нет?

7. Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.

8. Каков общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

9. В какой последовательности решают дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными?

10. В чем заключается задача Коши?

11. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения первого порядка.

12. С помощью какой подстановки решается однородное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение?

13. Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

14. Что такое характеристическое уравнение?

15. Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения:

а) действительные и различные (k₁ ≠ k₂)

б) действительные и равные (k₁ = k₂ = k₃)

в) комплексные сопряженные (k1.2 = α ± β i)?

16. Приведите примеры задач, решаемых с помощью дифференциального уравнения.

Тема 1.3 Дифференциальные уравнения в частных производных

Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальные уравнения линейные относительно частных производных.

Практические занятия Дифференциальные уравнения в частных производных

Методические указания

Дифференциальные уравнения - большая и важная область современной математики. Дифференциальные уравнения широко используются при решении разнообразных задач науки и техники. Следует отметить, что во многих случаях различные явления описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

При изучении данной темы подробно рассмотрите понятие дифференциального уравнения с частными производными и порядок данного уравнения.

Следует знать, какая функция может являться решением дифференциального уравнения с частными производными и можно ли проверить правильность найденного решения.

Из дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка рекомендуется изучить лишь линейные однородные. Ознакомиться с методикой решения данных уравнений предлагается по задачнику [5(2)] в перечне основной литературы.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение дифференциального уравнения с частными производными.

2. Что такое порядок дифференциального уравнения с частными производными?

3. Какая функция называется решением дифференциального уравнения с частными производными?

4. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения с частными производными или нет?

5. Уравнение какого вида называется линейным дифференциальным уравнением с частными производными первого порядка?

6. Как получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую линейному дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка?

Тема 1.4. Последовательности и ряды

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Практические занятия Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.

Методические указания

При изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется метод поэтапного исследования данного объекта. На первом этапе учитываются самые главные характеристики изучаемого процесса, явления. Потом переходят к следующему этапу, учитывая новые или более точно вычисленные старые характеристики предмета и т.д.

Одним из математических понятий, при помощи которых моделируются такие ситуации, является понятие " суммы" бесконечного числа слагаемых, за которым утвердилось название ряда.

Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросов естествознания и в приближенных вычислениях. С помощью рядов вычисляются значения различных функций, вычисляются значения интегралов, решаются дифференциальные уравнения и т.п.

В частности, программы приближенного вычисления значений элементарных функций и решения многих стандартных задач, заложенные в память ПК, основаны на применении теории рядов. При изучении теории рядов следует уяснить понятие " ряд", запись ряда и ознакомиться с видами рядов: числовой, функциональный, степенной, ряд Маклорена.

Рассмотрите примеры на исследование сходимости и расходимости числового ряда, применяя определение, необходимый признак сходимости ряда, признак Даламбера.

Основное внимание нужно уделить на разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Прежде всего рекомендуется рассмотреть разложение в ряд Маклорена следующих функций:

При разложении в ряд Маклорена простейших функций другого вида удобно воспользоваться разложениями вышеуказанных функций, применяя некоторые преобразования.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение числового ряда.

2. Какой числовой ряд называется сходящимся, расходящимся?

3. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда, достаточный признак расходимости ряда.

4. В чем заключается сущность признака Даламбера?

5. Дайте определение функционального ряда.

6. Какой ряд называется степенным рядом?

7. Какой функциональный ряд называется сходящимся в точке х₀, расходящимся в точке х₀?

8. Какой ряд называется рядом Маклорена?

9. Что значит разложить функцию в ряд Маклорена?

Раздел 2. Основные понятия и методы линейной алгебры

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒