![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Рекуррентные методы оценки параметров эконометрических моделей
Использование рекуррентных методов при оценке параметров эконометрических моделей позволяет избежать обращения матрицы X ¢ X и тем самым, появления ошибок в результатах этой операции, обусловленных высокой корреляцией ряда ее столбцов и строк. Обращение матрицы в этом случае заменяется последовательностью более простых вычислительных процедур, которые на каждом шаге расчетов определяют обратную матрицу ( X t+1¢ X t+1)–1, t=T1, T1+1,..., T, T1> п+1, где X t+1 – матрица, образованная t+1-ми строками матрицы X, на основе предварительно оцененной матрицы ( X t¢ X t)–1 и t+1-й строки матрицы X, которую обозначим как Рассмотрим рекуррентные методы оценивания параметров эконометрических моделей более детально. Предположим, что существуют оценки коэффициентов эконометрической модели, полученные для первых t элементов вектора у и строк матрицы X. Обозначим эти оценки как вектор a t=(a0t, a1t,..., an t)¢ , t> п+1. Заметим, что эти оценки с учетом результирующего выражения МНК a t=( X t¢ X t)–1 X t¢ у t можно представить в виде произведения двух сомножителей – матрицы F t–1=( X t¢ X t)–1 и вектора g t= X t¢ у t, где X t – матрица значений факторов, образованная по первым t строкам матрицы X и у t – вектор, образованный по первым элементам t вектора у. Имея в виду правило умножения матрицы на вектор-столбец, вектор g t+ 1 можно представить в следующем виде: g t+1= g t+D g t, (4.1)
где D g t – корректирующая поправка к вектору g t, образованная произведением транспонированной t+1-й строки матрицы X ¢ (t+1-го столбца матрицы X ¢ ) на t+1-й элемент вектора у :
D g t =
Для матрицы F t+1=( X t+1¢ X t+1) также с учетом операции умножения матриц по правилу строка на столбец можно записать
F t+1= F t+D F t, (4.3)
где D F t – корректирующая поправка к матрице F t, полученная путем умножения транспонированной t+1-й строки матрицы X ¢ (t+1-го столбца матрицы X ) на саму себя, т. е. на t+1-й столбец матрицы X: D F t =
Заметим, то операция (4.3) не дает возможности непосредственно получить матрицу F t+1–1, обратную матрице F t+1. Для ее определения воспользуемся леммой об обращении матриц, которая может быть представлена в виде следующего выражения:
F t+ 1–1= F t–1– F t–1 ×
Поскольку выражение (1+
F t+ 1–1= F t–1–D F t–1, (4.6)
где D F t–1= F t–1× Для доказательства справедливости выражения (4.5) умножим матрицу F t+1 (выражение (4.3)) с учетом (4.4) слева на F t+1–1 и справа на F t–1. Получим:
F t–1= F t+1–1 + F t+1–1
Далее умножим выражение (4.7) справа на вектор-столбец
F t–1 ×
Выражение (4.8), в свою очередь, умножим справа на вектора
F t+1–1 = F t–1 ×
Конечный результат леммы (4.5) получим путем подстановки в (4.9) вместо матрицы F t+1–1 Используем лемму (4.5) для определения уточненного вектора оценок a t+1 коэффициентов линейной эконометрической модели. Для этого обозначим через R t+1 следующий сомножитель-вектор:
R t+1= F t–1×
С учетом (4.10) вместо (4.5) можем записать
F t+1–1= F t–1– R t+ 1
Сопоставляя выражения (4.11) и (4.7), непосредственно имеем
R t+1= F t+ 1–1 ×
Поскольку вектор a t+1 может быть определен как a t+1= F t+1–1× g t+1= F t+1–1( g t+
то с учетом (4.11) после подстановки (4.12) в (4.13) получим a t+1= a t+ R t+1(уt+1– или a t+1= a t+D a t. (4.15)
Заметим, что выражение уt+1– Таким образом, выражения (4.14) и (4.15) определяют оценку вектора a t+1 параметров эконометрической модели, построенной по данным периода (1, t+1), как сумму оценок этого же вектора, но построенного по данным периода (1, t), т. е. a t, и корректирующего слагаемого, определенного как произведение корректирующего множителя R t+1 на ошибку прогноза Из изложенного материала непосредственно вытекает, что для реализации рекуррентной процедуры оценок параметров линейной эконометрической модели в условиях мультиколлинеарности независимых переменных в периоде (1, Т) необходимо в качестве исходной информации иметь “хорошо обусловленную” матрицу F t, к которой несложно применить операцию обращения. Ее можно получить, если линейная зависимость между факторами хi, i=1, 2,..., п в период (1, t) будет значительно слабее, чем в период (1, Т). Если же подобные взаимосвязи между факторами не ослабевают с уменьшением временного интервала, то для решения проблемы получения оценок коэффициентов линейной эконометрической модели с помощью рекуррентной процедуры может быть использовано некоторое приближение матрицы F t. Например, матрицу F t можно заменить матрицей F t следующего вида:
F t=( F t + Е × d)=( X t¢ X t+ Е × d), (4.16)
где d – некоторый скаляр, добавляемый к диагональным элементам матрицы F t = X t¢ X t с целью облегчения операции получения обратной матрицы F t–1. В этом случае вектор коэффициентов a t определяется из выражения a t=( X t¢ X t+ Е × d)–1 X t¢ у, (4.17)
которое называют гребневым МНК, а полученные на его основе оценки коэффициентов модели – гребневыми оценками. Недостатком гребневых оценок является их смещенность, которая увеличивается с ростом уровня константы d. Однако это смещение для интервала (1, t) можно свести к минимуму путем подбора минимально достаточного значения d. Кроме того, в ходе рекуррентного метода оценивания для моментов времени t+1, t+2,..., Т величина смещения также уменьшается. Если это необходимо, то рекуррентные методы могут применяться и в рамках обобщенного МНК или взвешенной эконометрической модели. Для этого процедуру рекуррентного оценивания необходимо применить к преобразованным исходным данным. Метод главных компонент Метод главных компонент является одним из самых эффективных вычислительных средств, позволяющих оценить коэффициенты эконометрической модели при плохой обусловленности матрицы ( X ¢ X ), вызванной сильной корреляционной зависимостью между некоторыми объясняющими переменными. Однако, как это будет показано далее в этом разделе, использование данного метода обычно ведет к потере части информации, содержащейся в матрице X, что, в свою очередь, является причиной того, что построенная на его основе модель может не вполне адекватно отражать закономерности рассматриваемых явлений. Вместе с тем, вычислительные преимущества метода главных компонент достаточно очевидны, что обусловливает его популярность в эконометрических исследованиях самого широкого круга процессов, особенно в ситуациях, когда число независимых переменных достаточно велико и даже не слишком значительные корреляции между ними делают матрицу X ¢ X плохо обусловленной. Основная идея метода главных компонент состоит в замене объясняющих переменных xi, i=1, 2,..., n на новые переменные zj, j=1, 2,..., k; k£ n, которые, с одной стороны, свободны от недостатков, вызванных корреляционной зависимостью, а, с другой, – содержат в себе максимально возможную долю информации “старых” переменных xi. Обычно метод главных компонент работает с центрированными переменными (см. раздел 1.1, выражение (1.13)). С учетом этого эконометрическая модель с центрированными переменными определяется выражением (1.10), в котором свободный коэффициент a0 отсутствует, т. е.
где, напоминаем, центрированные переменные определяются как Таким образом, матрица
В матричной форме выражение (4.21) запишем следующим образом:
где z 1=(z11,..., z1T)¢ – вектор-столбец значений z1t первой компоненты в моменты t; b 1=(b11,..., b1n)¢ – вектор-столбец коэффициентов линейной зависимости, выражающей связь первой компоненты со значениями центрированных переменных в моменты t=1, 2,..., Т; С учетом выражения (4.22) сумма квадратов элементов z1t, т. е.
Определим неизвестный вектор коэффициентов b 1 таким образом, чтобы первая главная компонента вобрала в себя максимальную долю изменчивости, содержащейся в матрице
( b 1¢, b 1)=b112+b122+...+b1n2=1. (4.24)
Очевидно, что при выполнении условия (4.24) уровень изменчивости ( z 1¢, z 1) не сможет превзойти изменчивость всей матрицы Задача максимизации квадратичной формы (4.23) при условии (4.24) может быть решена на основе метода множителей Лагранжа, согласно которому искомое решение, т. е. вектор b 1, является значением аргумента, максимизирующим следующий функционал:
f 1= b 1¢
где m 1 – множитель Лагранжа. Исходя из условия оптимума ¶ji /¶ b i=0, дифференцируя правую часть (4.25) по вектору b 1 с учетом очевидного условия ¶mi /¶ b i =0, получим
(
Из равенства (4.26) следует, что m1 – максимальное собственное число (перронов корень), положительно определенной матрицы (
z 2=
где z 2=(z21, z22,..., z2T)¢; b 2=(b21, b22,..., b2n)¢. Неизвестные коэффициенты-компоненты вектора b 2 определим из (4.27) с учетом трех отмеченных выше условий. Компонента z 2 должна вобрать в себя максимальную долю изменчивости матрицы Сочетание этих условий соответствует постановке задачи максимизации квадратичной формы
b 2¢
при ограничениях
( b 2¢, b 1)=0. (4.30)
При этом отметим, что вид функционала (4.28) вытекает из определения изменчивости компоненты z 2 как скалярного произведения ( z 2¢, z 2)= b 2¢ В самом деле, условие ортогональности z 1 и z 2 можно представить с учетом свойства (4.26) в следующем виде:
0=( z 2¢, z 1)= b 2¢
Оптимизационная задача (4.28)–(4.30) также решается с помощью метода множителей Лагранжа как задача безусловной максимизации следующей квадратичной формы:
f2= b 2¢
где m2 и h1 – множители Лагранжа. Условие максимума (4.32) приводит к следующему выражению: ¶j 2 /¶ b 2=2
Несложно показать, что множитель h1=0. Для этого умножим равенство (4.33) слева на b 1¢. В результате
b 1¢
то из условия (4.34) непосредственно следует, что h 1= 0. В этом случае выражение (4.33) можно представить в виде аналогичном (4.26):
Из (4.35) следует, что множитель Лагранжа m 2 является вторым по величине собственным корнем матрицы ( Продолжение процесса формирования главных компонент как линейных комбинаций независимых переменных m1> m 2 ³ m3 ³...³ m n. (4.36)
Объединим вектора-столбцы b i, i=1, 2,..., n в матрицу следующего вида: В =( b 1, b 2,..., b n). (4.37)
Тогда матрица значений главных компонент Z в общем случае, имеющая размер n´ Т определяется согласно следующему выражению: Z =
матрица Z ¢ Z (аналог матрицы
Z ¢ Z = В ¢
Заметим, что tr( Z ¢ Z )=tr(
т. е. изменчивость переменных При доказательстве равенства (4.40) будем использовать два результата теории матриц. Первый из них относится к свойствам матрицы В. Из условий типа (4.26), (4.29) и (4.30), определяющих свойства нормированности векторов b i, i=1, 2,..., n; и их ортогональности, следует, что В ¢ В = Е. (4.41)
Таким образом, В ¢ = В –1 и для таких матриц справедливым является следующее равенство: ВВ ¢ = Е. (4.42)
Из последнего результата вытекают определенные свойства следов матриц, которые могут быть сформулированы следующим образом: для произвольной матрицы А имеет место равенство следов матриц А ¢ А и АА ¢, т. е. tr( А ¢ А )=tr( АА ¢ ). (4.43)
Как частный случай равенства (4.43) можно рассматривать следующий результат: скалярное произведение вектора-строки х ¢ на вектор-столбец х равно следу матрицы, полученной путем умножения вектора-столбца х на вектор-строку х ¢. Иными словами,
( х ¢ х )=
где хi – координаты вектора х. С учетом свойств (4.42) и (4.44) имеем tr( Z ¢ Z )= =
Таким образом, отношение
Условие (4.46) является ключевым при решении вопроса о том, сколько главных компонент целесообразно включить в эконометрическую модель. Как уже было отмечено выше, в том случае, когда матрица ( I(mr) = Если I(mr) определяет достаточную долю изменчивости переменных
В том случае, если ½
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Рис.4.1. График изменения кумулятивной Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 786; Нарушение авторского права страницы