Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Проблемы построения моделей с лаговыми зависимыми переменными



Общий вид линейной эконометрической модели с лаговыми зависимыми переменными может быть выражен следующим уравнением:

 

 

где a0,..., an, b1,..., bk – коэффициенты модели; x1,..., xn, yt–j, j=0, 1,..., k – переменные модели, et – ошибка. Из выражения (5.1) непосредственно вытекает, что в состав независимых (объясняющих) переменных входят запаздывающие по отношению к текущему периоду t значения зависимой переменной y, т. е. yt–1, yt–2,..., yt–k. Необходимость их включения в правую часть модели часто определяется специфическими свойствами исследуемого процесса, например, его инерционностью. Это свойство достаточно характерно для процессов миграции, динамики спроса, финансовых показателей, выпуска продукции. Так уровень миграции из региона i в регион j в году t в определенной степени зависит от аналогичного показателя прошлых лет, т. е. t–1, t–2,..., поскольку ранее переехавшее в регион j население передает в регион i информацию об условиях жизни на новом месте. При положительной информации следует ожидать роста миграции, при отрицательной – уменьшения. Однако в том и в другом случае, прирост потока мигрантов зависит от уровня информированности населения региона i об условиях жизни в регионе j, который в свою очередь связан с количеством ранее переехавших.

Аналогично, уровень спроса на какой-либо товар в период t в определенной степени зависит от числа лиц купивших его в прошлые периоды. Они распространяют информацию о потребительских свойствах товара, объем которой находится в прямой зависимости от числа продаж в прошлом. В такой ситуации при положительной информации можно ожидать роста спроса, при отрицательной – его снижения.

Примерно такие же взаимосвязи между соседними временными значениями зависимой переменной имеют место и среди финансовых показателей – стоимости курсов акций, контрактов и т.п., текущий уровень которых находится в зависимости от предшествующих его значений.

В исследованиях закономерностей динамики выпуска продукции включение в правую часть эконометрической модели лаговой зависимой переменной целесообразно в ситуациях, когда продукция прошлого периода хотя бы частично используется в производственном цикле текущего периода.

Появление лаговых значений зависимой переменной в правой части эконометрической модели часто значительно осложняет проблему получения несмещенных и эффективных оценок ее параметров. Это может произойти из-за воздействия целого ряда обстоятельств.

Во-первых, наличие нескольких лаговых переменных yt–1, yt–2,... зачастую имеет своим следствием плохо обусловленную матрицу X ¢ X по причине достаточно сильной автокорреляционной зависимости между соответствующими ее столбцами. Этот факт, как и в моделях с лаговыми независимыми переменными, ведет к потере качества модели вследствие ухудшения точности оценок ее параметров, снижению их эффективности и устойчивости к незначительным колебаниям исходной информации, ошибкам округления.

Во-вторых, для подобного рода моделей характерной чертой является существование сильной корреляционной зависимости между переменными yt–1, yt–2, ... и ошибкой et, что, в свою очередь, ведет к появлению смещения в оценках их параметров при использовании МНК в силу нарушения условия (2.23).

В-третьих, временной ряд ошибки модели et часто характеризуется наличием автокорреляционной связи, вследствие чего оценки параметров модели, полученные непосредственно на основе МНК являются неэффективными.

Проблемы оценки параметров модели (5.1), обусловленные плохой обратимостью матрицы ( X ¢ X ), могут быть решены рассмотренными в главе IV способами, поэтому в данном разделе им уделять особое внимание не будем.

Рассмотрим более подробно причины появления двух других проблем. Для этого обратимся к модели с лаговыми независимыми переменными, рассмотренной Койком. Эта модель имеет в большей степени теоретическое значение, поскольку в ней используется достаточно жесткое предположение о соотношении коэффициентов при лаговых переменных и не оговорено их количество. Модель Койка представим в виде следующего уравнения:

 

 

Предположим, что коэффициенты уравнения (5.2) одного знака и их сумма конечна. Тогда выражение (5.2) можно переписать в более компактной форме, используя для этой цели оператор сдвига D. С его помощью одноименные переменные, рассматриваемые в разные периоды времени, приводятся к одному периоду. Например, t=хt–1, D2хt =хt–2, D–1 хt– 1=хt и т. д. С учетом оговоренных условий выражением (5.2) может быть представлено в следующем виде:

 

 

где a – общий множитель коэффициентов модели (5.2), выбранный таким образом, чтобы сумма коэффициентов gi равнялась единице, т. е.

 

 

Койк рассмотрел случай, когда веса gi находятся в зависимости убывающей геометрической прогрессии. В этом случае все их можно выразить с помощью одного показателя согласно следующему выражению:

gi =(1–b )b i, 0< b< 1. (5.5)

 

В этом случае выражение (5.3) преобразуется в уравнение следующего вида:

 

 

где

Используя свойства оператора сдвига D, выражение (5.6) можно переписать в следующем виде:

 

 

С одной стороны, выражение (5.7) выглядит намного проще исходного уравнения (5.2). Оно содержит всего два неизвестных коэффициента a и b. C другой стороны, при их оценке отчетливо проявляются две последние из трех рассмотренных выше проблем.

Ошибка модели иt=et bet–1 коррелирует с лаговой переменной y t–1, поскольку y t–1 и e t–1 корреляционно взаимосвязаны.

Легко также показать, что ошибка модели иt имеет нулевой коэффициент автокорреляции первого порядка даже в том случае, если процессы et и e t–1 независимы. В самом деле, математическое ожидание ошибки иt=etbet–1 равно нулю М[иt]=М[et]–[et–1]=0, а дисперсия определяется следующим выражением:

 

D[иt]=М[etbe t–1]2=М[et]2 –2[ete t–1]+b2М[e t–1]2 =

=(1+b 2)М[et2]=(1+b2se2, (5.8)

 

поскольку М[ete t–1]=0 в силу независимости значений ошибок et и e t–1, t=1, 2,...

Ковариация ошибок иt и и t–1 определяется согласно следующему выражению:

 

cov(иt , и t–1)=М[et be t–1, et–1bet–2]=[e t–1]2=–bse2, (5.9)

 

что опять же вытекает из независимости значений ошибок et, et–1 и et– 2.

Таким образом коэффициент автокорреляции первого порядка ошибки иt оказывается отличным от нуля:

 

 

а ковариационная матрица ошибки иt определяется следующим выражением:

 

Cov (иt)=

 

К модели типа (5.7) приводятся, например, так называемые модели ожиданий, в которых текущее значение зависимой переменной yt связывается не с реальным уровнем независимого фактора хt, а с его ожидаемым значением хt*. Такое предположение может быть использовано, например, в моделях миграции, когда в качестве фактора хt рассматривается соотношение между условиями проживания в регионах i и j в году t. Тогда поток мигрантов из i-гов j-й регион может быть связан с ожидаемым изменением этих условий. Их количественные характеристики в реальности на практике измерить не представляется возможным. Вследствие этого модель целесообразно построить с учетом предполагаемых принципов формирования этих ожиданий. В качестве одного из них часто рассматривается принцип адаптивности ожидания, который формально может быть записан в следующем виде:

 

 

Выражение (5.12) отражает тот факт, что ожидаемое изменение фактора рассматривается как некоторая часть от изменений его реальной величины по сравнению с ожиданиями предыдущего периода. Это дает возможность использовать в эконометрической модели наблюдаемую реальную переменную хt вместо гипотетической хt*.

Таким образом, если исходное уравнение модели было сформировано в виде уравнения

 

 

где через f(z) выражены все остальные независимые факторы, то с учетом (5.12) его можно переписать как

 

 

где хt представляет собой уже реально измеряемую переменную.

Второе слагаемое в правой части модели (5.14) было получено путем преобразования соотношения (5.12), результатом которого является выражение ожидаемого уровня переменной хt* через ее реальное значение хt. Для этого сгруппируем все ожидаемые переменные в левой части, а реальные – в правой. Получим

 

 

где D – уже известный оператор сдвига, а b =1–g.

Подставив правую часть выражения (5.15) место переменной хt* в уравнение (5.13), получим модель в форме (5.14).

Умножим левую и правую части модели (5.14) на (1–bD) и перегруппируем вновь получившееся уравнение, выделив в левой части зависимую переменную уt. В результате получим следующее выражение исходной эконометрической модели (5.13) с ожиданиями:

 

 

Несложно заметить, что модель (5.16) по своим свойствам аналогична выражению (5.7). Для нее характерными чертами тоже являются наличие корреляционной зависимости между значениями ошибки иt=etbe t–1 и иt–1=et–1bet–2 и переменной правой части уt–1 и ошибкой иt, что осложняет проблему оценки ее коэффициентов. Заметим также, что если функция f(z) содержит временные переменные, то с учетом действия оператора D в выражении (5.16) необходимо использовать их сдвинутые назад на один период значения.

Вместе с тем, не все модели с лаговыми зависимыми переменными обладают этими неудобными с точки зрения оценки их параметров свойствами. Например, они отсутствуют в моделях частичной корректировки, связывающей оптимальное значение зависимой переменной уt* с уровнями определяющих ее факторов хit, i=1, 2,..., п.

 

 

В качестве такой переменной уt* может выступать объем производства какого-либо товара, который зависит, с одной стороны, от внутрипроизводственных факторов (финансовых, материальных, трудовых ресурсов и т. п.), а с другой, – от уровня рыночного спроса на этот товар. При изменении, например, спроса предприятие не в состоянии быстро скорректировать производственную программу. В результате текущий уровень производства уt будет отличаться от оптимального у t*. Это различие можно отобразить с помощью корректирующей функции следующего вида:

 

 

где a – корректирующий множитель, 0< g£ 1; xt – случайная ошибка.

Из выражения (5.18) непосредственно следует, что

 

 

Подставив (5.19) в (5.17) получим следующий вид эконометрической модели с лаговой зависимой переменной:

 

 

где

Выражение (5.20) очень похоже на модель (5.7), отражающую схему Койка, и на модель адаптивных ожиданий (5.16). Однако в связи с тем, что ошибка ut=et+x¢ t в (5.20) имеет достаточно простой вид (она равна сумме двух независимых одновременных ошибок и, очевидно, обладает “оптимальными” для МНК свойствами (2.20)–(2.24)), априорно нет оснований предполагать, что при определении параметров этой модели могут встретиться сложности, вызванные автокорреляцией ошибки или смещенностью оценок.

Разнообразие типов взаимосвязей между значениями ошибки и независимыми факторами в моделях с лаговыми зависимыми переменными не позволяет сформировать единый метод оценки их параметров. В следующих разделах будут рассмотрены наиболее часто используемые подходы к получению таких оценок, учитывающие специфику рассматриваемых моделей.

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 960; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.047 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь