Проблемы построения моделей с лаговыми зависимыми переменными

Общий вид линейной эконометрической модели с лаговыми зависимыми переменными может быть выражен следующим уравнением:

где a₀,..., a_n, b₁,..., b_k – коэффициенты модели; x₁,..., x_n, y_t–j, j=0, 1,..., k – переменные модели, e_t– ошибка. Из выражения (5.1) непосредственно вытекает, что в состав независимых (объясняющих) переменных входят запаздывающие по отношению к текущему периоду t значения зависимой переменной y, т. е. y_t–₁, y_t–₂,..., y_t–k. Необходимость их включения в правую часть модели часто определяется специфическими свойствами исследуемого процесса, например, его инерционностью. Это свойство достаточно характерно для процессов миграции, динамики спроса, финансовых показателей, выпуска продукции. Так уровень миграции из региона i в регион j в году t в определенной степени зависит от аналогичного показателя прошлых лет, т. е. t–1, t–2,..., поскольку ранее переехавшее в регион j население передает в регион i информацию об условиях жизни на новом месте. При положительной информации следует ожидать роста миграции, при отрицательной – уменьшения. Однако в том и в другом случае, прирост потока мигрантов зависит от уровня информированности населения региона i об условиях жизни в регионе j, который в свою очередь связан с количеством ранее переехавших.

Аналогично, уровень спроса на какой-либо товар в период t в определенной степени зависит от числа лиц купивших его в прошлые периоды. Они распространяют информацию о потребительских свойствах товара, объем которой находится в прямой зависимости от числа продаж в прошлом. В такой ситуации при положительной информации можно ожидать роста спроса, при отрицательной – его снижения.

Примерно такие же взаимосвязи между соседними временными значениями зависимой переменной имеют место и среди финансовых показателей – стоимости курсов акций, контрактов и т.п., текущий уровень которых находится в зависимости от предшествующих его значений.

В исследованиях закономерностей динамики выпуска продукции включение в правую часть эконометрической модели лаговой зависимой переменной целесообразно в ситуациях, когда продукция прошлого периода хотя бы частично используется в производственном цикле текущего периода.

Появление лаговых значений зависимой переменной в правой части эконометрической модели часто значительно осложняет проблему получения несмещенных и эффективных оценок ее параметров. Это может произойти из-за воздействия целого ряда обстоятельств.

Во-первых, наличие нескольких лаговых переменных y_t–₁, y_t–₂,... зачастую имеет своим следствием плохо обусловленную матрицу X ¢ X по причине достаточно сильной автокорреляционной зависимости между соответствующими ее столбцами. Этот факт, как и в моделях с лаговыми независимыми переменными, ведет к потере качества модели вследствие ухудшения точности оценок ее параметров, снижению их эффективности и устойчивости к незначительным колебаниям исходной информации, ошибкам округления.

Во-вторых, для подобного рода моделей характерной чертой является существование сильной корреляционной зависимости между переменными y_t–₁, y_t–₂, ... и ошибкой e_t, что, в свою очередь, ведет к появлению смещения в оценках их параметров при использовании МНК в силу нарушения условия (2.23).

В-третьих, временной ряд ошибки модели e_tчасто характеризуется наличием автокорреляционной связи, вследствие чего оценки параметров модели, полученные непосредственно на основе МНК являются неэффективными.

Проблемы оценки параметров модели (5.1), обусловленные плохой обратимостью матрицы ( X ¢ X ), могут быть решены рассмотренными в главе IV способами, поэтому в данном разделе им уделять особое внимание не будем.

Рассмотрим более подробно причины появления двух других проблем. Для этого обратимся к модели с лаговыми независимыми переменными, рассмотренной Койком. Эта модель имеет в большей степени теоретическое значение, поскольку в ней используется достаточно жесткое предположение о соотношении коэффициентов при лаговых переменных и не оговорено их количество. Модель Койка представим в виде следующего уравнения:

Предположим, что коэффициенты уравнения (5.2) одного знака и их сумма конечна. Тогда выражение (5.2) можно переписать в более компактной форме, используя для этой цели оператор сдвига D. С его помощью одноименные переменные, рассматриваемые в разные периоды времени, приводятся к одному периоду. Например, Dх_t=х_t–₁, D²х_t=х_t–₂, D^–1 х_t–₁=х_tи т. д. С учетом оговоренных условий выражением (5.2) может быть представлено в следующем виде:

где a – общий множитель коэффициентов модели (5.2), выбранный таким образом, чтобы сумма коэффициентов g_i равнялась единице, т. е.

Койк рассмотрел случай, когда веса g_iнаходятся в зависимости убывающей геометрической прогрессии. В этом случае все их можно выразить с помощью одного показателя согласно следующему выражению:

g_i =(1–b )b ⁱ, 0< b< 1. (5.5)

В этом случае выражение (5.3) преобразуется в уравнение следующего вида:

где

Используя свойства оператора сдвига D, выражение (5.6) можно переписать в следующем виде:

С одной стороны, выражение (5.7) выглядит намного проще исходного уравнения (5.2). Оно содержит всего два неизвестных коэффициента a и b. C другой стороны, при их оценке отчетливо проявляются две последние из трех рассмотренных выше проблем.

Ошибка модели и_t=e_t–be_t–₁ коррелирует с лаговой переменной y_t–₁, поскольку y_t–₁ и e_t–₁ корреляционно взаимосвязаны.

Легко также показать, что ошибка модели и_tимеет нулевой коэффициент автокорреляции первого порядка даже в том случае, если процессы e_tи e_t–₁ независимы. В самом деле, математическое ожидание ошибки и_t=e_t–be_t–₁ равно нулю М[и_t]=М[e_t]–bМ[e_t–₁]=0, а дисперсия определяется следующим выражением:

D[и_t]=М[e_t –be_t–₁]²=М[e_t]²–2bМ[e_te_t–₁]+b²М[e_t–₁]²=

=(1+b ²)М[e_t²]=(1+b²)× s_e², (5.8)

поскольку М[e_te_t–₁]=0 в силу независимости значений ошибок e_tи e_t–₁, t=1, 2,...

Ковариация ошибок и_tи и_t–₁ определяется согласно следующему выражению:

cov(и_t, и_t–₁)=М[e_t–be_t–₁, e_t–₁–be_t–₂]=bМ[e_t–₁]²=–bs_e², (5.9)

что опять же вытекает из независимости значений ошибок e_t, e_t–₁ и e_t–₂.

Таким образом коэффициент автокорреляции первого порядка ошибки и_tоказывается отличным от нуля:

а ковариационная матрица ошибки и_tопределяется следующим выражением:

Cov (и_t)=

К модели типа (5.7) приводятся, например, так называемые модели ожиданий, в которых текущее значение зависимой переменной y_t связывается не с реальным уровнем независимого фактора х_t, а с его ожидаемым значением х_t^*. Такое предположение может быть использовано, например, в моделях миграции, когда в качестве фактора х_t рассматривается соотношение между условиями проживания в регионах i и j в году t. Тогда поток мигрантов из i-гов j-й регион может быть связан с ожидаемым изменением этих условий. Их количественные характеристики в реальности на практике измерить не представляется возможным. Вследствие этого модель целесообразно построить с учетом предполагаемых принципов формирования этих ожиданий. В качестве одного из них часто рассматривается принцип адаптивности ожидания, который формально может быть записан в следующем виде:

Выражение (5.12) отражает тот факт, что ожидаемое изменение фактора рассматривается как некоторая часть от изменений его реальной величины по сравнению с ожиданиями предыдущего периода. Это дает возможность использовать в эконометрической модели наблюдаемую реальную переменную х_tвместо гипотетической х_t^*.

Таким образом, если исходное уравнение модели было сформировано в виде уравнения

где через f(z) выражены все остальные независимые факторы, то с учетом (5.12) его можно переписать как

где х_tпредставляет собой уже реально измеряемую переменную.

Второе слагаемое в правой части модели (5.14) было получено путем преобразования соотношения (5.12), результатом которого является выражение ожидаемого уровня переменной х_t^* через ее реальное значение х_t. Для этого сгруппируем все ожидаемые переменные в левой части, а реальные – в правой. Получим

где D – уже известный оператор сдвига, а b =1–g.

Подставив правую часть выражения (5.15) место переменной х_t^* в уравнение (5.13), получим модель в форме (5.14).

Умножим левую и правую части модели (5.14) на (1–bD) и перегруппируем вновь получившееся уравнение, выделив в левой части зависимую переменную у_t. В результате получим следующее выражение исходной эконометрической модели (5.13) с ожиданиями:

Несложно заметить, что модель (5.16) по своим свойствам аналогична выражению (5.7). Для нее характерными чертами тоже являются наличие корреляционной зависимости между значениями ошибки и_t=e_t–be_t–₁ и и_t–₁=e_t–₁–be_t–₂ и переменной правой части у_t–₁ и ошибкой и_t, что осложняет проблему оценки ее коэффициентов. Заметим также, что если функция f(z) содержит временные переменные, то с учетом действия оператора D в выражении (5.16) необходимо использовать их сдвинутые назад на один период значения.

Вместе с тем, не все модели с лаговыми зависимыми переменными обладают этими неудобными с точки зрения оценки их параметров свойствами. Например, они отсутствуют в моделях частичной корректировки, связывающей оптимальное значение зависимой переменной у_t^* с уровнями определяющих ее факторов х_it, i=1, 2,..., п.

В качестве такой переменной у_t^* может выступать объем производства какого-либо товара, который зависит, с одной стороны, от внутрипроизводственных факторов (финансовых, материальных, трудовых ресурсов и т. п.), а с другой, – от уровня рыночного спроса на этот товар. При изменении, например, спроса предприятие не в состоянии быстро скорректировать производственную программу. В результате текущий уровень производства у_t будет отличаться от оптимального у_t^*. Это различие можно отобразить с помощью корректирующей функции следующего вида:

где a – корректирующий множитель, 0< g£ 1; x_t – случайная ошибка.

Из выражения (5.18) непосредственно следует, что

Подставив (5.19) в (5.17) получим следующий вид эконометрической модели с лаговой зависимой переменной:

где

Выражение (5.20) очень похоже на модель (5.7), отражающую схему Койка, и на модель адаптивных ожиданий (5.16). Однако в связи с тем, что ошибка u_t=e_t+x¢ _tв (5.20) имеет достаточно простой вид (она равна сумме двух независимых одновременных ошибок и, очевидно, обладает “оптимальными” для МНК свойствами (2.20)–(2.24)), априорно нет оснований предполагать, что при определении параметров этой модели могут встретиться сложности, вызванные автокорреляцией ошибки или смещенностью оценок.

Разнообразие типов взаимосвязей между значениями ошибки и независимыми факторами в моделях с лаговыми зависимыми переменными не позволяет сформировать единый метод оценки их параметров. В следующих разделах будут рассмотрены наиболее часто используемые подходы к получению таких оценок, учитывающие специфику рассматриваемых моделей.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒