РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Расчет неразветвленных цепей

Основой расчета одноконтурных (неразветвленных) электрических цепей, содержащих источники обоих видов и потребители, служат законы Ома и Кирхгофа.

Если в цепи параметры потребителей (R) и источников напряжения (Е) заданы, то задача обычно состоит в определении тока контура. Положительное направление искомого тока выбирается произвольно и составляется уравнение:

При этом необходимо помнить, что со знаком «+» берутся ЭДС источников, которые действуют в направлении выбранного тока.

Расчет разветвленных цепей с одним источником

Разветвленную цепь с одним источником обычно упрощают, преобразуя в неразветвленную.

Смешанное соединение приемников энергии представляет собой сочетание последовательного и параллельного соединений. Общей формулы для расчета эквивалентного соединения нет, так как существует множество разнообразных схем соединения. При расчете нужно выделить в схеме участки, соединенные последовательно или параллельно и определить их эквивалентное сопротивление. Цепь постепенно упрощают, приводя к простейшему виду, и определяют токи участков с помощью закона Ома.

Пример 2

В цепи на рисунке 4 известны следующие величины:

R1 =3Ом; R2 =2Ом; R3 =24Ом; R4 =12Ом; R5 =10Ом; R6 =2Ом;

U=24В.

Определить эквивалентное сопротивление и токи всех участков.

Рисунок 4

Решение:

Сопротивления R3 и R4 соединены параллельно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему (См. рисунок 5)

Рисунок 5

Сопротивления R2 и R3, 4 соединены последовательно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему

(См.рисунок 6)

Рисунок 6

Сопротивления R2, 3, 4 и R5 соединены параллельно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему.

(См.рисунок 7)

Рисунок 7

Сопротивления R1, R6 и R2, 3, 4, 5 соединены последовательно. Найдем эквивалентное сопротивление и упростим схему.

(См. рисунок 8)

Найдем силу тока в неразветвленном участке цепи

с помощью закона Ома.

Рисунок 8

Для определения токов на всех участках удобно рассмотреть схемы в обратном порядке.

Заметим, что

Найдем напряжения на этих последовательно соединенных резисторах.

Определим токи на этих участках.

Найдем напряжение на участке R3.4

Напряжения на третьем и четвертом резисторах одинаковы и равны 9, 6В(участки параллельны)

Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений

В области электротехнических измерений широко применяется электрическая цепь с одним источником питания схема, которой представлена на рисунке 9.Особенностью этой цепи является наличие в ней соединений, называемых треугольником и звездой.

Треугольником сопротивлений называют соединение трех ветвей, образующих замкнутый контур с тремя узлами. В схеме (рисунок 9а) имеется два треугольника с сопротивлениями R1, R2, R3 и R3, R4, R5.

Звездой сопротивлений называют соединение трех ветвей, имеющих общий узел. Звезду сопротивлений образуют ветви с сопротивлениями R2, R3, R5 и R1, R3, R4.

(См. рисунок 9а)

Любой треугольник сопротивлений можно заменить эквивалентной звездой

(См. рисунок 9б). Для перехода от треугольника сопротивлений к эквивалентной звезде пользуются формулами:

В некоторых электрических цепях расчет упрощается после замены трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник сопротивлений. При этом применяют формулы обратного преобразования:

Рисунок 9

а) б)

Расчет разветвленных цепей с несколькими источниками

Если известна конфигурация сложной электрической цепи и заданы свойства всех составляющих ее элементов, то расчет такой цепи обычно сводится к определению токов в ветвях и потенциалов узлов. В отличие от рассмотренных выше случаев, разветвленная цепь с несколькими источниками требует специальных методов расчета. Следует отметить, что разветвленные цепи с одним источником так же можно рассчитывать рассмотренными ниже методами.

Метод уравнений Кирхгофа

Отыскание неизвестных величин связано с составлением и совместным решением системы уравнений, записанных по I и II законам Кирхгофа.

Алгоритм расчета.

1.Определить число узлов, ветвей и независимых контуров электрической цепи.

2.Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление.

3. Для узлов составить уравнения по I закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть (n – 1). n-количество узлов.

4. Для каждого выбранного контура составить уравнения по II закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть p. р - число независимых контуров, р=m-(n-1)

5. Решить систему m уравнений (количество уравнений в системе должно совпадать с числом ветвей).

6. Проверить правильность расчета с помощью баланса мощности.

Пример3. Определить токи в отдельных участках цепи, изображенной

на рисунке 10.

Е 1=95В, r1=1Ом, Е 2 =69В, r2=2Ом, R1=20Ом, R2 =10Ом, R3 =29Ом, R4 =5Ом, R5 =1Ом.

Решение:

1.Цепь сложная содержит два узла В и Е (n=2), три ветви ВЕ, ВБАЕ, ВГДЕ( m=3), три контура(АБВЕА, ВГДЕВ, АБВГДЕА)

Рисунок 10

2.Произвольно обозначим направление токов ветвей и направление обхода контуров.(См. рисунок 11 )

3. Составим одно уравнение по I закону Кирхгофа для узла В: I1 +I2 =I3

4. Составим два уравнения по II закону Кирхгофа, т.к.р=3-(2-1).

Контур АБВЕА: Е 1- Е 2 = I1(r1 +R1 + R3)- I2(r2+R2)

Контур ВГДЕВ: Е 2 = I2(r2+R2)+ I3(R4 + R5)

5. Решим систему уравнений:

Рисунок 11

Метод контурных токов

Метод уравнений Кирхгофа (узловых и контурных уравнений) в ряде случаев приводит к сложным вычислениям. Например, при расчете цепи, содержащей пять ветвей, необходимо составить пять уравнений. Число уравнений системы можно уменьшить, применив метод контурных токов.

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике.

Алгоритм расчета

1 Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2 Разбить схему сложной цепи на отдельные контуры- ячейки.

3 Каждому контуру приписать произвольно направленный контурный ток, одинаковый для всех участков данного контура. (Лучше выбрать всем контурным токам одно положительное направление).

4 Составить уравнения по второму закону Кирхгофа, число уравнений должно быть равно числу контурных токов.

5 Решить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя математические методы (метод Крамера, Гаусса и др.)

6 Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.

7 В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.

8 Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.

Пример 4. Рассмотрим решение предыдущей задачи методом контурных токов.

1.Выбрали направление токов ветвей

I 1, I 2, I3.

2.В данной схеме можно определить два

контура-ячейки АБВЕА, ВГДЕВ.

3.Контуру АБВЕА припишем контурный ток II, положительное направление которого совпадает с

Рисунок 12 направлением обхода контура - по часовой стрелке,

контуру ВГДЕВ-III, положительное направление - по часовой стрелке.

4. Составим уравнения по II закону Кирхгофа:

5.Решим систему уравнений:

Токи в крайних ветвях электрической цепи совпадают с контурными токами

I 1=I I=1А, I 3=I II=3А. Ток во внутренней ветке определим по I закону Кирхгофа

I2 = I 3 -I 1=2А

Результаты решения задачи совпали с ответом, полученным решением методом уравнений Кирхгофа.

Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п-1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.

Алгоритм расчета

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел (потенциал этого узла условно считаем равным нулю) и пронумеровать все остальные (n-1)-e узлы.

3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений. Собственная проводимость узла (G_ii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i-ом узле.

Общая проводимость i-ого и j-ого узлов (G_ij= G_ji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i-ому и j-ому узлам.

Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!

Узловой ток (J_ii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i -ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i -ом узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» остальные.

4.Записать систему уравнений в виде

В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.

5.Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n – 1) потенциалов.

6.С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.

7.Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.

Порядок расчета не зависит от вида источников, действующих в цепи. Но расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеализированные источники ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для успешного решения подобных задач необходимо правильно обозначить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС.

Если таких ветвей q, то количество уравнений в системе сократится до

k = n – 1 – q.

Пример 5. Рассчитаем электрическую цепь методом потенциалов. (См. рисунок 13)

Рисунок 13

Метод наложения

Метод наложения опирается на принцип наложения и заключается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из источников в отдельности.

При использовании этого метода задача расчета разветвленной электрической цепи с n источниками сводится к совместному решению n цепей с одним источником.

Алгоритм решения

1. Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать в n подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие источники исключаются следующим образом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. Внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей и поэтому они должны оставаться в подсхемах.

2. Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с полярностью источника. Расчет ведется по закону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.

3. Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» – остальные.

К достоинствам метода относят то обстоятельство, что расчет производится по частям, где составляющие тока и напряжения определяются довольно просто. Метод рекомендуется применять для схем, содержащих 2-3 источника.

Пример 6

Схема электрической цепи исходной задачи содержит два источника ЭДС, поэтому данную задачу можно решить и методом наложения токов.

1. Преобразуем схему ( см. рисунок 14) так, чтобы в схеме остался один первый источник, второй источник не является идеальным, поэтому его заменяем резистором сопротивлением r2 (см. рисунок 15).

Найдем частичные токи.

Рисунок 14

Рисунок 15

2.Преобразуем схему ( см. рисунок 14) так, чтобы в схеме остался один второй источник, первый источник не является идеальным, поэтому его заменяем резистором сопротивлением r1 (см. рисунок 16).

Найдем частичные токи.

Рисунок 16

Определим истинные токи:

Метод узлового напряжения

Потребители электрической энергии соединяются параллельно. Часто общая мощность включенных приемников становится больше той, которую может отдать в сеть источник энергии. В таких случаях при неизменном напряжении источники энергии включают параллельно. При этом получается цепь, которая содержит два узла. Напряжение между узлами А и Б называют узловым. Такую цепь удобно рассчитать методом узлового напряжения.

Алгоритм расчета

1. Указать направление токов на схеме (Направление токов выбрать в сторону одного из узлов).

2. Рассчитать проводимости каждой ветви.

3. Определить узловое напряжение: