Применение закона Био-Савара-Лапласа для нахождения магнитного поля

 

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 11).

Рисунок 11

 

В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы d B от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами d l и r ), выразив через него все остальные величины. Из рис. 11 следует, что

 

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (7), получим, что магнитная индук­ция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(9)

 

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (8) и (9),

(10)

 

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(11)

 

 

38. 2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 12).

 

 

Рисунок 12

 

Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение век­торов d B можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (7),

(12)

 

 

Тогда

(13)

 

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

(14)

 

 

3. Магнитное поле витка с током в произвольной точке на оси витка.

На рис.13 показан круговой виток радиуса R, плоскость которого перпендикулярна плоскости чертежа, а ось ОО^/ лежит в этой плоскости.

Рисунок 13

 

В точке С на оси ОО^/ векторы для полей различных малых элементов витка с током I не совпадают по направлению. Векторы и для полей двух диаметрально противоположных элементов витка и , имеющих одинаковую длину ( ), равны по модулю:

Результирующий вектор направлен в точке С по оси ОО^/ витка, причем

Вектор индукции в точке С для магнитного поля всего витка направлен также вдоль оси ОО^/, а его модуль

(15)

Если воспользоваться понятием вектора магнитного момента витка с током I, то выражение (15) можно переписать в форме

(16)

(17)

 

39. а)Теорема о циркуляции : циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

, (37)

где - число проводников с токами, охватываемых контуром произвольной формы.

 

б) Если

то соленоид можно приближенно считать бесконечно длинным. Для точки А, лежащей вдали от концов такого соленоида , а , так что по формуле (18),

(19)

В точке А, находящейся в центре одного из оснований бесконечно длинного соленоида ( , и ),

(20)

Магнитный момент соленоида равен геометрической сумме магнитных моментов всех его витков :

, (21)

где , а - единичный вектор, направленный по оси соленоида в ту же сторону, что и вектор . Модуль магнитного момента соленоида

(22)

где - объем соленоида.

 

 

40. 4. Магнитное поле соленоида.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию. Если витки расположены вплотную или близко друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью. На рис.14 показано сечение соленоида радиуса R и длины L с током I. Кружки с точками изображают сечения витков, в которых электрический ток направлен из-за чертежа к нам, а кружки с косыми крестиками – сечения витков, в которых ток направлен за чертеж. Пусть n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Рисунок 14

 

Магнитная индукция поля соленоида равна геометрической сумме магнитных индукций полей всех витков этого соленоида. В произвольной точке А, лежащей на оси соленоида О₁О₂, все векторы и результирующий вектор направлены по оси О₁О₂ в ту сторону, куда перемещается буравчик с правой резьбой при вращении его рукоятки в направлении электрического тока в витках соленоида. На малый участок соленоида длиной вдоль оси приходится витков. Если l – расстояние вдоль оси от этих витков до точки А, то, согласно (16), магнитная индукция поля этих витков

 

Так как

то

и

В пределах соленоида угол изменяется от до , поэтому

(18)

 

 

41. * Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Получите с помощью этой теоремы выражение для нахождения индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током.

Явление электромаг­нитной индукции - заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного.

Вектор магнитной индукции – физическая величина, характеризующая магнитное поле точно так же, как и напряженность электрического поля характеризует электрическое поле.

Циркуляцией вектора напряженности В по заданному контуру называется интеграл (берется по замкнутому контуру):

B_{l =} B cos α

Найдем циркуляцию вектора B по контуру в виде окружности, охватывающей бесконечный прямой проводник с током.

Пусть плоскость этой окружности перпендикулярна проводнику с током, центр её находится на проводнике. Выбранный нами контур совпадает с линией магнитной индукции прямого проводника (силовой линией).

Значение вектора В вдоль силовой линии равно по формуле:

B =

Где R – радиус окружности

Циркуляция вектора B вдоль силовой линии:

= = dl

Длина дуги окружности, как известно из определения радианной меры угла, равна:

dl=R dφ

Подставляя значение dl в выражение для циркуляции вектора B вдоль силовой линии и вынося постоянные величины, получаем:

= =μ ₀I

Теорема:

Циркуляция вектора по произвольному, замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на μ ₀, т.е.

= μ ₀

42. Магнитное поле соленоида. Выражение для индукции магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида.

Соленоид – провод, навитый на цилиндрический каркас. На 1 метр длины – n витков.

N – число витков на длине l.

Магнитное поле бесконечного соленоида однородно, индукция его может быть найдена по формуле:

B=μ ₀nI

где n – число витков на единицу длины соленоида, I – сила тока в соленоиде

Направлено магнитное поле вдоль оси соленоида, в соответствии с правилом правого

винта.

 

43. Действие магнитного поля на ток. Сила, действующая на элемент тока (закон Ампера) в векторной и скалярной формах.

Источник магнитного поля - электрический ток (движущийся электрический заряд). Магнитное поле действует на другой ток с силой, пропорциональной силе тока и магнитной индукции поля. На элемент тока в магнитном поле действует сила

d F =Id l

модуль вектора d F:

d F =I B dl sin α

направление определяется по правилам векторного произведения

Силу, действующую на проводник с током в магнитном поле называют силой Ампера. Для того, чтобы найти силу Ампера, действующую на проводник сложной формы или больших размеров, нужно разбить проводник на элементы тока и затем найти векторную сумму сил, действующих на элементы тока.

 

44. Сила, действующая на прямолинейный проводник с током.

Пусть имеются два бесконечных прямых параллельных проводника, по которым текут токи I₁ и I₂ . Ток I₁ создает в точке, где находится второй проводник, в соответствии с формулой

B =

Модуль силы Ампера, действующий на единицу длины проводника с током I2 в соответственно равен:

F₂₁=

Проводники с параллельными токами, текущими в одном направлении, взаимно притягиваются с силой, определяемой в расчете на единицу длины формулой выше. Проводники с противоположно направленными токами взаимно отталкиваются с силой, также определяемой.

45. Пусть b – расстояние между двумя параллельными, бесконечно длинными проводниками (рис. 2.2). Задачу следует решать так: один из проводников создаёт магнитное поле, второй находится в этом поле.

Магнитная индукция, создаваемая током на расстоянии b от него:

,

Рис. 2.2

Если и лежат в одной плоскости, то угол между и прямой, следовательно . Тогда сила, действующая на элемент тока ,

,

На каждую единицу длины проводника действует сила

,

(разумеется, со стороны первого проводника на второй действует точно такая же сила).

 

46. Рассмотрим плоский замкнутый контур очень малых размеров. Будем называть такой контур пробным контуром.Ориентацию его в пространстве характеризует направление нормали к контуру, восстанавливаемой по правилу правого буравчика: вращаем рукоятку правого буравчика по направлению тока в контуре, тогда направление его поступательного движения даст направление нормали (см. рис. 1).

Помещая пробный контур в магнитное поле, обнаружим, что поле стремится повернуть контур (нормаль) в определенном направлении.

Вращающий момент, действующий на контур , зависит как от свойств магнитного поля в данной точке, так и от свойств контура. Оказывается, что максимальная величина вращающего момента пропорциональна , т.е. ~ , где -ток контуре, - площадь контура с током, (рис. 1).

Векторную величину называют магнитным моментом контура , который в СИ измеряется в А м ².

 

 

47. На контур с током в неоднородном магнитном поле действует сила Ампера.

Результирующая сила Ампера, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется как:

Во внешнем магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия и, кроме того, как можно показать, под действием результирующей силы Ампера втягиваться в область более сильного поля.

 

48. Если поместить в магнитное поле не проводник, а виток (или катушку) с током и расположить его вертикально, то, применяя правило левой руки к верхней и нижней сторонам витка, получим, что электромагнитные силы F, действующие на них, будут направлены в разные стороны. В результате действия этих двух сил возникает электромагнитный вращающий момент М, который вызовет поворот витка, в данном случае по часовой стрелке. Этот момент

M = FD

где D — расстояние между сторонами витка.
Виток будет поворачиваться в магнитном поле до тех пор, пока он не займет положение, перпендикулярное магнитным силовым линиям поля. При таком положении через виток будет проходить наибольший магнитный поток. Следовательно, виток или катушка с током, внесенные во внешнее магнитное поле, всегда стремятся занять такое положение, чтобы через виток проходил возможно больший магнитный поток. Свойство витка и катушки с током поворачиваться в магнитном поле широко используется в электротехнике; электрические двигатели и ряд электроизмерительных приборов работают по этому принципу.

Для увеличения вращающего момента в электрических двигателях применяют не один виток, а несколько. Эти витки, соединенные соответствующим образом, образуют обмотку якоря электродвигателя.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Сущность закона Мосеева завета
2. CПИСОК ТЕМ ДЛЯ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ
3. DOUBLE NEEDS PANG PANG ТУШЬ ДЛЯ РЕСНИЦ от TONY MOLY – 660 руб
4. E) для факторов - капитал и земля
5. I. Имущественные права в силу закона
6. I. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ
7. I. ПОСМОТРИТЕ НА ЭТИ ПОЛЯ ЗЕРНОВЫХ
8. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ.
9. III. Определите значимость для переводчика изучения особенностей литературного направления, к которому относится тот или иной автор.
10. III. Разделы, изученные ранее и необходимые для данного занятия (базисные знания)
11. IV. Здания для проживания людей
12. IX.3. Прелестные девушки для странных парней