Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора.

Определение 1. Абстрактную функцию будем на

зывать аналитической при X = 0, если она представима в некоторой окрестности точки к — 0 сходящимся степенным рядом

v (Ъ = ^ x_kK' (I)

fc=o

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 1. Если —аналитическая абстрактная функция при к = 0, то непрерывна в круге S«(0), где R— радиус сходимопи степенного разложения (1).

Доказательство. Заметим сначала, что если ре (О, R),

оо

то числовой ряд £ k || x_k || сходится. Действительно, пусть

k= i

ре(р, У? ). Тогда lUJp^^M, k = 1, 2, ... (см. доказательство теоремы Абеля). Далее,

k \\х_к II р" -' = II р*} < 4- kq^k~\

оо

где g = p/p< 1. Осталось заметить, что ряд £ kq^k~^l сходится (почему! ¹). Положим

C.(P)=I k\\ x_k lip*" ¹.

k=\

Пусть теперь к, к₀ е S_p (0). Тогда

оо

откуда || х (к) — х (Я₀) С\ (р) | к — к₀1, и непрерывность х(к) в любой точке A₉eS{(0) доказана.

□ о

Следствие 1. Ряд £ kx_kk^k~^l сходится в S, v(0).

Для доказательства достаточно взять ре(|Х|, /? ) и восполь-

оо

зоваться сходимостью мажорантного ряда £ к || х_к || иолу-

k=1

ченной в ходе доказательства теоремы 1.

Теорема 2. Если х(к)—абстрактная аналитическая функция при к = 0, то х(к) дифференцируема в круге S«(0) сходимости своего степенного разложения.

Доказательство. Заметим сначала, что ири pe(0, R)

оо

сходится числовой ряд £ k (k — 1)11 x_k ||p^fe_2 (доказательство

4 = 2

этого факта мы предоставляем читателю). Пусть сг(р)— сумма этого ряда. Далее воспользуемся элементарным тождеством

ft-l

(j, — А,

= k(k- 1) J (1 -6)1(1 - 6) Л 4- Ы^к~² dQ fox-A, ).

Отсюда при цДб5_р(0) имеем

л! I Г l)p*-²|p-A, |.

Пусть £ ' = и (А.) (см. следствие 1). Имеем следую-

щую оценку:

I fe = 2

-«w

* (ц) - * (А, )

(х — А

< Ё ft (A - l)IU, ||p^ft-²|p-X|< c₂(p)|p-A|.

4 = 2

Отсюда видно, что функция х(Х) дифференцируема в Sr(0) и х'(Х )=и(Х).

k-i

Следствие 2. Аналитическая абстрактная функция бесконечно дифференцируема в круге сходимости своего степенного ряда, причем

х^Ф{Х)= Z k(k — 1)... (k-l + [)x_kX

k-i

Доказательство получается многократным применением теоремы 2.

Определение 2. Пусть х(А.) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

л=о

называется рядом Тейлора функции х(Х).

Из изложенного выше следует, что если х(А.) аналитична при X = 0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы единственности п. 13.3, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в 5«(0).

В заключение заметим, что если абстрактная функция л: (А) комплексного переменного X со значениями в комплексном банаховом пространстве X непрерывно дифференцируема, то она аналитична. Этот факт доказывается как и в теории функций комплексного переменного (см. [19]) на основе интегральной формулы Коши для абстрактной функции (см. [8]).

Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике mliоде малого параметра (см. пп. 13.5—13.7, а также п. 36.5).

13.5. Метод малого параметра в простейшем случае. Рассмотрим сначала следующее уравнение:

Ах — ХСх = у. (1)

Здесь А, Се2" (Х, У) и у Y заданы, X— скалярный параметр, |Я|-< р, а неизвестное х разыскивается в X. Если ЦЯСЛ-ЧК 1, т. е.

икисл-чг¹. (2)

то, согласно п. 12.5, оператор А — АС непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой

х (X) = (А — АС)^-1 у. (3)

Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра X и, следовательно, может быть найдено в виде

оо

х(Х)=£ _XkX^k. (4)

k = 0

На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях X в правой и левой частях получившегося тождества:

оо оо

2 Ах_кХ^к = у + I Cx_kX^k+>.

k = О k = 0

Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения х₀, хи...:

Ах₀ — у, Axi = Схо............ Ах_ь = Сх_ь...

Так как Л непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим

*о = А-\/, х, = Л-'(СЛ-'Ь................... x_k = A" ' (CA~^l)^h у, ...

Следовательно,

xW=Z A-^[{CA~')^kyX^k- (5)

Читатель легко убедится, что мы получили решение (3), Разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать

степенной ряд и ограничиться приближенным решением

х Z А-¹(СА-¹)^куХ\ (6)

ft=о

то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим

I A~^l{CA~^lY уХ^к

|x(A)-x_rt (X) ||-=

k=n+1

i - щЦсл^-11|

1.3.6, Метод малого параметра в общем случае. Приведенные выше рассуждения являются наводящими при изучении следующего общего случая. Пусть дано уравнение

А(Х)х = у(Х). (1)

Здесь А(Х)^ 3? {X, Y) задана при каждом X, |А.|< р, или, как говорят, А(X) — оператор-функция. Пусть А(X) аналитична при X = 0, а оператор < 4(0) непрерывно обратим, у(Х) — заданная аналитическая функция X при X = 0 со значениями в У. Неизвестное х разыскивается в X.

Аналитичность А (А) и у{Х) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны р' и р соответственно:

ОО ОО

А(Я)=Еа, аЛ y(X)=Y y_kX^k. (2)

ft=0 ft-о

Из аналитичности А (А.) следует непрерывность А (А.) при X = 0. Следовательно, найдется число г > 0 такое, что в круге

1М< г

||[А (А) — А (0)] А^-1 (0)|| < 1.

Отсюда вытекает, что в круге \X\< Lr оператор-функция А (А) непрерывно обратима (см. п. 12.1) и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение

х {X) = A~^l (X) у (А);

при этом г(А) аналитична в точке X = 0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(p, r). Для фактического построения х(Х) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать л: (А) в виде

оо

х(Х)=£ х_кК^к. (3)

л-о

Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для иеопределпшых коэффициентов а'о, х\, х₂, ...:

ЛцГ₀ = Уо, Л₀х, -f A_tx₀ = IJи

Уп

Л„х₂ + А, х, -f А, хо = у_ь (4)

А_кХ, 2 __ fe —

Здесь Ло = А (0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим

xo = Ao\jo, X, = /W'yi — Ao^lA\A$\jb, ■ ■ ■ (5)

Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности.

Как уже было отмечено выше, радиус сходимости ряда, полученного методом малого параметра, равен R = min (р, г), причем R не зависит от р' — радиуса сходимости степенного разложения оператора А (к). Дело в том, что метод малого параметра применим, как мы увидим ниже, и в случае неограниченной оператор-функции А (к).

Для оценки радиуса сходимости R ряда (3) снизу можно воспользоваться леммой из п. 13.3. Пусть нам удалось получи 1ь оценки

I Л„Ло" ¹ Я" 4=1

11у„Н< М_|(Л ii/Mo-'lkMp" -¹ («> 1). Тогда, согласно лемме, р^а^-1. Кроме того, || [Л (к) — А (0)] X

ХЛ-'(0)|| = если | Я | <

уи + р '

В результате мы получаем оценку R снизу:

min (а" ¹, (М + рГ¹)- (6)

Упражнение. Показать, что если Л (Я) = Л_с-f ЯЛi и

llj/JK^a", II А]Ло" ' I^ М, то оценку (6) можно заменить более точной:

Я > min (a" ¹, ЛГ¹)-

Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, Когда обращение оператора Л(0)—задача более простая, чем задача обращения оператора Л (Я).

13.7. Пример к методу малого параметра. В качестве примера на применение метода малого параметра рассмотрим следую-

151

щее интегральное уравнение с малым вещественным параметром X:

^Х У) — 2лГ \ cos (t — s+ kts) x(s)ds = у (! ), (1)

-я

которое мы можем интерпретировать как линейное операторное уравнение в С\—я, it] вида (1) п. 13.6. Заметим сначала, что

cos (t — s + Its) = (ts)^k cos ({ — s + Xts -f k-j ) Следовательно,

cos (t — s + Xts) = £ (ts)^k cos (t — s + k -2-) X".

Таким образом, операторные коэффициенты A_k имеют здесь вид

А₀Х = X (/) — ~ ^ cos (/ — s) X (s) ds, (2)

— л

A_kx = --~ 5 (tsf cos (^t - s + k y) X (s) ds, k=l, 2, ...

-n

Начнем с уравнения А₀х₀ = у системы (4) п. 13.6, где у нас теперь уо = у, Ук = 0, Это уравнение представляет со

бою интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром

W ~ 2V \ ^C0S С ~~ ^ds⁼ У (³)

-я

Действительно, cos(/ — s) = cos / cos s + sin t sin s, поэтому

x₀{t) = y(t) +Acost + Bsint, (4)

где

n n

A ⁼ 2л~ S ^{б =} ^ xj(s) sin sds. (5)

— я —я

Умножим равенство (4) па cos t и, интегрируя по t от —я до я, пользуясь (5) найдем

Л = ^ y(s)coss ds.

-я

Аналогично,

В = ~ ^ у (s) sin s ds.

- л

Следовательно, (4) принимает вид

Хо (t) = y(t) + -^- \ cos (/ - s) у (s) ds. (6)

-л

Приведенные выше рассуждения показывают, что уравнение А₀хо = У имеет в С[—л, л] единственное решение и это решение дается формулой (6). Следовательно, существует оператор определенный всюду на С[—л, л). Далее (все нормы — в С[—л, я]),

11*011= IVylklliMI + T niax \ \ cos (t-s)\ds\) у

^п < е[-л, я|

Следовательно,

||Л7'|< 1 4-4/л. Второе уравнение системы (4) п. 13.6 имеет вид А_пх\ = =—А\Хо, или, подробней,

л л

х\ (/) — ^ cos (/ — s) х\ (s) ds = — " 2^- ^ ts sin (t — s) x₀ (s) ds,

— л — л

где.vo(s) уже определено формулой (6).

Это снова уравнение вида (3), и его решение также можно найти явной формулой. Так, последовательно, определяются все коэффициенты ряда (3) п. 13.6. Дадим грубую оценку его радиуса сходимости R.

Нетрудно убедиться, что

IMftlK^O^^nfn²)*" ¹ и, значит, +

Согласно формуле (6) п. 13.6 R

л² + 2л + 8

§ 14. Метод продолжения по параметру

14.1. Формулировка основной теоремы. В качестве еще одно! о приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по паоаметру. Пусть A, Be *=<? (Х, У) и А непрерывно обратим. Если ||В — ЛНСИЛ-'Ц-', то, согласно теореме п. 12.5, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывною на отрезке [0, 1] оператор-функцию А(Х) гакую, чго Л(0) = Л, Л (1) = В, Иначе говоря, в ~2f(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки Л и В. Будем предпо- латать, что для оператор-функции Л (л) выполняется следующее условие:

I. Существует постоянная у> 0 такая, чго при всех Ig е[0, 1] и при любых л: е X справедливо неравенство

\\А{Х)х\\^у\[х\\. (1)

Ниже будет доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть Л (А, )—непрерывная на [0, ij опсратор- функция (при каждом а е [0, 1] А (X) е S (X, У)), причем оператор.4(0) непрерывно обратим Если для А(X) выполняется ус-пзие I, то Л(1) непрерывно обратим, причем \\A~^l (1) || ^

Доказательство этой теоремы мы проведем в двух случаях. в частном случае, когда Л(Х) = (1—У.)А-\-ХВ, т. е. Л (А, ) — отрезок, соединяющий Л и В, и в общем случае. Будут приведены также некоторые приложения метода к дифференциа ть- пым уравнениям. Заме! им сначалч чю из условия I вытекает 1_иедующип факт.

Замечание. Сели выполнено условие I при X = Х₀ е е[0, 1] и оператор Л(>.₀) непрерывно обратим, то

M-'^ll^Y" ¹- ^

Действительно, пусть х е X, а у = Л (Ао)х, т, е. х = А~¹ у. Тогда условие I дает \\y\i у|| А~¹ (Х_п)у\\ или ЦЛ" ¹ (А₀)у\\ ^ ^чт0 означает справедливость неравенства (2).

14.2. Простейший случай продолжения по параметру. Приведем здесь доказательство теоремы п. 14.1 для случая, когда А(Х) = ( 1—Х)А-\~ХВ Согласно условию этой теоремы Л^¹ < = е2^?(У, X). По замечанию п. 14.1 ЦЛ-'II^Y^-1- Имеем следующую оценку:

|| [Л (X) - A (0j] А" ¹ (0, || = ||Я (fl - Л) А~^[ 1 < Ху~¹1| fl - Л |!.

Пусть X е [0, б], где 6 = ~~₉ ц_й I.~~ ~~, q~~j~ • Па [0, 6] имеем

|| [Л (Л-)— Л (0) ] Л-¹ (0)||^ 1/2, и, следовательно, по теореме и 12.5 Л (X) при всяком ).е|0, б] непрерывно обратим. Если окажется, что 6 ^ 1, то теорема доказана.

Пусть б С 1. Возьмем Л(б). Согласно замечанию п. 14.1 ЦЛ^-1 (6) || ^ Y- Повторяем наши рассуждения при X > б Имеем оценку

[ Л (А) - Л (6)1 /1 - Чб) 1 < Y -¹ II Л (X) - Л (б) II =

= у~¹(Х-6)\\В-А\\^

если X е [б, 26], откуда А (X) непрерывно обратим при каждом X е [б, 26]. Если 26 ^ 1, то георема доказана Если же 26 < 1, то (|/Н(26)||< Y-¹ и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки X — 1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.

14.3. Доказательство теоремы в общем случае. Рассмешенный выше частный случай отрезка в 2(Х, Y) гс всегда утобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.

Лемма. Пусть ЗД — некоторое неш/стое множество на ГО 1], одновременно открытое ч юмкнигое на ГО, 1]. Тогда

аи=[о, 11.

Замечание 1. Условие открытости ЭД на [0, 1] понимается так: для любого v_n е ЗЛ существует 6 > 0 такое, что S₄(Xo)fl nS₄(*o)n[0, l] < =9ЯП[0, 1]/

Доказательство леммы. Пусть 91 = [0. 1 ] \ 2Я (дп..л- ненне к на [0, 1]). Нужно доказать, что 9? = 0 — щпое м 'о- жество. Допустим противнее, что 9? ф 0. Поскольку Ш? ф 0 и ограничено сверху, то существует b = siip£ 4, пением ЛеЧ вследствие замкч\тости Покажем, ч^то b = 1 Если b < !. то вследствие открытости 9)? на [0. 1] найдется v _> b л < = [Г? противоречит определению «ирЗЯ. Следовательно, < ] гепоз- можно. Итак, I е Ш

Теперь рассмотрим множество 9? Как дополнение к 9ft, г^по также открыто п замкнуто па [0, 11, и. значит, к нему пр: *.е- нимо рассуждение с MipSZ Мы получаем, по I < = Это невгз- можно, ибо 9} — дополнение к 91?. Полученное противоречие доказывает, что допущение 9? Ф 0 неверно Итак, 9J = 0, т. е. 5Ш = [0, 1]. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. П\сп, SPJ — множество тех точек Х< =[0, 1], для которых очерато», 1IX) чегпепь'рмо обратим. Согласно замечанию 1 1М~' (Я.) II ^г тля всех W не пусто, поскольку 0 ОТ

Докажем, что Ш открыто на [0, 1]. Пусть е 1, тогда для всех X е[0, 1]

|'[Л (X) — А (Х₀)] А -¹ (Яо) I! < V" ' М < м - / ' М ||.

Воспользуемся непрерывностью оператор-функции А (XI в метрике 2 (X, Y). Для любого f > 0 найдется 6 = 6 (е) > 0 такое, что при всех Хе[0, 1] таких, что |Х — Х_п|< б, выполняется неравенство ||Л (X) — Л (Х₀) || < е

Возьмем е = у, тогда при |Х —Хо|< б(у), Хе[0, 1]

Р[Л (X) — А (Х₀)] Л^-' (Я₀)" < 1.

По теореме л. 12.5 А{Х) непрерывно обратим для всех таких X. Итак, вместе с Х₀ 9J! содержит 5_4(v)(Xo)n[0, 1], т. е. 5Ш открыто на [0, 1].

Докажем, что замкнуто на [0, 1]. Пусть {Х,, }с: ЭД и L, —> - Х₀ при п-*- оо. Надо доказать, что Хо е 9Н. Воспользуемся неравенством Ц/4-¹ (Х_п) II ^ V^-1 и получим

S [ А (Х_п) - А (Х₀)] А(Я, „) II < у~¹ \\А (Х_п) - А (Х₀) ||.

Вследствие непрерывности А (X) по X для любого е> 0 нахо- днм номер /V = /V(e) такой, что при n> N будет |! Л(Л, _п) —■ — Д(Х₀)||< е. Возьмем е = у. тогда для n — N(y) + 1 II [/4 — Л (Хо) ] Л-¹ (Х_и) || < 1.

По теореме п. 12.5 А (Х₀) непрерывно обратим, т. е. Хо < = ЯЛ, и, значит, Т1 замкнуто на [0, 1]. По лемме 2Я = [0, 1]. В частности, lei и ||/М (1) || ^ у^-1. Теорема полностью доказана. Замечание 2. Рассмотрим уравнение с параметром:

А(\)х = у, Я, ? =[0, 11. (1)

Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком Хе[0, 1] справедлива оценка

11*11< с|1уН. Г2)

где с — некоторая постоянная, не зависящая от х, у и X. Оценка такого рода называется априорной оценкой для решений уравнения (П. Очевидно, апрнорпая оценка (2) представляет собой лишь иначе записанное условие I п. 14.1.

|| Л(Х)х||> с-^|||л-||.

Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.

14.4. Примеры применения метода продолжения по параметру. Изложенный выше метод продолжения по параметру является упрощенным вариантом известного метода Шаулера, нашедшего широкие применения в теории краевых задач для уравнений с частными производными эллиптического типа. Мы ограничимся здесь примерами чисто иллюстративного характера.

Пример 1. Рассмотрим следующую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка:

- х" + Ь Ц) х' + с (/) jc = // (/). 0< /< 1, (1)

х(0)= v (1) = 0. (2)

Здесь r(t) непрерывна на [0, 1], bit) непрерывно дифференцируема па [0, 11- Предположим еще, что на [0, 1]

с (t) }& '(0> а> --§-.

Ниже будет показано методом продолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части у е У = С [0, 1]

существует единственное решение задачи Jt^.Y = C²[0, 1] — пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой ||x||=|UlU +IU'IU +IU" llfc, где ||*||t = = max | л; (0 |. ю, 11

Запишем задачу (1) — (2) в операторном виде:

Вх = у.

d² d

Здесь В =------ + b (t) -gj- + с (t) определен всюду на X со зпа-

d²

чениями в V. В качестве оператора А примем А = —^ее=& (Х, Y).

Упражнение 1. Покажите, что при каждом t/ < = У краевая задача —х" — у, х(0) = х(1) = 0 имеет единственное решение леХи что А непрерывно обратим. Соединим операторы А и В отрезком

А(Х) = --^ + Xb(t)-^ + Xc(t), Х< =[0, 1].

Упражнение 2. Покажите, что А (X) — непрерывная оператор-функция на [0, 1].

Наша цель — установить априорную оценку для решений краевой задачи

— х" + Kb (/) + Хс (0 * = у (0, 0 < / < 1, (3)

*(0) = *(1) = 0. (4)

Как только такая оценка будет получена, из теоремы п. 14.1 сразу же будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) —(4).

Умножим уравнение (3) на x(t) и проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1. Замечая, что с учетом граничнык условий (4)

I 1

- J dt = J х^л (t) dt,

о о

I 1

J й (/) * (t) х' (0 dt = - у J b' (t) х² (/) d.

о о

получим

1 1 1

5 (0л + д. $ [с (0 -! Ь' (/)](/) dt = \y(t)x (t)dt. (5) 0 0 о

Произведем опенку всех трех слагаемых в этом равенстгс. Докажем, что

| 1

[ х'² (/) А > | J л² (/) dt,

с о

I х (s) I

\[с U) ~ \ // М^{^[2]} X²d) > a J А² (О Ф.

для любого е > ^рГ

j и О" ) -V- (/) dt С е ^ Л-² (/) dt + ~\ у¹ (I) dt.

Д 1я доказательства неравенства (6) заметим, что jc(s) = ^ x'(t)dt, и, значит, по неравенству Коши — Буняковского

(и) at < j [di^s\ ((г' ■ ■ и) £ /Л < (J (о л).

(9)

11 м / *n J \p

Точно так же

' '! \^ьг

(t) dt j.

Перемножая эти пер г шепотка, получим

Л²(s) < Vs(l — s) J х^л (0 dt.

Отсюда, замечая, что ^ -\/s (1 — s) ds — л/8, получим

S) '7)

(10)

Неравенство (7) есть следствие предположения с — b'/2 ^; > а. Наконец, неравенство (8) доказывается из рассмотрения скалярного квадрата

[ \/Р, X-------; = и ------ г- //

где (и, v) = ^u(t)v(t)dt.

2 л/е

У 2 -у е v

Подобные неравенства принято называть z-неравенствами. Такие неравенства час/о бывают полезны при получении априорных оценок в задачах математической физики.

Упражнение 3. Докажите справедливость е-неравенства (8).

Используя неравенства (б), (7) и (8) и равенство (5), получим

[ I

+ а-e)\x²(t)dt^^\y²(t)dt

о и

или, считая е > 0 достаточно малым, имеем

I I

\ х² (/) dt < '--- — ii if yi) dt.

i 4(- + a-e)_8o^J

Выберем ^{e = e}o ⁼ ~ + Y и получим i

о 0

где с \

Воззращаясь теперь к равенству (5), получим из него следующую 1, ", енку:

| 1 о о

где с₂ = |с (t) — jb'{t) — с '! „, а с₃=1/4е₀.

, 1/2

Далее, из оценки (9) имеем | х (5) К —

значит, учитывая, что! \ у² {t) dt \ < ||г/||_ь получим

д/2

и,

II * lift < д/-^^tii И у ₍₁₁₎

Теперь уже легко получить оценки для IU" |U и Hx'IU- Из уравнения (3) имеем

II х" ||_fe < || b lift || х ||_ft + || с ||_ft || x |l_fe + || г/ ||_fe. (12)

Ho Ik'IU оценивается через |U" ||«.. Действительно, x(0) — x(l) = = 0. По теореме Ролля на (0, 1) найдется £ — точка, в

I i \ X² (0 di < c, J y² (/) dt,

159

которой *'(£ ) —0. Тогда, записывая уравнение (3) в виде exp Я b (s) ds^j j = [Яс (t) x (t) - у (/)] exp Я ^b (s) ^

n интегрируя его от | до s, получим

- X J ft (s) ds j [Яс (8) x (6) - у (в)] dt.

Отсюда имеем оценку

ехр^—Я ^ b (s)ds^

II х' < ш (|| с \\_k!! х + || у у, (13)

где т = max

I, s, И е |0, 1|

Теперь (11), (12) и (13) дают

Н*Г* + IU' +

(постоянную Са нетрудно подсчитать). Искомая априорная оценка получена.

Замечание. Оценку (6) методами вариационного исчисления можно уточнить и показать, что

1 I

J х'² (/) dt > Л² J Х^! {() dt. (14)

о о

Упражнение 4. Опираясь на оценку (14), докажите, чго задача (I) — (2) однозначно разрешима при условии

с (I)- j b'(t)> -л² на [0, 1].

Упражнение 5. Покажите, что ecmic(t)s=—л², b(t)=Q, то оператор В не является непрерывно обратимым.

Пример 2. Рассмотрим снова краевую задачу (1) — (2) в тех же пространствах X и У, однако предположим, что c(t) ^ ^ 7 > 0 на [0, 1].

Рассмотрим теперь следующую краевую задачу с параметром Я е[0, 1]:

-х" + b(Xt)x' + c(Xt)x = y(t),

х (0) = л- (1) = 0. ⁽ '

(Предлагаемый прием иногда называют методом замораживания коэффициентов.) При Я = 1 получаем нашу задачу (1) —

160
(2). При Я = 0 получаем задачу с постоянными коэффициентами:

-х" + Ь(0)х' + с(0)х = у(1),

х(0) = х(1) = 0. ^ '

Пусть X и У— банаховы пространства, введенные в примере I. Запишем задачу (15) в операторном виде А{к)х = у, где ₂

оператор — функция со значениями в 2{Х, У).

Упражнение 6. Методом вариации произвольных постоянных покажите, что краевая задача (16) имеет единственное решение п, таким образом, оператор А(0) непрерывно обратим.

Чтобы воспользоваться теоремой о продолжении ио параметру и доказать однозначную разрешимость задачи (1)—(2) нужно еще получить априорную оценку решений задачи (15). Для этого воснользуе.мся принципом максимума. Так как х(0) = л*(1) = 0, то в точке t° положительного максимума x{t)' на [0, 1], если она существует, x'(t°)=Q, х" (t°) <. 0, и потому (см. (15)) справедлива оценка

Аналогично, в точке to отрицательного минимума х(1) на [0, I], если она существует, имеем

— V~^l\\y\\k< x(t₀). Объединяя эти оценки, получим

Дальнейшие рассуждения такие же, как в примере I. Задачи.

Докажите следующие утверждения.

1. Пусть Л„-> -А при п-+оо равномерно. Для того чтобы А был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы

1) А„ были непрерывно обратимы, начиная с некоторою номера;

2) {-4" ¹} была ограничена.

2. Пусть оператор-функция определена при 0< 11 — < б₀ и Л (0 А₀при t }_а. Для того чтобы Ао был непрерывно обратим, необходимо н достаточно, чтобы при 0 < 11 — < ₀| < Si sg; б

1) A(t) были непрерывно обратимы;

2) ||А-'(ОН с-

3. Пусть c(t) непрерывна и положительна на [0, 1]; тогда красная задача —х" + с(? ) = y(t), х(0) = А'(1), х' (0) =х'(1) имеет едннсгвешюе решение.

6 В. А, Треногин 101

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒