Экспериментальные данные для коэффициента гидравлического сопротивления. Опыты Никурадзе и Зегжда

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 16Следующая ⇒

При исследовании турбулентного движения жидкости в трубах необходимо решать два основных вопроса – определение потерь напора и распределения скоростей по поперечному сечению трубы. Опыты показывают, что обе эти величины существенно изменяются в зависимости от диаметра трубы, вязкости жидкости, скорости движения и шероховатости стенок труб.

Экспериментальные данные для l в широком интервале чисел Re были получены Никурадзе в трубах и Зегжда - в прямоугольных каналах с искусственной (песочной) шероховатостью.

Средний диаметр фракции песка D принимался за меру абсолютной шероховатости (рис.6.18). Труба называется гидравлически гладкой, если средняя высота выступов шероховатости D меньше толщины ламинарной пленки d_л. В этом случае шероховатость не влияет на движение. Если абсолютная шероховатость D больше толщины ламинарной пленки d_л, то труба называется гидравлически шероховатой. В этом случае шероховатость существенно влияет на движение жидкости (рис.6.19).

Рис.6.19

Таким образом, абсолютная шероховатость D это есть средняя высота выступов шероховатости. Относительная шероховатость определяется величиной

где r₀ - радиус трубы.

Величина, обратная относительной шероховатости

называется относительной гладкостью.

Результаты опытов Никурадзе представлены на графиках рис.6.20.

Рис.6.20

На графике (см. рис.6.20) всю область чисел Рейнольдса можно разделить на 5 характерных зон движения.

1 - зона ламинарного режима (Re < 2300 или lgRe < 3, 6). Здесь все опытные точки, независимо от шероховатости стенок, ложатся на прямую линию I, описываемую уравнением Пуазейля

Следовательно, опытные данные позволяют заключить, что при ламинарном движении шероховатость стенок не оказывает влияние на сопротивление (коэффициент трения). Потери напора здесь пропорциональны скорости. Действительно, подставляя выражение для коэффициента трения

в формулу Дарси-Вейсбаха

получим

где u - средняя скорость,

2 – переходная зона. В ней ламинарный режим переходит в турбулентный (2300 ≤ Re ≤ 3000). Коэффициент λ здесь быстро возрастает с увеличением числа Рейнольдса, оставаясь одинаковым для различных шероховатостей.

3 - зона гидравлически гладких труб для турбулентного режима. Для труб с высокими значениями относительной гладкости (r₀/D> 500). Опытные точки для чисел Рейнольдса 400< Re< 80 r₀/D располагаются вдоль наклонной прямой II. Эта прямая известна как прямая Блазиуса для «гладких труб». На ней коэффициент трения l хорошо описывается эмпирической формулой Блазиуса

Потери напора здесь определяются по формуле

4 - зона шероховатых труб (r₀/D< 500) или, так называемая, доквадратичная зона при турбулентном режиме (80 r₀/D< Re< 1000r₀/D). В этой зоне отклонение экспериментальных точек от прямой II зависит от величины шероховатости (относительной гладкости). И это отклонение наступает тем раньше, чем меньше относительная гладкость. При этом коэффициент l стремится к некоторому пределу (разному для труб с различной шероховатостью), оставаясь затем постоянным при увеличении числа Re.

5 - зона вполне шероховатых труб (r₀/D=15 и r₀/D=30). Гидравлические потери в этой области пропорциональны квадрату скорости (квадратичный закон сопротивления). Для кривых r_o/D=15 и r_o/D=30 ламинарная пленка даже при небольших значениях Re не перекрывает выступов шероховатости и эти кривые с увеличением числа Re только пересекают линию II для гладких труб. Следовательно, в данном случае коэффициент l совершенно на подчиняется закону для гладких труб. С увеличением числа Re он постепенно возрастает и при lg Re = 4, 6 для первой кривой (r_o/D=15) или lg Re =5, 0 для второй кривой (r_o/D=30) становится практически независимым от Re.

Коэффициент l для этой зоны может быть определен по формуле
Б.Л. Шифринсона

где D_э – эквивалентная шероховатость (см. ниже).

Полученным результатам можно дать следующее объяснение. До тех пор, пока выступы шероховатости полностью погружены в ламинарный пограничный слой (D< d_л), для величины гидравлических сопротивлений нет разницы между гладкими и шероховатыми поверхностями стенок. Коэффициент l здесь зависит только от числа Рейнольдса и определяется как для гладких труб (1-3-я зоны).

В случае, когда выступы шероховатости выходят за пределы пограничного слоя (D> d_л), ламинарное течение нарушается и выступы шероховатости оказываются в области турбулентного течения жидкости.

С увеличением числа Рейнольдса толщина пограничного слоя уменьшается и в случае, когда величина D оказывается сопоставимой с величиной d_л, коэффициент l зависит не только от числа Рейнольдса, но и от шероховатости стенок (4-я зона).

Если число Рейнольдса достаточно велико и D значительно больше d_л, то коэффициент l зависит только от шероховатости и не зависит от числа
Рейнольдса (5-я зона).

Опыты А.П.Зегжда для прямоугольных каналов позволили получить график, который близок к графику Никурадзе не только качественно, но и количественно, если результаты сопоставлять при одинаковых гидравлических радиусах.

Опыты, проведенные в промышленных трубопроводах с естественной шероховатостью, показали, что оценка только по высоте выступов шероховатости D недостаточна, большую роль имеет также характер шероховатости: форма выступов, их расположение и прочее. Поэтому было введено понятие об эквивалентной шероховатости D_э= φ D (φ > 1), где φ - зависит от характера шероховатости. Под эквивалентной шероховатостью D_эпонимают такую зернистую шероховатость, при которой сопротивление оказывается таким же, как и при действительной шероховатости. Величина эквивалентной шероховатости D_э указывается в гидравлических справочниках в зависимости от типа трубопровода.

§ 6.18. Формулы для определения коэффициента
гидравлического сопротивления

Графики зависимости коэффициента l от числа Re и относительной шероховатости, найденные экспериментально и приведенные на рис. 6.20, позволяют определить круг формул, теоретических и эмпирических (экспериментальных), хорошо согласующихся с экспериментальными данными.

При ламинарном режиме в круглых трубах для определения l применяют формулу Пуазейля

Ее справедливость хорошо подтверждается могочисленными экспериментами, включая графики Никурадзе (см. рис. 6.20). Согласно этой формуле коэффициент l при ламинарном режиме не зависит от состояния внутренних поверхностей стенок труб, характеризуемого их шероховатостью, а зависит только от числа Рейнольдса.

Для турбулентного режима рассмотрим лишь наиболее универсальные формулы, среди которых следует назвать формулу Кольбрука и Уайта, справедливую для всей зоны турбулентного течения в шероховатых трубах с естественной шероховатостью в доквадратичной области

где D_э – эквивалентная шероховатость; d – диаметр трубопровода.

Впервые эта формула была получена А.Д. Альтшулем как эмпирическая зависимость в 1939 г. и лишь значительно позже (1970 г.) она была теоретически обоснована.

Как частные случаи из этой формулы можно получить формулу Прандтля – Никурадзе для гладких труб при D_э / d = 0

и для вполне шероховатых труб при Re = ¥

Среди наиболее универсальных в доквадратичной области шероховатых труб можно отметить также теоретическую формулу А.Д. Альтшуля

и предложенную им же более простую приближенную формулу

. (6.19)

Эта формула в квадратичной области вполне шероховатых труб (кривые r₀/D=15 и r₀/D=30 на графике рис.6.20) при больших значениях чисел Re переходит в формулу Б.Л. Шифринсона

Указанные выше формулы наиболее правильно учитывают влияние различных факторов на гидравлические сопротивления. Их недостатком является некоторая громоздкость и отсутствие полных данных об эквивалентной шероховатости.

Для отдельных зон турбулентного режима, например, в области гидравлически гладких труб (3-я зона на графике Никурадзе, см. рис. 6.20) применима формула Блазиуса

устанавливающая зависимость коэффициента l только от числа Re. Эта формула как частный случай может быть получена из приближенной формулы (6.19) А.Д. Альтшуля при D_э/d=0. Формула Блазиуса справедлива лишь при малой шероховатости стенок и при числах Рейнольдса Re< 100000.

Местные сопротивления

При движении реальных жидкостей кроме потерь на трение по длине потока, возникающих из-за вязкости жидкости, могут возникать и местные потери напора. Причиной последних являются местные сопротивления (краны, задвижки, сужения, расширения, повороты трубопроводов, и прочее), которые вызывают изменение скорости движения или направления потока.

Потери напора в местных сопротивлениях определяются по формуле

, (6.20)

где x - коэффициент местных потерь;

- cкоростной напор;

u - средняя скорость.

Коэффициентом местных потерь x называется отношение потери напора в данном местном сопротивлении к скоростному напору

Очень часто диаметр трубопровода до местного сопротивления и после него бывает разным, а поэтому и скорости потока при этом разные (рис.6.21). Очевидно, что и коэффициенты местных потерь, отнесенные к скоростному напору до и после местного сопротивления, будут различными. Поэтому при пользовании гидравлическими справочниками необходимо всегда обращать внимание, к какому скоростному напору отнесен коэффициент x. Обычно x относят к скоростному напору за местным сопротивлением.

В некоторых случаях удобно определять местные сопротивления через так называемую эквивалентную длину местного сопротивления. Эквивалентная длина местного сопротивления - это такая длина прямого трубопровода, на которой происходит такая же потеря напора h_м, как и в данном местном сопротивлении.

Эквивалентную длину l_э можно определить из равенства

Отсюда

Понятие эквивалентной длины позволяет ввести понятие о приведенной длине трубопровода

где l - действительная длина трубопровода.

Коэффициент местных потерь x в общем случае зависит от формы местного сопротивления, от числа Re, от шероховатости поверхности, а для запорных устройств также от степени их открытия, т.е.

где симплексы характеризуют форму местного сопротивления, в том числе и степень открытия в случае запорного устройства.

Ввиду большой сложности происходящих в местных сопротивлениях явлений в настоящее время нет надежных методов теоретического определения коэффициента x. Он определяется в основном экспериментально. Имеется попытка теоретически обосновать коэффициент местных потерь на случай внезапного расширения трубопровода (рис. 6.22). Используя аналогию потерь энергии при внезапном расширении с неупругим ударом твердых тел, Борда из теоремы о приращении количества движения и уравнения Бернулли вывел формулу для местных потерь при внезапном расширении потока в виде

где u₁, u₂ - скорости потока до и после внезапного расширения. Т.е. потеря напора при внезапном расширении равна скоростному напору потерянной скорости, где u = u₁– u₂ – потерянная скорость. Это утверждение представляет так называемую теорему Борда-Карно. Однако более детальный анализ явлений показывает, что аналогия потерь напора при внезапном расширении с потерями энергии при неупругом ударе твердых тел далеко неполная. Опытом, в частности, подтверждается, что потери напора, даваемые теоремой Борда-Карно, получаются завышенными. Поэтому на основании теоретических соображений и эксперимента предложено эту потерю определять по формуле

, (6.21)

где k - коэффициент, определяемый опытным путем.

Ценность такого теоретического обоснования коэффициента x, когда вместо него нужно из опыта находить коэффициент k, очевидна.

Рассмотрим теперь отдельные практически важные типы местных сопротивлений.

1. Внезапное расширение потока (см. рис. 6.22).

Хотя аналогия внезапного расширения потока с неупругим ударом не может служить основой для строгого теоретического обоснования и объяснения физического смысла явления, в первом приближении она достаточна. Благодаря неупругости удара механическая энергия рассеивается и превращается во внутреннюю энергию жидкости. Этим и объясняется основная доля потерь при внезапном расширении, которые подсчитываются по формуле (6.21).

Уравнение неразрывности потока для несжимаемой жидкости имеет вид

(6.22)

Отсюда

. (6.23)

Подставляя (6.23) в (6.21), получим

(6.24)

Сравнивая (6.24) с (6.20), найдём

(6.25)

Выразим из (6.22) u₁

. (6.26)

Подставляя (6.26) в (6.21), получим

(6.27)

Сравнивая (6.27) с (6.20), найдём

Таким образом, по формулам (6.24), (6.27) можно определить потери напора в местном сопротивлении в случае известных скоростей u₁ или u₂. Для приближенных расчётов коэффициент k можно принять равным 1.


Рис. 6.23	Рис. 6.24

2. Выход из трубы в резервуар больших размеров (рис. 6.23).

В данном случае площадь сечения резервуара ω ₂ > > ω ₁и поэтому

Тогда из формулы (6.25) следует

» 1.

3. Внезапное сужение потока (рис. 6.24).

В данном случае происходит внезапное увеличение скорости. Удара при этом в плоскости перехода сечения не происходит. Но на некотором расстоянии ниже по течению происходит сжатие струи (сечение с–с), а затем переход от сжатого сечения к нормальному. Этот переход можно рассматривать как удар, что и служит причиной потерь напора.

Потери напора при внезапном сужении значительно меньше потерь напора при внезапном расширении. Коэффициент ξ здесь зависит от соотношения ω ₂/ ω ₁. Найденные опытным путём значения ξ приведены в таблице

ω ₂/ ω ₁	0, 01	0, 1	0, 2	0, 4	0, 6	0, 8	1, 0
ξ	0, 45	0, 39	0, 35	0, 38	0, 2	0, 09	0, 0

4. Постепенное расширение потока (диффузор) (рис. 6.25).

Рис. 6.25

При малых углах q £ 4-5⁰. Течение в диффузоре происходит безотрывно. При углах q > 4-5⁰ происходит отрыв потока от стенки. Это объясняется тем, что в диффузоре происходит увеличение давления в направлении движения, вызываемое уменьшением скорости вследствие расширения канала. Частицы жидкости, движущейся у стенки, сильно затормаживаются силами вязкости и в определенной точке их кинетическая энергия становится недостаточной для преодоления все возрастающего давления. Поэтому скорость жидкости в пристенном слое в такой точке обращается в нуль, а за этой точкой появляются обратные течения - отрыв потока.

Рис. 6.26

Если безотрывное течение в диффузоре происходит практически без потерь, то течение с отрывом сопровождается значительными потерями энергии на вихреобразование.

Зависимость имеет вид, представленный на рис. 6.26.

При угле 2q @ 70⁰ коэффициент потерь достигает максимума. Причем, при угле 2q > 40⁰¸ 60⁰ потери напора превосходят потери при внезапном расширении потока (2q = 180⁰). Поэтому вместо переходов в виде диффузоров с углом 2q > 40⁰ нужно применять внезапное расширение как переход, дающий меньшие потери напора.

§ 6.20. Зависимость коэффициента местных потерь
от числа Рейнольдса

Для данного местного сопротивления коэффициент x будет функцией только от числа Re. В зависимости от влияния числа Re на коэффициент x режимы движения жидкости могут быть разделены на следующие зоны.

1. Движение в местном сопротивлении и в трубопроводе ламинарное.

Коэффициент местных сопротивлений в этом случае определяется по формуле

, (6.28)

где А – коэффициент, зависящий от типа местного сопротивления.

Так как

, (6.29)

то, учитывая (6.28), будем иметь

где .

Следовательно, потери напора пропорциональны первой степени скорости.

2. Движение в трубопроводе без местного сопротивления ламинарное, а с местным сопротивлением турбулентное. В этом случае

где В – коэффициент, зависящий от типа местного сопротивления.

Потери напора в данном случае определяются по формуле

где .

3. Движение в трубопроводе без местного сопротивления и при наличии его турбулентное при небольших числах Re> 2300.

Формула для коэффициента местного сопротивления имеет вид

где С – коэффициент, зависящий от типа местного сопротивления.

Подставляя последнее соотношение в (6.29), получим

где .

4. Развитое турбулентное течение при больших числах Рейнольдса.

Коэффициент x здесь не зависит от числа Рейнольдса и местные потери напора пропорциональны квадрату скорости (квадратичная зона)

где .

Коэффициенты A, B, C, для различных типов местных сопротивлений приводятся в учебниках по гидравлике [2, 11] и гидравлических справочниках [6].

§ 6.21. Принцип наложения потерь напора.
Коэффициент сопротивления системы

Для определения суммарных потерь напора в трубопроводе применяется так называемый принцип наложения потерь. Согласно этому принципу суммарная потеря напора в трубопроводе равна сумме отдельных потерь.

Например, если имеется трубопровод с постоянным диаметром d=const, то скорость в различных сечениях будет постоянной (u= const) и суммарная потеря напора будет

где x_c - коэффициент сопротивления системы.

Если трубопровод имеет участки с различным диаметром (рис.6.27), то суммарная потеря напора определяется по формуле

Рис. 6.27

Так как

то

Однако несмотря на кажущуюся очевидность, принцип наложения потерь не всегда справедлив и его нельзя механически использовать во всех случаях расчета. Дело в том, что местные сопротивления, установленные в трубопроводе, взаимно влияют друг на друга. Так, если два вентиля установлены на небольшом расстоянии друг от друга, то их сопротивление не будет равно сумме сопротивлений для каждого вентиля в отдельности. В этом случае последовательно соединенные сопротивления надо рассматривать как особый тип местного сопротивления.

Для того чтобы был справедлив принцип наложения потерь, местные сопротивления должны отстоять друг от друга на расстоянии, большем расстояния стабилизации потока, равном 20¸ 50d (рис.6.28).

Применимость этого принципа особенно нужно иметь в виду при проектировании насосных станций, где трубопроводы насыщены множеством местных сопротивлений.

§ 6.22. Основные расчетные формулы для определения
потерь напора

Линейные потери напора в напорных трубопроводах круглого сечения определяются по формуле Дарси-Вейсбаха

где u - средняя по сечению скорость.

Эта формула называется первой водопроводной формулой. Из нее следует

или

. (6.30)

Так как ; , где R - гидравлический радиус; J - пьезометрический (гидравлический) уклон, то (6.30) примет вид

, (6.31)

где - коэффициент Шези.

Формула (6.31) называется формулой Шези. Она используется для определения скорости течения при равномерном движении жидкости в трубах, каналах и естественных руслах. Коэффициент C может быть вычислен, если известно l, или его определяют по эмпирическим формулам, например, по эмпирической формуле Павловского

где n - коэффициент шероховатости (дается в таблицах); - переменный показатель степени, равный

Из формулы Шези найдем

или

Отсюда

По этой формуле находятся линейные потери напора, главным образом при расчете некруглых труб.

Местные потери напора рассчитываются по общей формуле

С целью упрощения гидравлических расчетов формулу Шези представляют в несколько ином виде. Учитывая, что

получим

или

Обозначив

получим

или

Отсюда

Последняя формула называется второй водопроводной формулой.

Величина K называется модулем расхода или расходной характеристикой. При , т.е. K представляет собой расход жидкости в трубопроводе при гидравлическом уклоне, равном единице. Следовательно, K имеет размерность расхода. С другой стороны, при из 2-й водопроводной формулы получаем , т.е. представляет собой сопротивление трубопровода при расходе, равном единице. Поэтому величину называют удельным сопротивлением трубопровода.

Особенно удобно введение величины K при расчете трубопроводов с турбулентным движением в квадратичной зоне. В этом случае

Часто 2-й водопроводной формуле придают другой вид. Так как

то

Обозначив

получим

Тогда из формулы

получим еще один вид второй водопроводной формулы

Задачи

Задача 1. По трубопроводу (рис. 6.29) диаметром и длиной движется жидкость (керосин). Определить напор , при котором происходит смена ламинарного режима течения на турбулентный (потери напора в местных сопротивлениях не учитывать). Температура жидкости . Кинематический коэффициент вязкости керосина м²/с.

Рис. 6.29

Решение. Считая, что в данном случае смена ламинарного режима течения на турбулентное происходит при числе Рейнольдса, равном , линейные потери напора будут определяться по формуле Дарси - Вейсбаха

где - коэффициент линейных потерь; - ускорение свободного падения; - скорость течения жидкости, которая может быть определена из числа Рейнольдса

Коэффициент линейных потерь находится по формуле Пуазейля

Искомый напор затрачивается лишь на преодоление линейных потерь напора, поэтому он может быть найден по формуле Дарси-Вейсбаха

Задача 2. Определить диаметр трубопровода, по которому подается жидкость Ж с расходом , из условия получения в нем максимально возможной скорости при сохранении ламинарного режима при следующих исходных данных: ; ; .

Решение. Расход, скорость и число Рейнольдса определяются по формулам

; ; .

Максимальная скорость, при которой сохраняется ламинарный режим течения, будет наблюдаться при числе Рейнольдса, равном . Тогда

Отсюда

м.

Задача 3. По трубопроводу диаметром и длиной (рис. 6.30) движется жидкость (вода, ν = 1·10^-6 м²/с). Определить потерю напора , при которой происходит смена ламинарного режима течения на турбулентный. Исходные данные задачи: ; .

Рис. 6.30

Решение. Потеря напора определяется по формуле Дарси – Вейсбаха

Коэффициент линейных потерь находится по формуле Пуазейля

где .

Тогда

Скорость найдем из числа Рейнольдса

Тогда

м.

Задача 4. При внезапном расширении трубопровода скорость жидкости в трубе большего диаметра равна (рис. 6.31). Большой и малый диаметры трубы соответственно равны и . Причем, . Определить разность показаний пьезометров , при следующих исходных данных: