Полуэмпирические теории турбулентности

Величина в формуле (6.11) обусловлена пульсационными добавками скорости. Для ее определения необходимо иметь зависимость этих добавок от осредненных характеристик потока. Вследствие хаотичного характера турбулентного потока для получения таких зависимостей необходимо применять статистические методы, на которых основаны так называемые статистические теории турбулентности. Однако основанные на этих теориях зависимости оказываются весьма сложными и поэтому они не получили распространение в инженерной практике при решении задач о распределении скоростей и потерях энергии в турбулентном потоке.

Для количественного описания турбулентного движения используются так называемые полуэмпирические теории турбулентности, основанные на упрощенных моделях турбулентного потока.

Основной частью таких теорий является предположение о том, что касательное напряжение, вызванное турбулентным перемешиванием, можно описать в виде, аналогичном закону вязкости Ньютона

,

где - динамический коэффициент турбулентной вязкости. Этот коэффициент имеет ту же размерность, что и обычный динамический коэффициент вязкости μ при ламинарном движении, но отличается от него тем, что не является свойством жидкости, а зависит от интенсивности турбулентного перемешивания.

Различные полуэмпирические теории турбулентности отличаются использованием различных выражений для турбулентной вязкости . Наиболее распространена из них теория Л. Прандтля.

Согласно этой теории на различных расстояниях от стенки величины μ и имеют различные значения. Вдали от стенки градиенты скорости малы и, следовательно, вязкостные напряжения значительно меньше турбулентных . И наоборот, вблизи стенок преобладают вязкостные напряжения. На этом основании поток разделяется на две области: «ламинарный гидродинамический пограничный слой» («ламинарный подслой») у стенок, где движение ламинарное и оно формируется исключительно под действием сил вязкости и «турбулентное ядро», где влиянием вязкости можно пренебречь.

Для величины касательного напряжения в ядре потока принимается выражение

.

Для установления связи между и осредненными скоростями движения Л. Прандтль исходил из следующей схемы пульсационного движения в осредненном плоскопараллельном турбулентном потоке (рис. 6.15).

В турбулентном потоке возникают жидкие комки (моли). Каждый из таких комков обладает собственной скоростью и движется на протяжении некоторого расстояния l в поперечном направлении в виде неразрывного целого с сохранением составляющей скорости u вдоль оси x.

После того как жидкий комок (моль) пройдет некоторое расстояние l, он попадает в другой слой жидкости, где целиком смешивается с этим слоем и приобретает скорость этого слоя.

Величину пути l, пройденного молем в поперечном направлении вплоть до потери им его индивидуальных особенностей, Прандтль назвал путем перемешивания.

Предположим, что такой моль жидкости перешел из слоя 2 в слой 1
(см. рис.6.15). Так как в слое 2 моль в среднем во времени имел скорость

,

а в слое 1 скорость равна , то естественно предположить, что возникающая в слое 1 пульсация

, (6.12)

т.е. величина пульсации равна привнесенному в слой возмущению скорости.

Величину поперечной пульсации u¢ Прандтль принимает пропорциональной продольной пульсации u¢

, (6.13)

где k – коэффициент пропорциональности.

Так как продольная пульсация возникает благодаря поперечной, то естественно положить, что u¢ и u¢ пропорциональны (если u¢ = 0, то и u¢ = 0, чем больше u¢, тем больше и продольные пульсации u¢ ).

Рис.6.15

 

Кроме того, u¢ и u¢ разного знака. Действительно, положительная пульсация u¢ приводит к отрицательной пульсации u¢, так как моль переходит от слоя с меньшей скоростью в слой с большей скоростью. И наоборот, отрицательная пульсация u¢ вызывает положительную пульсацию u¢, так как жидкость переходит из верхнего слоя с большей скоростью в нижний.

Из формулы (6.13) с учетом (6.12) следует

.

Тогда турбулентное напряжение можно представить в виде

или

.

Здесь коэффициент пропорциональности k внесен в величину l, где l по-прежнему характеризует путь молярного перемешивания, но с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, хотя мы и избавились от пульсационных добавок, но при этом появилась новая функция l (путь перемешивания), которая должна находиться из опыта эмпирически. Поэтому и теория Л.Прандтля названа полуэмпирической.

По аналогии с молекулярной вязкостью вводят понятие динамического коэффициента турбулентной вязкости m_т. Формулу для можно записать в виде

.

В дальнейшем для простоты знак осреднения над величинами писать не будем, т.е. будем иметь дело только с осредненными величинами. Тогда

,

где - динамический коэффициент турбулентной вязкости (коэффициент турбулентного обмена).

Можно ввести кинематический коэффициент турбулентной вязкости

.

Тогда суммарное касательное напряжение от молекулярного и молярно-турбулентного трения будет

,

где m_т не является физической постоянной жидкости, а есть функция ее движения – скорости u.

Как показывает опыт, коэффициент m_т резко меняется по сечению трубы от нуля у стенки (так как там нет перемешивания) до некоторого максимума на расстоянии 0, 5 r₀ трубы и до некоторого минимума на оси трубы. В области развитого турбулентного движения m_T значительно больше величины m. В связи с этим всюду в потоке, за исключением области, непосредственно прилегающей к стенке, вязкими напряжениями по сравнению с турбулентными можно пренебречь.

Эпюра касательных напряжений в турбулентном потоке в круглой трубе имеет вид, показанный на рис.6.16.

 

 

Рис.6.16

 

§ 6.16. Логарифмический закон распределения скоростей
в круглой трубе

На рис. 6.17 даны эпюры скорости ламинарного (1) и турбулентного (2) потоков при одинаковых расходах в круглой цилиндрической трубе. В ламинарном гидродинамическом пограничном слое турбулентного потока (d_л ) имеет место линейный закон изменения скорости, а в турбулентном ядре
(d_т ) – логарифмический закон. В ламинарном потоке закон изменения скорости параболический.

 

Рис. 6.17

Выведем закон распределения скорости в круглой трубе для турбулентного потока вблизи стенки, за исключением ламинарного пограничного слоя (d_л ). При турбулентном движении инерционное касательное напряжение определяется по формуле (пренебрегая напряжением от молекулярной вязкости)

где l – длина пути перемешивания при переходе жидкости из одного слоя в

другой.

Примем следующие допущения:

1) касательное напряжение по всему поперечному сечению потока одинаково и равно касательному напряжению на стенке ;

2) длина пути перемешивания пропорциональна расстоянию от стенки

,

где c - коэффициент пропорциональности, определяемый из опыта.

С учетом принятых допущений формула для t_н примет вид

или

.

Известно, что

,

где - динамическая скорость.

Тогда

.

Отсюда

.

Интегрируя, получим

. (6.14)

Следовательно, в области турбулентного потока около стенки скорость изменяется по логарифмическому закону (кривая 2 на рис. 6.17).

Опытом установлено, что при соответствующем выборе постоянной c эта формула может быть распространена на все живое сечение трубы, за исключением ламинарного слоя, где скорость изменяется по линейному закону.

Так как формулу (6.14) можно распространить на все живое сечение трубы, то определим постоянную C из того условия, что при , .

Тогда

. (6.15)

Вычитая из (6.15) выражение (6.14), получим

.

Или, переходя к десятичным логарифмам и подставляя c=0, 4 (для гладких труб), получим

. (6.16)

Разность называется дефицитом скорости, а выражение в левой части - относительным дефицитом. Таким образом, относительный дефицит скорости является функцией только безразмерного расстояния .

Установим соотношение между средней и максимальной скоростью. Пусть при некотором значении y_ср скорость жидкости равна средней скорости u_ср.

Тогда можно записать

.

Вследствие того что относительный дефицит скорости есть всегда одна и та же функция , то и средняя ордината должна пересекать кривую

всегда в одной и той же точке с абсциссой , т.е. должно быть

.

Cледовательно,

. (6.17)

Расчеты и эксперимент показывают, что можно принять

. (6.18)

Формулы (6.16) и (6.18) позволяют производить построение эпюр скоростей в турбулентном ядре потока.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: Я.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter Мой Мир LiveJournal

Популярное:

1. AVC достигают макс. величины при этом объеме
2. B. Термин «спасение» в Новом Завете
3. Challenge to Arbitrator, Expert, or Interpreter
4. Chapter 7 Part 2 / Глава 7 часть 2
5. CПИСОК ТЕМ ДЛЯ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ
6. Cущностные характеристики техники
7. Cущность и свойства товара в трудовой теории стоимости
8. E) Воспитание сознательного отношения, склонности к труду как основной жизненной потребности путем включения личности в активную трудовую деятельность.
9. E) Методический совет, предметные методические объединения, проблемный семинар, единый методический день.
10. E) Потребности общества и личности.
11. E) Способ взаимосвязанной деятельности педагога и учащихся, при помощи которого достигается усвоение знаний, умений и навыков, развитие познавательных процессов, личных качеств учащихся.
12. Economy, economics, economic, economical, economize