Устойчивость систем регулирования

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

Всякая АСР, которая подвергается внешнему воздействию, отклоняется от заданного ей закона движения. При этом регулятор стремится вернуть систему к этому движению. В результате под влиянием воздействий, с одной стороны, и восстанавливающего действия регулятора, с другой, возникает переходный процесс.

В этой ситуации возможны три случая:

1) система регулирования не может восстановить требуемого движения после его нарушения и действительное движение системы будет все дальше удалятся от требуемого. Такой переходный процесс называется расходящимся, а система – неустойчивой.

2) система регулирования после нарушения движения воздействиями с течением времени возвращается к заданному движению с точностью, отвечающей статической неравномерности (ошибки) системы регулирования. Такой переходный процесс будет сходящимся, а система – устойчивой.

3) система регулирования после нарушения равновестного режима получает дополнительно к заданному движению еще и установившееся периодическое движение, которое представляет собой незатухающие колебания. Такой переходный процесс называется незатухающим колебательным, а система находящейся на границе устойчивости.

Движение большинства реальных АСР описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые для упрощения исследования АСР могут быть линеаризированы. На их основе составляется дифференциальное уравнение замкнутой системы с регулируемой величиной в качестве переменной

, (5-1)

которое представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение, характеризующее динамические свойства системы при наличии в ней внешних воздействий.

Решение этого уравнения можно представить в виде двух составляющих.

(5-2)

описывающих свободные и вынужденные колебания системы, при этом определяется неснимающимся воздействием, приложенным к АСР.

Для получения решения уравнения (5-1) достаточно к какому-либо частному решению прибавить общее решение однородного с ним уравнения, т.е. уравнения (5-1) в котором .

Его характеристическое уравнение в операторной форме имеет вид:

, (5.3)

где - корни характеристического уравнения.

Оно получается, если приравнять нулю собственный оператор – оператор левой части неоднородного дифференциального уравнения . Для замкнутой системы при отсутствии внешнего воздействия характеристическое уравнение может быть получено по передаточной функции системы

(5.4)

При исследованиях устойчивости динамической системы в уравнение движения не вводится внешнее воздействие , а рассматриваются собственные колебания системы относительно состояния установившегося движения.

Такое исследование принято называть исследованием в малом, в отличие от исследования в большом, когда анализируется поведение системы при достаточно больших отклонениях регулируемой величины от заданного значения.

Решению задач об устойчивости систем посвящено большое количество трудов многих выдающихся ученых, среди которых первое место по праву принадлежит русскому математику Александру Михайловичу Ляпунову, создавшего общий метод решения задач об устойчивости.

5.1 Теорема Ляпунова.

А.М. Ляпунов при исследовании устойчивости динамических систем пришел к следующим выводам относительно законности использования линеаризованных дифференциальных уравнений для суждения об устойчивости действительной системы в малом.

1) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то действительная система будет устойчива. При этом никакие отброшенные при линеаризации уравнения члены второй и высших степеней отклонения регулируемого параметра не могут изменить устойчивость системы.

2) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то действительная система будет неустойчива. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены второй и высших степеней отклонения регулируемого параметра не могут придать устойчивость системе.

3) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или пару чисто мнимых сопряженных корней, то поведение действительной системы не может определяться ее линеаризованным уравнением. В этих случаях отброшенные при линеаризации уравнения члены вторых и высших степеней отклонения регулируемого параметра коренным образом изменяют описание динамического процесса реальной системы.

Следует отметить, что приведенная теорема Ляпунова об устойчивости линеаризованных систем справедлива только тогда, когда у нелинейной системы функция, выражающая зависимость регулируемой величины от переменных параметров имеет конечные, непрерывные и однозначные производные в окрестности точки, относительно которой исследуется процесс регулирования.

Если динамика системы точно описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, то устойчивость в малом обеспечивает неограниченную устойчивость системы, т.е. устойчивость в большом независимо от величины отклонения.

Относительно систем, движение которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, этого сказать нельзя. Возможны случаи, когда система, устойчивая в малом, оказывается неустойчивой в большом. Поэтому методы исследования устойчивости нелинейных систем существенно отличается от методов исследования линейных систем.

Если отложить в прямоугольных координатах плоскости корней по оси абсцисс вещественные части, а по оси ординат – коэффициенты при мнимых частях корней характеристического уравнения, то в этой плоскости каждому корню будет соответствовать точка. Вещественные корни определяют точки на оси абсцисс, а пара сопряженных комплексных корней две точки, расположенные симметрично относительно оси абсцисс.

Рис 5.1 Плоскость корней характеристического уравнения.

1) , 2) , 3)

Таким образом, для того чтобы действительная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения линеаризованной системы находились в комплексной плоскости корней слева от мнимой оси. Если хотя бы одна точка лежит на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости. Следовательно, для суждения об устойчивости АСР нет необходимости вычислять все корни характеристического уравнения, достаточно лишь выяснить, все ли они расположены слева от мнимой оси.

Однако уравнения степени выше четвертой не решаются в радикалах. Таким образом, возникает необходимость иметь признаки, которые позволили бы без решения характеристического уравнения, во-первых, проверить устойчивость конкретной АСР, а во-вторых, определили бы необходимые и достаточные условия для того чтобы переходные процессы в АСР протекали устойчиво.

При исследовании устойчивости возможны две постановки задачи для определения устойчивости системы. Первая сводится к тому, что если известны все заданные конструктивные и настроечные параметры системы, то нужно определить будет ли система устойчива. Решение этой задачи достигается с помощью использования критериев устойчивости.

Вторая постановка предполагает известными некоторые параметры, например, конструктивные. Решение этой задачи сводится к определению пределов изменения остальных параметров, например, настроечных, обеспечивающих устойчивость исследуемой системы, что достигается построение областей устойчивости.

5.2 Алгебраические критерии устойчивости.

Использование этих критериев позволяет проверить устойчивость системы, не прибегая к решению характеристического уравнения и графическим построениям, ограничиваясь лишь алгебраическими вычислениями над коэффициентами характеристического уравнения.

Критерий устойчивости Рауса.

Критерий, сформулированный английским математиком Раусом в 1875 г (1877 г) представляет собой правило, определяющее ряд последовательных алгебраических операций, необходимых для решения задачи поверки устойчивости системы.

Допустим, что характеристическое уравнение исследуемой системы будет

(5-4)

Раус предложил использовать схему составления таблицы в виде таблицы коэффициентов. Таблица 5.1

Таблица коэффициентов.

№ строки	№ столбца





	…	…	…	…

Метод составления таблицы:

Первая строка - составляется из коэффициентов характеристического уравнения с четными индексами, начиная с .

Вторая строка – из коэффициентов с нечетными индексами

Третья строка получается перекрестным умножением соответствующих коэффициентов первых двух строк делением на элемент первого столбца предыдущей строки.

Все последующие строки получают аналогичным способом из двух предыдущих строк

После построения приведенной выше таблицы критерий Рауса может быть сформулирован следующим образом. Для того чтобы АСР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, были отличны от нуля и положительны при условии, что коэффициент при старшем члене уравнения больше нуля. Критерий Рауса особенно удобен в тех случаях, когда коэффициенты характеристического уравнения заданы численно.

Критерий Гурвица. Иная форма критерия устойчивости, наиболее распространенная в технической литературе, известна под названием критерия Гурвица, который сформулирован швейцарским ученным Гурвицем в 1895г. Последний основан на построении специальных определителей характеристического уравнения, называемых определителями или матрицами Гурвица.

Пусть дано характеристическое уравнение замкнутой системы, с постоянными коэффициентами

, (5-5)

у которого коэффициент при старшем члене .

Определители Гурвица будут:

; ; , …

и в общем виде

, матрица размером n× n-матрица Гурвица.

При составлении определителя (матрицы) Гурвица n-го порядка руководствуются следующим правилом:

1) выписывают по главной диагонали все коэффициенты от до в порядке возрастания индексов;

2) дополняют все столбцы определителя вверх от диагонали коэффициентами, с последовательно возрастающими, а вниз с последовательно убывающими индексами;

3) наибольший порядок определителя Гурвица равен степени характеристического уравнения;

4) на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше нуля, ставятся нули.

5) Последний определитель

Критерий Гурвица формируется следующим образом: для того чтобы САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители , , …, , составленные по коэффициентам характеристического уравнения системы до -го порядка включительно, были положительны, при этом должно быть .

При соблюдении критерия положительности коэффициентов характеристического уравнения проверка последнего определителя Гурвица необязательна т.к. при всегда следует, что .

Алгебраические критерии дают весьма простой способ исследования устойчивости систем в тех случаях, когда степень характеристического уравнения высока (например, n> 5) и коэффициенты его заданы численно.

Для систем, характеристические уравнения которых имеют низкую степень (n≤ 4), условия устойчивости можно записать в общей форме в виде простых буквенных неравенств.

Условия устойчивости для систем с характеристическим уравнениями 2-ой, 3-ей и 4-ой степеней, вытекающие из критериев Рауса и Гурвица.

, ; ; .

, ; ; - основное неравенство,

дополнительное неравенство .

, ; ; ; ; - основное неравенство

дополнительное неравенство

При число подобных дополнительных неравенств возрастает.

Если приравнять n к нулю, то получим уравнение границ устойчивости

;

Первая граница соответствует наличию у характеристического уравнения нулевого корня ( ). Вторая граница соответствует наличию у характеристического уравнения чисто мнимых корней ( ).

5.3 Критерий устойчивости Михайлова.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-ой степени с действительными коэффициентами.

(5-7)

где , , …, - корни этого уравнения.

На комплексной плоскости корней (Рис. 5.1) каждому корню соответствует вполне определенная точка или две точки для сопряженных корней.

Рис 5.1 Комплексная плоскость корней.

Теоретически каждый корень изображается в виде вектора, проведенного из начало координат в точке . Длина этого вектора равна модулю комплексного числа , а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, аргументу или фазе комплексного числа – .

Изменение положения корня в плоскости комплексного переменного ведет к изменению аргумента- .

Положив в характеристическом уравнении , получим изменение аргумента вектора – .

Если все корни характеристического уравнения находятся слева от мнимой оси, то согласно теореме Ляпунова система будет устойчива, а при изменении частот вектор будет поворачиваться в положительном направлении – против часовой стрелки. При изменении частот от -∞ до ∞ изменение вектора будет равно ,

где - степень характеристического уравнения , определяющая число его корней, - наибольшее изменение аргумента .

При изменении от -∞ до ∞ вектор на плоскости комплексного переменного описывает своим концом кривую, которая называется характеристической кривой или годографом вектора .

Уравнение характеристической кривой можно найти, подставив в многочлен .

(5-8)

Отделяя в нем действительную часть от мнимой, получим

(5-9)

где - действительная часть,

- мнимая часть.

Действительная часть является четной функцией , все степени ее членов четные, начиная с нулевой (первый член ), а мнимая - нечетной функцией .

Поэтому для отрицательных значений

(5-10)

Следовательно, характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси, поэтому при построении характеристической кривой можно ограничится лишь положительными от 0 до ∞, тогда угол поворота вектора , т.е. изменение аргумента , уменьшится вдвое.

Следовательно, критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом: замкнутая АСР будет устойчива, если при возрастании от 0 до ∞ вектор повернется в положительном направлении на угол , где - степень характеристического уравнения или, что то же самое, если характеристическая кривая при изменении от 0 до ∞, начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении n-квадрантов комплексной плоскости.

В такой форме критерий устойчивости был предложен А.В.Михайловым в 1938 г.

Характеристическая кривая при изменении от 0 до ∞ будет обходить n квадрантов в положительном положении, если уравнения

;

имеют все действительные и перемежающиеся корни, т.е. между каждыми двумя соседними корнями уравнения лежит один корень уравнения и наоборот, между двумя соседними корнями уравнения лежит один корень уравнения .

Система будет находится на границе устойчивости, если характеристическая кривая при некотором значении пересекает начало координат, обходя при этом (n-1) квадрантов.(Рис. 5.2)

Рис 5.2 Характеристические кривые.

а) устойчивые системы б)неустойчивая система в) система на границе устойчивости.

Свойства годографа вектора :

1) Годограф представляет кривую, всегда симметричную относительно действительной оси комплексной плоскости. Это следует из того, что - функция четная, а - нечетная функция переменной .

2) При годограф пересекает действительную ось в точке, отстоящей от начало координат на расстоянии, равном значению -свободного члена характеристического уравнения.

3) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с действительной осью равно , при - четном и , при нечетном, где - степень характеристического уравнения.

Значение , отвечающее точкам пересечения годографа с вещественной осью, определяются из уравнения .

4) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с мнимой осью равно при - четном и при нечетном. Значение , отвечающее точкам пересечения годографа с мнимой осью, определяются из уравнения .

Методы построения годографа Михайлова. 1) Характеристическая кривая строится последовательно, задаваясь значениями частот от 0 до ∞ в уравнения и .

2) Метод контрольных точек, при котором построение характеристической кривой не обязательно. Вычисления ограничиваются нахождением только точек пересечения годографа с осями. Расположения этих точек позволяет судить об устойчивости системы. Их находят из уравнений и и они должны быть перемежающимися.

5.4 Частотный критерий устойчивости Найквиста - Михайлова.

Частотный критерий устойчивости, первоначально разработанный в 1932 г. американским ученным Найквистом для исследования усилителей с отрицательной обратной связью, был обоснован, обобщен и впервые применен в теории автоматического регулирования А.В. Михайловым.

Частотный критерий связывает свойства разомкнутой системы со свойствами замкнутой системы.

Физический смысл критерия устойчивости Найквиста-Михайлова состоит в том, что он позволяет по годографу АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим функцию , связанную с соотношением:

(5-11)

Знаменатель этой функции представляет собой характеристическую кривую разомкнутой системы, а числитель – характеристическую кривую замкнутой системы.

Предположим, что разомкнутая система устойчива. Устойчивость разомкнутой системы можно установить без вычислений непосредственно по составу и характеристикам ее звеньев. Например, разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и не содержащая положительных обратных связей, заведомо устойчива.

Если разомкнутая система устойчива, то изменение аргумента при возрастании от 0 до ∞ будет равно

где - степень характеристического уравнения разомкнутой системы, совпадающая со степенью характеристического уравнения замкнутой системы. Это следует из того, что степень числителя передаточной функции в реальных системах не может превосходить степень знаменателя.

Предположим, что характеристическое уравнение замкнутой системы имеет корней в правой части плоскости корней и, следовательно, корней в левой части комплексной плоскости корней . (Рис. 5.3)

Рис. 5.3 Плоскость корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Тогда при возрастании от 0 до ∞ изменение аргумента вектор будет равно

. (5-13)

Изменение аргумента функции при возрастании от 0 до ∞ равно разности изменений аргумента - числителя функции и -ее знаменателя, т.е. .

Система устойчива, если корни ее характеристического уравнения в правой части комплексной плоскости корней отсутствуют, т.е. , тогда ,

Это означает, что вектор функции на комплексной плоскости опишет угол, равный нулю лишь в том случае, если годограф вектора не охватывает начало координат комплексной плоскости. (Рис. 5.4, а)

Рис. 5.4 Амплитудо-фазовые характеристики.

Но от годографа легко перейти к годографу , т.е. к АФХ разомкнутой системы, которая представляет ту же кривую, но сдвинутую на единицу влево. В комплексной плоскости начало координат находится в точке , а конец вектора функции при изменении скользит по АФХ разомкнутой системы. (Рис. 5.4, б)

Отсюда следует формулировка частотного критерия устойчивости: исследуемая замкнутая система, устойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчива, если при изменении от 0 до ∞ АФХ разомкнутой системы в плоскости комплексного переменного не охватывает точку с координатами .

При исследовании многоконтурных систем или систем, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может оказаться неустойчивой. Естественно, что для такой системы возможность экспериментального определения АФХ исключена, однако ее можно вычислить по уравнениям системы или передаточной функции и сделать заключение об устойчивости замкнутой системы.

В этом случае изменение аргумента при возрастании от 0 до ∞ будет равно

, (5-14)

0 ≤ ≤ ∞

где - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы , лежащих в правой части плоскости корней.

Если замкнутая система устойчива, то изменение аргумента будет

(5-15)

0 ≤ ≤ ∞

Тогда (5-16)

0 ≤ ≤ ∞ 0 ≤ ≤ ∞ 0 ≤ ≤ ∞

Для этого случая частотный критерий устойчивости формулируется следующим образом.

Исследуемая система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в разомкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами в положительном направлении (против часовой стрелки) раз.

Для астатических систем регулирования, содержащих, в частности, интегрирующие звенья, АФХ при обращается в бесконечность. Для подобных разомкнутых систем характеристическое уравнение имеет корни, лежащие в начале координат плоскости корней, т.е. корни равные нулю. (Рис. 5.5)

Рис. 5.5 Амплитудо-фазовая характеристика астатических систем регулирования..

В общем случае критерий устойивости Найквиста-Михайлова формируется так.

Замкнутая система будет устойчива, если разность между положительными и отрицательными переходами АФХ разомкнутой системы отрезка действительной оси (-∞, -1) равна раз, где - число корней с положительной вещественной частью характеристического уравнения разомкнутой системы.

5.5 Выделение областей устойчивости системы.

Критерии устойчивости позволяют определить устойчива ли система регулирования, если все ее параметры - конструктивные, настроечные заданы. Однако динамические характеристики объекта регулирования и настройки регулятора в процессе эксплуатации могут изменяться в определенных пределах. В связи с этим возникает задача определения совокупности значений параметров, при которых система регулирования заданной структуры остается устойчивой.

Предположим, что в характеристическом уравнении системы регулирования

(5-17)

все коэффициенты, за исключением двух, например и заданы. Построим плоскость с прямоугольными координатами и . В квадранте и произвольно выбираем точку, для которой соответствуют коэффициенты и . Подставив их значения в характеристическое уравнение системы, определим корни этого уравнения. Если все найденные корни уравнения расположены слева от мнимой оси на комплексной плоскости корней, то это будет означать что система устойчива. Точку, выбранную на плоскости с координатами и обозначим (-).

Выберем произвольно вторую точку с координатами и и, подставив в характеристическое уравнение значения этих коэффициентов, определим его корни. Если хотя бы один корень будет расположен справа от мнимой оси плоскости корней, то обозначим эту точку знаком (+), т.е. система регулирования при этом будет неустойчива.

Если при и хотя бы одна пара корней лежит на мнимой оси комплексной плоскости корней, обозначим точку на плоскости коэффициентов нулем, что означает границу устойчивости системы регулирования.

Повторяя последовательно этот процесс, дадим коэффициентам и все возможные значения, отметим точки на плоскости знаками (-), (+), 0 и проведем кривую через точки отмеченные нулем.

Рис. 5.6 Плоскость коэффициентов.

Эта кривая будет границей устойчивости в плоскости двух коэффициентов и характеристического уравнения системы регулирования. (Рис. 5.6)

Часть плоскости, включающая совокупность точек со знаком (-) называется областью устойчивости, а часть плоскости со знаком (+) – областью неустойчивости.

Область устойчивости в плоскости двух параметров системы была впервые выделена И.А. Вышнеградским в 1877 г., профессором С-Петербургского технологического института.

Аналогично весь процесс может быть проделан для любых других коэффициентов характеристического уравнения системы, например, для трех, и в этом случае получают объем устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения.

Работы, в которых завершена разработка приемов выделения областей устойчивости и изложена общая точка зрения на раз<

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 Следующая ⇒