Свободные гармонические колебания. Маятники

Основные понятия

Колебания – движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Свободные колебания – колебания, совершающиеся за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Амплитуда колебаний – максимальное значение колеблющейся величины.

Начальная фаза колебаний – состояние колебательной системы в начальный момент времени.

Фаза колебаний – величина, определяющая значение колеблющейся величины в данный момент времени.

Период колебаний – время, за которое система совершает одно полное колебание.

Частота колебаний – число колебаний системы в единицу времени.

Пружинный маятник – груз, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебаний под действием упругой силы.

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Свойство взаимозаменяемости – если ось подвеса перенести в центр качаний, то период колебаний маятника не изменится.

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Приведенная длина физического маятника – длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний:	.
Скорость колебания материальной точки:	.
Ускорение колеблющейся материальной точки:	.
Связь ускорения и смещения колеблющейся материальной точки:	.
Период колебаний:	.
Частота колебаний:	.
Полная механическая энергия колеблющейся системы:	.
Уравнение колебаний гармонического осциллятора в дифференциальной форме:	.
Уравнение колебаний пружинного маятника в дифференциальной форме:	.
Циклическая частота и период колебаний пружинного маятника:	.
Уравнение колебаний физического маятника в дифференциальной форме:	.
Циклическая частота и период колебаний физического маятника:
Приведенная длина физического маятника:	.
Период малых колебаний математического маятника:	.

Примеры решения задач

Задача 4.1

Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 5 см, если в 1 минуту совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45^о.

Дано:

Найти

Решение Уравнение гармонического колебания имеет вид:

, где А – амплитуда колебаний;

– циклическая частота колебаний;

– начальная фаза колебаний. Циклическую частоту можно найти, зная период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание:

Подставляя значения, находим, что

Тогда уравнение заданного колебания имеет вид:

Ответ:

Задача 4.2

Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

Дано:

Найти

Решение Для того чтобы найти максимальные значения скорости и ускорения, необходимо составить уравнения гармонических колебаний смещения, скорости и ускорения. Уравнение гармонического колебания материальной точки

можно составить исходя из условия задачи:

Тогда данное гармоническое колебание описывается уравнением

Скорость – это первая производная от смещения по времени, то есть:

где очевидно, что произведение амплитуды А и циклической частоты представляет собой максимальную скорость. Тогда

Ускорение связано со смещением материальной точки уравнением

где величина – это максимальное ускорение.

Подставляя значения, находим

Ответ:

Задача 4.3

К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебаний груза равна 1 Дж, найти коэффициент упругости пружины. Амплитуда колебаний 5 см.

Дано:

Найти

Решение Максимальная кинетическая энергия колеблющегося тела

(1)

Уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид:

где циклическая частота колебаний маятника

(2)

Из формулы (1) выражаем циклическую частоту

(3)

Приравниваем (2) и (3):

Получили формулу, позволяющую рассчитать коэффициент упругости пружины:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Амплитуда гармонических колебаний 50 мм, период 4 с и начальная фаза . Написать уравнение этого колебания, найти смещение колеблющейся точки от положения равновесия в начальный момент времени и через 1, 5 с после начала колебаний.

2. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости? .

3. К пружине подвешен груз массой 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы 10 Н растягивается на 1, 5 см, определить период вертикальных колебаний груза.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются гармоническими? Запишите уравнение гармонических колебаний.

2. Что такое амплитуда колебаний, период, частота, фаза, начальная фаза?

3. Получите формулу полной энергии колеблющейся материальной точки.

4. Дайте определения математического, пружинного и физического маятников.

5. Что такое приведенная длина физического маятника?

6. Сформулируйте свойство взаимозаменяемости для физического маятника.

7. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т. Найти время, за которое смещение частицы изменяется от 0 до ; от до А.

8. Как, зная амплитуду смещения и амплитуду скорости, найти частоту гармонического колебания?

9. Чему равна при гармоническом колебании работа квазиупругой силы за время, равное периоду колебаний?

10. При какой длине период колебаний математического маятника будет равен 1 с? Чему равен период колебаний математического маятника длины 1 м?

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒