Кинематика поступательного движения материальной точки

Основные понятия

Кинематика – раздел механики, который изучает движение тел без рассмотрения причин, его вызывающих.

Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Траектория – геометрическое место точек, последовательно занимаемых движущимся телом.

Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Степени свободы – число независимых координат, полностью определяющих положение материальной точки в пространстве.

Скорость – первая производная перемещения по времени.

Ускорение – быстрота изменения скорости по модулю и по направлению, первая производная скорости по времени или вторая производная перемещения по времени.

Годограф скоростей – кривая, которую описывает в пространстве конец вектора скорости.

Нормальная составляющая ускорения (нормальное ускорение) – показывает быстроту изменения скорости по направлению, направлена перпендикулярно к касательной к траектории движения, т.е. вдоль главной нормали.

Тангенциальная составляющая ускорения (тангенциальное ускорение) – показывает быстроту изменения скорости по модулю, направлена по касательной к траектории движения ( , если и , если ).

Основные формулы

Уравнение движения материальной точки:	.
Кинематические уравнения движения материальной точки:
Вектор перемещения материальной точки:	.
Средняя скорость:	.
Мгновенная скорость:	.
Среднее ускорение:	.
Мгновенное ускорение:	.
Нормальное ускорение:	.
Тангенциальное ускорение:	.
Полное ускорение материальной точки:
Радиус-вектор материальной точки:	.
Уравнение мгновенной скорости:
Уравнение мгновенного ускорения:
Модули радиус-вектора, вектора мгновенной скорости и вектора ускорения:
Модуль мгновенной скорости:	.
Длина пути, пройденного материальной точкой за промежуток времени :	.

Примеры решения задач

Задача 1.1

Записать кинематические уравнения движения точек для случаев, представ ленных на рисунках.

Рис.1.1

Решение

Общий вид кинематического уравнения движения материальной точки:

Рассмотрим случай движения, представленный на рис. 1.1, а.

Материальная точка А движется вдоль оси Ох, т.е. движение одномерное, поэтому оно будет описываться одним кинематическим уравнением (проекцией уравнения на координатную ось Ох):

На рисунке точка А лежит левее точки отсчета О, следовательно, начальная координата будет отрицательной: ; вектор начальной скорости и вектор ускорения совпадают по направлению с осью Ох, поэтому их проекции будут положительными и равными длине самих векторов, так как и параллельны оси Ох, то

Искомое уравнение имеет вид:

На рис.1.1, в материальная точка движется в плоскости Оху, т.е. имеет две степени свободы, поэтому ее движение будет описываться системой, состоящей из двух кинематических уравнений (проекций кинематического уравнения на оси Ох и Оу).

В проекции на ось Ох получаем:

(проекции векторов скорости и ускорения равны нулю, так как эти векторы перпендикулярны координатной оси); в проекции на ось Оу:

Искомая система уравнений имеет вид:

Случаи, представленные на рис. 1.1, б и 1.1, г рассмотреть самостоятельно.

Задача 1.2

Определить модуль скорости материальной точки в момент времени 2 с, если радиус-вектор точки изменяется по закону: , м.

Дано:

;

. Найти

Решение Общий вид уравнения радиус-вектора в декартовой системе координат:

. Сравнив данное уравнение с уравнением, представленным в условии задачи, получаем составляющие радиус-вектора

то есть, проекции на координатные оси x, y и z равны

Найдем составляющие вектора скорости, т.е. проекции вектора скорости на координатные оси Ох и Оу:

Вектор скорости в декартовой системе координат имеет вид:

м/с.

Модуль вектора скорости определяется по формуле:

После подстановки получаем

м/с.

Ответ: м/с.

Задача 1.3

Точка движется в плоскости так, что ее движение описывается уравнениями Найти путь, пройденный материальной точкой за 1 секунду, модуль скорости в этот момент времени. Записать уравнение траектории движения материальной точки, уравнения радиус-вектора, вектора скорости и вектора ускорения.

Дано:

Найти

Решение: Запишем уравнение траектории движения материальной точки. Заданы уравнения изменения двух координат точки от времени, следовательно, тело движется в плоскости Оху. Необходимо записать уравнение, связывающее между собой координаты, для этого выразим из уравнения

время и подставим во второе уравнение:

Построим график траектории движения материальной точки, для этого составим таблицу:

Таблица:

		0, 5

		0, 25

Рис. 1.2

Запишем уравнение радиус-вектора:

Скорость – первая производная радиус-вектора по времени, т.е.

Ускорение – вторая производная радиус-вектора по времени или первая производная скорости по времени:

Найдем модуль вектора скорости:

Подставив значение времени, получаем

Найдем путь, пройденный материальной точкой за 1 секунду, т.е. длину кривой АВ:

или

Производная уравнения траектории

Координата материальной точки за 1 с движения по оси Ох изменяется от 1 м до 3 м, что было определено в таблице и отражено на графике траектории, тогда

т.е. интеграл привели к табличному виду:

Отсюда получаем

Ответ:

Задача 1.4

Из одной точки в один и тот же момент времени под углом к горизонту бросают два камня со скоростями . Какое расстояние будет между камнями в тот момент, когда первый из них достигнет наивысшей точки подъема?

Дано:

Найти

Решение Сделаем чертеж к данной задаче. Исходя из построений (рис.1.3) расстояние между двумя камнями

, где

Запишем кинематические уравнения движения материальной точки в векторном виде:

Рис.1.3

Рассмотрим движение первого камня, брошенного со скоростью под углом к горизонту. Запишем проекции кинематических уравнений на координатные оси:

Первый камень находится в точке наивысшего подъема (по условию). Вектор скорости, направленный по касательной к траектории движения, будет параллелен оси Оx и его проекция на ось Оy будет равна нулю:

Тогда время движения камней

Координаты первого камня в данный момент времени:

Рассмотрим движение второго камня, брошенного со скоростью под углом к горизонту.

Запишем проекции кинематических уравнений на координатные оси:

Координаты второго камня в момент времени :

Найдем расстояния L и H:

Тогда расстояние х между камнями в момент времени t

Ответ: х = .

Задача 1.5

Тело брошено горизонтально со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.

Дано: Найти	Решение Сделаем чертеж к данной задаче (рис.1.4).
Рис.1.4	Кинематические уравнения движения материальной точки:

Запишем проекции этих уравнений на координатные оси:

Для определения радиуса кривизны траектории воспользуемся формулой нормального ускорения:

где – это мгновенная скорость материальной точки через 2 с после начала движения. Нормальное ускорение можно найти, используя чертеж (см. рис.1.3):

где – угол между векторами нормального ускорения и ускорения свободного падения (полного ускорения тела).

Из построений следует, что

Радиус кривизны траектории

Подставляя значения: .

Ответ: R = 102, 4 м.

Задачи для самостоятельного решения

1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям и . В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент времени (0, 24 с; 5, 11 м/с; 0, 29 м/с).

2. Материальная точка движется по закону Определить вектор скорости и вектор ускорения.

3. Тело, движущееся равноускоренно, проходит участок пути 60 м за 10 с, при этом скорость на данном участке возросла в 7 раз. Определить ускорение тела .

4. При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через 5 с. Принимая скорость звука, равной 330 м/с, определить глубину колодца (107 м).

5. Точка движется в плоскости так, что ее движение описывается уравнениями . Найти путь, пройденный материальной точкой за 2 секунды после начала движения, модуль скорости в этот момент времени. Записать уравнение траектории материальной точки, уравнения радиус-вектора, вектора скорости и вектора ускорения.

6. С башни высотой 25 м брошен камень со скоростью 15 м/с под углом 30^о к горизонту. Какое время камень будет в движении? На каком расстоянии от основания башни он упадет на землю? Какова будет скорость камня в момент удара о землю? (3, 15 с; 40.94 м; 26, 7 м/с).

Контрольные вопросы

1. Как направлен вектор мгновенной скорости относительно траектории?

2. Как направлены тангенциальное и нормальное ускорения относительно радиуса кривизны траектории?

3. Определите вид движения, при котором выполняются условия: и .

4. При каком движении ?

5. Начертите графики при равноускоренном движении без начальной скорости.

6. Сколько степеней свободы имеет материальная точка при движении в пространстве, при движении на плоскости?

7. Как направлен вектор ускорения к траектории движения, к годографу скоростей?

8. Радиус-вектор точки изменяется: а) только по модулю, б) только по направлению. Что можно сказать о траектории?

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒