Сложение гармонических колебаний. Затухающие колебания

Основные понятия

Биения – периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Время релаксации – промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в «e» раз.

Декремент затуханий – отношение амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

Основные формулы

Амплитуда результирующего колебания при сложении двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:	.
Фаза результирующего колебания при сложении двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:	.
Уравнение биений:	.
Амплитуда и период биений:	.
Уравнение результирующего колебания при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях:	.
Уравнение затухающих колебаний в дифференциальной форме:	.
Коэффициент затухания:	.
Уравнение затухающих колебаний (решение дифференциального уравнения):	.
Амплитуда и циклическая частота затухающих колебаний:	.
Время релаксации:	.
Декремент затухания:	.
Логарифмический декремент затухания:	.
Добротность колебательной системы:	.

Примеры решения задач

Задача 4.4

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях Найти траекторию движения точки и вычертить ее с соблюдением масштаба.

Дано: Найти .

Решение Преобразуем уравнение движения точки по оси y, используя тригонометрические формулы приведения: По условию , тогда

Получили уравнение прямой, т.е. в данном случае траекторией движения точки будет отрезок прямой с .

Изобразим траекторию на чертеже:

Рис.4.1

Ответ:

Задача 4.5

Уравнение затухающих колебаний дано в виде: , м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени 0 и Т.

Дано: , м; Найти

Решение Скорость – это производная от смещения материальной точки по времени, тогда

Получили уравнение изменения скорости колеблющейся точки. Определим время периода колебаний. Так как период колебаний

,

а исходя из уравнения смещения

,

то

Находим значения скорости в заданные моменты времени:

Ответ:

Задача 4.6

Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника 1 м.

 

Дано: Найти

Решение Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону , (1) где – коэффициент затуханий, связанный с логарифмическим декрементом затуханий формулой . (2)

Подставляя (2) в (1), получаем .

Прологарифмируем полученное выражение

и выразим из него логарифмический декремент затуханий

. (3)

Период колебаний математического маятника может быть найден из формулы:

. (4)

Подставляя (4) в (3), получаем окончательное выражение, по которому можно рассчитать логарифмический декремент затуханий математического маятника:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

2. Построить график затухающего колебания, уравнение которого дано в виде: , м.

3. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0, 2. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

4. За 16, 1 с амплитуда колебаний уменьшается в 5 раз. Найти коэффициент затухания. За какое время амплитуда уменьшится в е раз?

5. За время, за которое система совершает 100 колебаний, амплитуда уменьшается в 5 раз. Найти добротность системы.

Контрольные вопросы

1. Что получается в результате сложения двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты?

2. Что такое биения? Как они получаются?

3. При каком условии при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний траекторией движения точки будет окружность?

4. Запишите уравнение затухающих колебаний.

5. Выведите формулу добротности пружинного маятника.

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Популярное:

1. Автогенераторы гармонических колебаний
2. Автогенераторы гармонических колебаний: структурная схема, условия самовозбуждения.
3. Виды экономических циклов и причины циклических колебаний.
4. Генераторы гармонических колебаний
5. Дефекты бумаги: колебания массы м. кв., пыление и выщипывание, разносторонность, воздушные пузыри и пятна. Их причины
6. Механические колебания. Вибрации
7. Модели временных рядов с сезонными колебаниями
8. Написать уравнение гармонического колебания, амплитуда которого 5 см, период 4с, начальная фаза равна 0,5с.
9. Определить морфологические особенности внешней формы исследуемой фигуры (пропорции, телосложение, осанку, форму верхних и нижних конечностей).
10. Основы экономики / Макроэкономика / Экономические колебания
11. П.13. Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями.
12. П.18. Сложение и вычитание дробей