Законы сохранения в механике

Основные понятия

Изолированная система – механическая система тел, на которую не действуют внешние силы.

Консервативные силы – потенциальные силы, не зависящие от времени, направленные в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Потенциальное поле – стационарное поле, в котором работа сил не зависит от траектории движения материальной точки, а определяется лишь ее начальным и конечным положениями.

Гироскопические силы – силы, которые зависят от скоростей материальных точек, на которые они действуют, и направленные перпендикулярно этим скоростям.

Диссипативные силы – силы, зависящие от скоростей материальных точек и совершающие отрицательную суммарную работу.

Кинетическая энергия – энергия механического движения системы материальных точек, полностью определяющаяся значениями масс и скоростей точек данной системы.

Потенциальная энергия – энергия взаимного расположения материальных точек, определяемая характером сил взаимодействия между ними.

Закон сохранения механической энергии – в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения и превращения механической энергии – энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

Удар (соударение) – столкновение двух или более тел, при котором воздействие длится очень короткий промежуток времени.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никакой деформации и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара вновь превращается в кинетическую энергию.

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь далее как единое целое.

Основные формулы

Закон сохранения импульса:
Связь вектора силы с потенциальной энергией поля:
Кинетическая энергия материальной точки:	.
Потенциальная энергия тела на высоте h относительного нулевого уровня:	.
Потенциальная энергия упругодеформированного тела:	.
Полная механическая энергия системы:	.
Закон сохранения импульса для абсолютно упругого удара:	.
Закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара:	.
Скорость тела после абсолютно упругого удара:	.
Потери кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе:	.

Примеры решения задач

Задача 2.5

Конькобежец массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 2 кг со скоростью 10 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0, 02?

Дано:

Найти

Решение Выполним чертеж к данной задаче:

Рис.2.4

Для нахождения пути, пройденного конькобежцем после броска камня, воспользуемся формулой, исключающей время движения, то есть

где v = 0, так как движение равнозамедленное (a < 0) и конькобежец остановится под действием силы трения; – начальная скорость конькобежца после броска камня.

Тогда формула приобретает вид:

. (1)

Для нахождения ускорения составляем по второму закону Ньютона для конькобежца уравнение в векторном виде:

Делаем проекции данного уравнения на координатные оси:

Так как , то, выражая из проекции на ось Оy силу реакции опоры N, получаем, что . Подставляем полученную силу трения в проекцию уравнения на ось Ох:

Закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара в векторной форме имеет вид:

. (2)

До броска конькобежец и камень покоились, то есть, v = 0, после броска они движутся в противоположные стороны. Таким образом, уравнение (2) преобразуется:

Подставляем полученное выражение скорости в формулу (1):

После подстановки получаем

Ответ:

Задача 2.6

Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Землей обладает импульсом и кинетической энергией 500 Дж. Определить с какой высоты падало тело, массу тела.

Дано:

Найти

Решение Импульс материальной точки определяется по формуле:

. (1)

Кинетическая энергия движущегося тела

. (2)

Преобразуем формулу (2):

(3)

Тело, падая без начальной скорости с некоторой высоты, в наивысшей точке в начальный момент времени обладает потенциальной энергией , а в момент удара о Землю – кинетической энергией, определяемой формулой (2). По закону сохранения, полная механическая энергия замкнутой системы остается неизменной.

Так как по условию силами трения пренебрегаем, то данную систему можно считать замкнутой, тогда

Подставляем в последнее выражение скорость, полученную в формуле (3):

Из формулы (1) следует, что

заменяя скорость формулой (3), получаем выражение вида

Подставляем числовые значения:

Ответ:

Задача 2.7

Шар массой m, подвешенный на нити длиной L, отклоняют на угол 90^о от вертикали и отпускают. Определить силу максимального натяжения нити.

Дано: Найти	Решение Делаем рисунок к данной задаче (рис.2.5). Из точки А в точку равновесия В шарик движется по дуге окружности радиуса L, следовательно, шарик движется с центростремительным ускорением. В точке В нить испытывает максимальное натяжение, поэтому составляем уравнение в соответствие со вторым законом Ньютона для данной точки:
Рис.2.5	Запишем проекцию этого уравнения на ось Оу, учитывая, что и ,

Отсюда получаем формулу для расчета максимальной силы натяжения нити:

. (1)

По закону сохранения полная механическая энергия замкнутой системы не изменяется, то есть

где – потенциальная энергия шарика в точке А; – кинетическая энергия шарика в момент прохождения точки В.

Приравнивая эти выражения, получаем для данного случая закон сохранения энергии:

. (2)

Подставляем выражение (2) в формулу (1):

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Пуля массой 15 г, летящая горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной 1 м и массой 1, 5 кг и застревает в нем. Маятник в результате этого отклоняется на угол 30^о. Определить скорость пули (163, 7 м/с).

2. Тело массой 5 кг равномерно движется по окружности со скоростью 3 м/с. Какую часть окружности прошло тело, если его импульс изменился на (1/6 часть).

3. В результате взрыва камень разлетается на три части. Два куска летят относительно друг друга под прямым углом: кусок массой 1 кг – со скоростью 12 м/с, а кусок массой 2 кг – со скоростью 8 м/с. Третий кусок отлетает со скоростью 40 м/с. Какова его масса и в каком направлении он летит? (0, 5 кг).

4. Тело массой 2 кг соскальзывает без трения с наклонной плоскости, переходящей в желоб в форме «мертвой петли». Высота плоскости 20 м, радиус петли 2 м. Определить вес тела в верхней точке петли и скорость тела в нижней точке петли (304 Н; 20 м/с).

5. Камень скользит сначала вниз по наклонной плоскости с углом наклона 30^о, а затем по горизонтальной поверхности. Определить коэффициент трения, если камень проходит по горизонтальной поверхности такое же расстояние, как и по наклонной плоскости (0, 3).

6. Шар массы , движущийся со скоростью , ударяет о неподвижный шар массы . После абсолютно упругого столкновения шары летят со скоростями и , под углами и по отношению к первоначальному направлению движения первого шара. При каком соотношении масс шаров возможны случаи: а) ; б) ; в) ; г) ? Возможен ли случай ? При каких значениях масс шаров и угла первый шар поле удара покоится? Найти угол в случае, если: а) и ; б) и . Сравнить угол разлета шаров (то есть ) в этих случаях.

Контрольные вопросы

1. Как изменяется полная механическая энергия шарика массой 1 кг при падении его с высоты 10 м?

2. Два абсолютно неупругих шара двигались навстречу друг другу. Чему равна их скорость после центрально соударения, если масса первого шара втрое меньше, а скорость втрое больше, чем второго шара?

3. В каком направлении будут двигаться шарики после неупругого столкновения, если до удара они двигались навстречу друг другу?

4. Потенциальная энергия свободно падающего тела в средней точке пути равна 16 Дж. Чему равна кинетическая энергия тела в момент падения на Землю?

5. Два шара претерпевают центральный абсолютно неупругий удар. До удара шар массы неподвижен, шар массы движется с некоторой скоростью. Какая часть первоначальной кинетической энергии теряется при ударе, если: а) ; б) ; в) ?

Работа. Мощность

Основные понятия

Механическая работа – физическая величина, численно равная скалярному произведению векторов силы и перемещения.

Мощность – работа, совершаемая в единицу времени.

Коэффициент полезного действия – характеристика эффективности использования работы механизма (машины).

Основные формулы

Механическая работа:	.
Мгновенная мощность:	.
Мощность, движущейся материальной точки:	.
Коэффициент полезного действия:	.
Работа по изменению скорости тела:	.
Работа консервативных сил:	.

Примеры решения задач

Задача 2.8

Тело массой m начинает движение под действием силы , Н. Найти мощность, развиваемую силой в момент времени .

Дано:

Найти N.

Решение Мгновенная мощность – скалярное произведение вектора скорости и вектора силы:

Векторы

в декартовой системе координат имеют вид:

Скалярное произведение двух векторов, учитывая, что проекция вектора силы на ось Oz равна нулю:

Вектор силы связан с вектором скорости основным уравнением динамики поступательного движения (второй закон Ньютона):

отсюда .

Определяем вид уравнения вектора скорости:

Проекции векторов силы и скорости на координатные оси

Мгновенная мощность

Ответ:

Задача 2.9

Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально симметричном поле, имеет вид: , где – произвольные постоянные. Найти силу, действующую на частицу. Имеется ли у этой частицы положение устойчивого равновесия? Построить потенциальную кривую.

Дано:

Найти

Решение Сила – градиент потенциальной энергии, взятый с противоположным знаком, то есть

где

– орт-вектор силы.

Найдем производную от заданной функции потенциальной энергии:

Частица находится в состоянии устойчивого равновесия, если векторная сумма сил, действующих на нее, равна нулю, тогда получаем

Частица находится в положении устойчивого равновесия на расстоянии от точки, создающей поле.

Для построения графика потенциальной кривой необходимо провести исследование функции .

1. Находим область определения: и , то есть

2. Находим точки пересечения с координатными осями:

2.1. , следовательно, пересечений с осью ординат нет.

2.2. при .

Точка пересечения с осью абсцисс .

2.3. Укажем интервалы знакопостоянства (рис. 2.6):

Рис. 2.6

3. Найдем асимптоты графика функции:

а) в точке разрыва :

следовательно, – вертикальная асимптота.

б)

следовательно, наклонная асимптота вырождается в горизонтальную .

4. Найдем точки экстремума.

4.1 Находим производную функции и приравниваем ее к нулю:

4.2.Определяем интервалы монотонности функции (рис. 2.7):

Рис. 2.7

4.3. Найдем значение функции в точке :

Таким образом, точка М является точкой минимума функции, так как производная в ней меняет знак с минуса на плюс.

5. Найдем точку перегиба функции.

5.1. Находим вторую производную от потенциальной энергии и приравниваем ее к нулю:

5.2. Определяем интервалы выпуклости функции и ее значение в точке перегиба (рис. 2.8):

Рис. 2.8

На интервале функция выпуклая вниз, на интервале – выпуклая вверх.

5.3. Находим значение функции в точке :

Точка Р является точкой перегиба.

6. Строим график потенциальной кривой (рис. 2.9):

Рис. 2.9

Задачи для самостоятельного решения

1. Для тела массой m, находящегося в гравитационном поле Земли над ее поверхностью, вывести зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до центра Земли. Считать известными радиус Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли .

2. Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил, описывается законом , где А – некоторая постоянная; – единичные векторы координатных осей. Определить потенциальную энергию тела в этом поле.

3. Тело массой 3 кг движется со скоростью 2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе (3 Дж).

4. Груз массой 80 кг поднимают вдоль наклонной плоскости с ускорением 1 . Длина наклонной плоскости 3 м, угол ее наклона к горизонту равен 30^о, а коэффициент трения 0, 15. Определить работу, совершаемую подъемным устройством, его среднюю мощность, его максимальную мощность. Начальная скорость груза равна нулю (1, 72 Дж; 702 Вт; 1, 41 кВт).

Контрольные вопросы

1. Что называют механической работой?

2. Что такое мощность? В каких единицах измеряют мощность?

3. Что показывает коэффициент полезного действия?

4. Какие силы называют консервативными? Чему равна работа консервативных сил?

5. Как рассчитать работу по изменению скорости тела?

6. В каком случае совершается отрицательная работа?

7. Чему равна работа силы тяжести при движении по горизонтальной поверхности? Почему?

8. Что такое положение устойчивого равновесия, неустойчивого равновесия? Сформулируйте принцип минимума потенциальной энергии.

Глава 3

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒