Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера

Основные понятия

Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения – физическая величина, численно равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

Теорема Штейнера – момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент силы относительно неподвижной точки – физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора данной точки, к которой приложен вектор силы, и вектора силы.

Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на ось вектора момента силы, определенного относительно точки, лежащей на данной оси.

Основные формулы

Момент инерции твердого тела:	.
Теорема Штейнера:	.
Момент инерции цилиндра (диска):	.
Момент инерции полого цилиндра (кольца):	.
Момент инерции шара:	.
Момент инерции тонкостенной сферы:	.
Момент инерции тонкого стержня (ось проходит перпендикулярно стержню через его середину):	.
Момент инерции тонкого стержня (ось проходит перпендикулярно стержню через один из его концов):	.
Кинетическая энергия вращения:	.
Момент силы относительно неподвижной точки:
Основной закон динамики вращения твердого тела:

Примеры решения задач

Задача 3.1

К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию тела через 4 с после начала действия силы.

Дано: Сплошной диск

Найти

Решение

Рис.3.1

Кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле:

, (1) где

– момент инерции диска.

К диску приложена постоянная касательная сила.

Момент этой силы, исходя из основного закона динамики вращения твердого тела, равен

. (2)

Но момент силы можно определить, зная плечо этой силы:

. (3)

Приравнивая формулы (2) и (3), получаем выражение для нахождения угловой скорости вращения диска:

;

Подставляем момент инерции диска и угловую скорость в формулу (1):

После подстановки данных получаем

Ответ:

Задача 3.2

Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению , рад. Определить момент сил через 3 с после начала вращения.

Дано: Шар

Найти

Решение Основной закон динамики вращения твердого тела позволяет найти момент сил:

. (1) Момент инерции шара:

. (2)

Угловое ускорение – это вторая производная угла поворота по времени:

(3)

Подставляем формулы (2) и (3) в уравнение (1):

Найдем значение момента сил:

Ответ:

Задача 3.3

Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузики массой 100 г и 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузики, если масса блока 400 г? Трением пренебречь.

Дано: Найти	Решение Сделаем рисунок к данной задаче, учитывая, что блок в виде диска может вращаться вокруг оси.
Рис.3.2	Составляем уравнения по второму закону Ньютона для двух грузиков, движущихся поступательно и уравнение по основному закону динамики вращения твердого тела для блока:

Делаем проекции первых двух уравнений системы на координатную ось Оy:

(1)

Так как шнур нерастяжимый, то грузы будут двигаться с одинаковым ускорением, т.е. , также, в соответствие с третьим законом Ньютона, будут равны силы натяжения шнуров:

Момент сил, приложенных к блоку:

Приравниваем правые части полученных уравнений:

(2)

Силы натяжения шнуров выразим из системы (1) и подставляем в уравнение (2):

Перегруппировав полученное выражение, можно выразить ускорение:

Ответ:

Задача 3.4

Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.

Дано:

. Найти

Решение Шар, катясь по горизонтальной поверхности, совершает одновременно поступательное и вращательное движение, следовательно, его полная кинетическая энергия складывается из двух составляющих:

, (1)

где – момент инерции шара, относительно оси, проходящей через центр его масс, а – угловая скорость вращения шара.

Подставляем формулы момента инерции и угловой скорости в уравнение (1):

(2)

Из полученного выражения (2) выделяем произведение , которое позволяет найти долю кинетической энергии, приходящейся на поступательное движение шара:

(3)

Зная кинетическую энергию поступательного движения, найти долю кинетической энергии вращательного движения легко:

(4)

Подставляем исходные значения в формулы (3) и (4):

Ответ:

Задача 3.5

Найти момент инерции однородного тела, имеющего форму диска, в котором сделан квадратный вырез. Одна из вершин выреза совпадает с центром диска. Радиус диска 20 см, сторона квадрата 10 см, масса тела 5 кг. Имеется в виду момент инерции относительно оси, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр.

Дано: Найти	Решение Сделаем рисунок диска, имеющего квадратный вырез. Момент инерции сплошного диска, относительно оси перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр его масс равен .
Рис.3.3	Так как диск имеет вырез, то его момент инерции уменьшается на величину момента инерции квадратного параллелепипеда относительно заданной оси z, т.е. , (1) где – момент инерции квадратного параллелепипеда, найденный с учетом теоремы Штейнера, относительно оси вращения z.

Формула (1) с учетом записанных моментов инерции приобретает вид:

Учтем, что b – это половина диагонали квадрата, т.е. :

. (2)

В условии задана масса изделия, т.е. диска с вырезом:

Выразим из полученной формулы общую для диска и параллелепипеда высоту:

. (3)

Определяем массы диска и квадратного параллелепипеда через заданную массу изделия, подставляя вместо высоты выражение (3):

Подставляем полученные массы в формулу (2):

Полученное выражение позволяет найти момент инерции изделия:

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Диаметр диска 20 см, масса 800 г. Определить момент инерции диска, относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска ( ).

2. Вычислить момент инерции проволочного прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по всей длине проволоки с линейной плотностью 0, 1 кг/м (0, 144 ).

3. Два тела массами 0, 25 кг и 0, 15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок. Блок укреплен на краю стола, по поверхности которого скользит тело массой 0, 25 кг. С каким ускорением движутся тела, если коэффициент трения тела о поверхность стола равен 0, 2? Масса блока 0, 1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь (1, 96 ).

4. Рассчитать момент инерции тонкого диска радиусом 10 см с вырезом радиусом 5 см относительно оси z, указанной на рис 3.4. Масса изделия 1 кг.

Рис. 3.4

Контрольные вопросы

1. Сколько значений момента инерции может иметь данное тело?

2. На тело с моментом инерции 2 действует вращающий момент 8 . С каким угловым ускорением вращается тело?

3. Во сколько раз момент инерции диска относительно оси симметрии, перпендикулярной основанию, меньше его момента инерции относительно оси, проходящей через край диска перпендикулярно основанию?

4. На какую высоту вкатится по наклонной плоскости шар, если у основании этой плоскости скорость его поступательного движения 4 м/с?

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒