Кинематика вращательного движения материальной точки

Основные понятия

Вращательное движение – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Период – время, за которое материальная точка совершает полный оборот.

Частота – число оборотов, совершаемых материальной точкой в единицу времени.

Угловая скорость – первая производная угла поворота по времени.

Круговая (циклическая) частота – не изменяющаяся с течением времени угловая скорость .

Угловое ускорение – первая производная угловой скорости по времени или вторая производная угла поворота по времени.

Основные формулы
Угловая скорость:	.
Угловое ускорение:	.
Циклическая частота:	.
Связь угловой и линейной скоростей:	.
Нормальное ускорение:	.
Тангенциальное ускорение:	.
Полное ускорение:	.

Примеры решения задач

Задача 1.6

Диск радиусом 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что . Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения полное ускорение, число оборотов, сделанных диском.

Дано:

Найти

Решение Полное ускорение материальной точки, вращающейся относительно неподвижной оси, можно определить, зная угловую скорость и угловое ускорение через 1 с после начала движения:

, где

Угловое ускорение – это первая производная угловой скорости по времени, т.е. ,

тогда

Угол поворота материальной точки относительно неподвижной оси

Угловая скорость связана с углом поворота соотношением , отсюда

Найдем число оборотов, сделанных материальной точкой за 1 с:

Ответ:

Задача 1.7

Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 2 м/с. Определить частоту вращения диска.

Дано:

Найти

Решение Период вращения материальной точки и частота вращения – величины обратные друг другу, связаны с угловой скоростью зависимостью:

. (1)

Для всех точек твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, угловая скорость будет одинаковой, т.е.

(2)

Угловая и линейная скорости связаны формулой: , тогда .

Угловые скорости точек, лежащих на ободе диска, и на расстоянии ближе к оси, могут быть выражены в виде:

Принимая условие (2), запишем

Решаем данное уравнение относительно R:

Угловая скорость

Тогда по формуле (1) число оборотов в единицу времени

Подставляем значения:

Ответ:

Задача 1.8

Маховик начал вращаться равноускоренно и за 10 секунд достиг частоты вращения 300 . Определить угловое ускорение маховика и число оборотов, которое он сделал за это время.

Дано:

Найти

Решение Кинематическое уравнение зависимости угла поворота от времени выражается формулой:

Так как маховик начинает вращаться из состояния покоя, то начальная угловая скорость

и тогда

. (1)

Число оборотов, сделанных телом при вращении, связано с углом поворота формулой:

. (2)

Приравнивая формулы (1) и (2), получаем выражение для нахождения числа оборотов, сделанных маховиком.

. (3)

Запишем уравнение зависимости угловой скорости от времени:

С учетом условия и связи угловой скорости с частой вращения тела , получаем формулу , откуда выражаем угловое ускорение

. (4)

Подставляем формулу (4) в (3):

С учетом исходных данных, получаем

;

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Шкив диаметром 20 см делает 300 оборотов за 3 минуты. Определить период вращения, угловую и линейную скорости точки на ободе шкива (0, 6 с; 10, 5 рад/с; 1, 05 м/с).

2. Материальная точка массой 20 г движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия материальной точки оказалась равной 6, 3 мДж. Определить тангенциальное ускорение .

3. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения 50 оборотов в секунду, после выключения тока, сделав 500 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение якоря .

4. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За 2 минуты оно изменило частоту вращения от 240 до 60 . Определите угловое ускорение колеса; число полных оборотов, сделанных колесом за это время (0, 157 ; 300).

5. Диск радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением . Определите для точек на ободе колеса нормальное ускорение через 2 секунды после начала вращения; тангенциальное ускорение для этого же момента времени; угол поворота, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол 45^о (230 ; 4, 8 ; 2, 67 рад).

Контрольные вопросы

1. Чему равно отношение линейной и угловой скоростей, если материальная точка движется по окружности?

2. Чему равно произведение периода вращения материальной точки на частоту вращения?

3. Часы каждые сутки отстают на 2 минуты. Чему равно угловое ускорение минутной стрелки?

Глава 2

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒