КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ВВЕДЕНИЕ

Механика [гр. mechanike – наука о машинах, искусство построения машин] – наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени положения тел или частиц в пространстве. В природе – это движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, а в технике – движения различных летательных аппаратов и транспортных средств, частей двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов.

В классической механике, в основе которой лежат законы Ньютона, рассматривается движение тел, совершаемых со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

Механика – одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие неразрывно связаны с развитием производительных сил общества. Первые дошедшие до нас трактаты по механике, где рассматриваются элементарные задачи статики и свойства простейших машин, появились в Древней Греции. Научные основы статики (теория рычага, сложение параллельных сил, учение о центре тяжести, начала гидростатики) разработал Архимед (3 в. до н.э.). Существенный вклад в дальнейшие исследования (установление правила параллелограмма сил, развитие учения о моменте сил) принадлежит Леонардо да Винчи (15 в.).

Периодом создания научных основ динамики, а с ней и всей механики явился 17 в. Большое влияние на развитие механики оказало учение польского астронома Н. Коперника (16 в.) и открытие немецким астрономом И. Кеплером законов движения планет (начало 17 в.). Основоположником динамики является итальянский ученый Г. Галилей, который дал первое верное решение задачи о движении тела под действием силы (закон равноускоренного падения); его исследования привели к открытию закона инерции и принципа относительности классической механики; им же положено начало теории колебаний и науке о сопротивлении материалов.

Создание основ классической механики завершается трудами И. Ньютона, сформулировавшего основные законы механики и открывшего закон всемирного тяготения. Создание основ классической механики было бы немыслимо без одновременного развития физики и математики.

Большой вклад в развитие механики внесли русские и советские механики от личного токаря Петра I, президента российской академии Нартова А.К. и механиков – самоучек Тульского оружейного завода до целой армии современных ученых и инженеров, стоящих на передовых позициях мирового технического прогресса.

Из классической механики выделились и развились отдельные направления, ее обогащают электроника, гидравлика, пневматика. Механика работает и будет долго работать на блага людей.

Глава 1

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Законы Ньютона

Основные понятия

Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Инерциальная система отсчета (ИСО) – система, которая покоится или движется равномерно и прямолинейно относительно основной инерциальной системы отсчета, называемой гелиоцентрической.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия между телами.

Инертность – стремление тела сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Масса – мера инертности тела.

Силы упругости – силы, возникающие при деформации тел и направленные в сторону, противоположную перемещению частиц тела при деформации.

Внешнее трение – механическое сопротивление, возникающее между различными соприкасающимися телами при их относительном перемещении.

Деформация – изменение формы и объема тела под действием внешних сил.

Упругие деформации – деформации, полностью исчезающие после прекращения действия внешних сил.

Пластические деформации – деформации, не исчезающие после прекращения действия внешних сил.

I закон Ньютона – существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела. Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

II закон Ньютона – ускорение, приобретаемой материальной точкой, пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки; скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

III закон Ньютона – всякое действие материальных точек друг на друга имеет характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Закон всемирного тяготения – тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Вес тела – сила, с которой тело, вследствие притяжения к Земле, действует на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес.

Основные формулы

Принцип суперпозиции полей:	.
Модуль суммы двух векторов (равнодействующая сила):	.
Второй закон Ньютона:	.
Основной закон динамики поступательного движения материальной точки:	.
Вектор силы в декартовой системе координат:
Закон Гука:	.
Механическое напряжение:	.
Сила трения скольжения:	.
Закон всемирного тяготения:	.
Ускорение свободного падения:	.

Примеры решения задач

Методические указания к решению задач

1. Изобразить на рисунке все взаимодействующие тела.

2. Обозначить силы, действующие на каждое тело.

3. Выбрать инерциальную систему отсчета, обозначив координатные оси на рисунке.

4. Записать для каждого тела векторное уравнение в соответствии со вторым законом Ньютона.

5. Записать проекции этих уравнений на координатные оси.

6. Решить систему уравнений в общем виде.

Задача 2.1

Поезд после прекращения тяги электровоза остановился через 1 минуту. Коэффициент трения колес о рельсы равен 0, 1. С какой скоростью шел поезд?

Дано:

Найти

Решение Для нахождения начальной скорости воспользуемся уравнением мгновенной скорости:

, так как движение равнозамедленное, то в проекции на координатную ось Ох уравнение приобретет вид:

Поезд останавливается через 1 минуту, поэтому конечная скорость равна нулю, т.е. , отсюда

(1)

Сделаем рисунок к задаче (рис.2.1), схематически обозначив на нем поезд, за инерциальную систему отсчета выберем Землю.

Запишем векторное уравнение второго закона Ньютона для данной задачи:

Рис.2.1

Делаем проекции этого уравнения на координатные оси:

Отсюда следует, что

Учитывая данное условие, получаем ускорение

(2)

Подставим уравнение (2) в формулу (1):

Окончательно после подстановки данных получаем значение начальной скорости поезда:

Ответ:

Задача 2.2

Груз массой 4 кг связан нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с грузом массой 1 кг и движется вниз по наклонной плоскости. Найти ускорения грузов, если угол наклона плоскости к горизонту 30^о, коэффициент трения между грузом и плоскостью 0, 1. Трением в блоке пренебречь.

Дано:

Найти

Решение Сделаем рисунок к условию данной задачи и запишем векторные уравнения для двух взаимодействующих тел:

(1)

Так как нить, которой связаны тела по условию задачи нерастяжимая, и блок неподвижен, то

Рис.2.2

Делаем проекции уравнений системы (1) на координатные оси:

(2)

Сила трения

С учетом этого перепишем первое и третье уравнения системы (2):

(3)

Складывая почленно уравнения системы (3), получаем:

(4)

Из уравнения (4) выражаем ускорение и подставляем исходные данные:

Ответ:

Задача 2.3

Груз массой 4 кг подвешен на пружине жесткостью 1000 Н/м. Определить дополнительную деформацию пружину, если ее подвесить вместе с грузом к потолку лифта, движущегося вверх с ускорением

Дано: Найти	Решение Делаем рисунок к данной задаче. Запишем векторное уравнение второго закона Ньютона для тела, изображенного на рисунке: (1)
Рис.2.3	Рассмотрим два случая. 1. Лифт неподвижен. В этом случае проекция уравнения (1) на ось Oy имеет вид: (2)

По закону Гука модуль силы упругости пропорционален деформации тела, то есть

, (3)

где – растяжение пружины под действием подвешенного к ней груза.

Из уравнений (2) и (3) получаем, что

2. При движении лифта с ускорением вверх уравнение (1) приобретет вид:

(4)

где – сила упругости, возникающая при дополнительной деформации вследствие ускоренного движения лифта.

Из уравнения (4) следует, что , тогда

Подставив числовые значения, получаем значение дополнительной деформации:

Ответ:

Задача 2.4

Каким должен быть радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, чтобы он все время находился над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе?

Дано:

Найти

Решение Сила взаимодействия спутника и Земли определяется законом всемирного тяготения:

(1)

Для спутника эта сила является центростремительной:

(2)

Приравнивая формулы (1) и (2), получаем радиус орбиты спутника:

(3)

Период обращения тела определяется по формуле:

откуда выражаем скорость спутника

и подставляем в формулу (3):

Окончательно получаем:

Ответ: км.

Задачи для самостоятельного решения

1. Наклонная плоскость, образующая угол 30^о с плоскостью горизонта, имеет длину 3 м. Тело, двигаясь с верхней точки, соскользнуло с этой плоскости за 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость (0, 4).

2. На нити, выдерживающей натяжение 10 Н, поднимают груз массой 0, 5 кг из состояния покоя вертикально вверх. Считая движение равноускоренным и силу сопротивления в среднем равной 2 Н, найти предельную высоту, на которую можно поднять груз за 2 с так, чтобы нить не порвалась (12, 4 м).

3. Полусферическая чаша радиуса 20 см вращается вокруг вертикальной оси с частотой . В чаше находится маленький шарик, вращающийся вместе с ней. Определить угол, образованный радиусом, проведенным в точку нахождения шарика, с вертикалью (72, 7^о).

4. Две гири массами 3 кг и 7 кг висят на концах нити, перекинутой через неподвижный блок. Легкая гиря находится на 2 м ниже тяжелой. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через какое время они окажутся на одной высоте? (0, 7 с).

5. На экваторе некоторой планеты тела весят в 2 раза меньше, чем на полюсе. Определить среднюю плотность вещества планеты, если период ее вращения вокруг собственной оси равен 2 часа 27, 5 минут (3600 ).

6. По выпуклому мосту, радиус кривизны которого 90 м, со скоростью 54 км/ч движется автомобиль массой 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α , автомобиль давит с силой 14, 4 кН. Определить угол α (14^о).

7. Через блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массами 2 кг и 0, 5 кг. Вся система находится в лифте, поднимающемся с ускорением 2, 1 , направленным вверх. Считая нить и блок невесомыми, определите силу давления блока на ось (19 Н).

Контрольные вопросы

1. Чему равен угол между силами, возникающими при взаимодействии двух тел?

2. Два человека тянут веревку в противоположные стороны с силой 40 Н каждый. Разорвется ли веревка, если она выдерживает силу натяжения только до 48 Н?

3. Две силы 30 мН и 50 мН приложены к материальной точке массой 0, 1 кг. Угол между векторами сил равен 60^о. Определить модуль ускорения материальной точки.

4. Лошадь равномерно тянет сани. Рассмотрите взаимодействие трех тел: лошади, саней и Земли. Начертите векторы сил, действующих на каждое тело в отдельности, и установите связь между ними.

5. Планета движется по круговой орбите. Найти связь между радиусом орбиты и периодом обращения планеты вокруг Солнца.

6. Найти силу, с которой притягиваются друг к другу Земля и Солнце; Луна и Земля. Сравнить эти силы.

Работа. Мощность

Основные понятия

Механическая работа – физическая величина, численно равная скалярному произведению векторов силы и перемещения.

Мощность – работа, совершаемая в единицу времени.

Коэффициент полезного действия – характеристика эффективности использования работы механизма (машины).

Основные формулы

Механическая работа:	.
Мгновенная мощность:	.
Мощность, движущейся материальной точки:	.
Коэффициент полезного действия:	.
Работа по изменению скорости тела:	.
Работа консервативных сил:	.

Примеры решения задач

Задача 2.8

Тело массой m начинает движение под действием силы , Н. Найти мощность, развиваемую силой в момент времени .

Дано:

Найти N.

Решение Мгновенная мощность – скалярное произведение вектора скорости и вектора силы:

Векторы

в декартовой системе координат имеют вид:

Скалярное произведение двух векторов, учитывая, что проекция вектора силы на ось Oz равна нулю:

Вектор силы связан с вектором скорости основным уравнением динамики поступательного движения (второй закон Ньютона):

отсюда .

Определяем вид уравнения вектора скорости:

Проекции векторов силы и скорости на координатные оси

Мгновенная мощность

Ответ:

Задача 2.9

Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально симметричном поле, имеет вид: , где – произвольные постоянные. Найти силу, действующую на частицу. Имеется ли у этой частицы положение устойчивого равновесия? Построить потенциальную кривую.

Дано:

Найти

Решение Сила – градиент потенциальной энергии, взятый с противоположным знаком, то есть

где

– орт-вектор силы.

Найдем производную от заданной функции потенциальной энергии:

Частица находится в состоянии устойчивого равновесия, если векторная сумма сил, действующих на нее, равна нулю, тогда получаем

Частица находится в положении устойчивого равновесия на расстоянии от точки, создающей поле.

Для построения графика потенциальной кривой необходимо провести исследование функции .

1. Находим область определения: и , то есть

2. Находим точки пересечения с координатными осями:

2.1. , следовательно, пересечений с осью ординат нет.

2.2. при .

Точка пересечения с осью абсцисс .

2.3. Укажем интервалы знакопостоянства (рис. 2.6):

Рис. 2.6

3. Найдем асимптоты графика функции:

а) в точке разрыва :

следовательно, – вертикальная асимптота.

б)

следовательно, наклонная асимптота вырождается в горизонтальную .

4. Найдем точки экстремума.

4.1 Находим производную функции и приравниваем ее к нулю:

4.2.Определяем интервалы монотонности функции (рис. 2.7):

Рис. 2.7

4.3. Найдем значение функции в точке :

Таким образом, точка М является точкой минимума функции, так как производная в ней меняет знак с минуса на плюс.

5. Найдем точку перегиба функции.

5.1. Находим вторую производную от потенциальной энергии и приравниваем ее к нулю:

5.2. Определяем интервалы выпуклости функции и ее значение в точке перегиба (рис. 2.8):

Рис. 2.8

На интервале функция выпуклая вниз, на интервале – выпуклая вверх.

5.3. Находим значение функции в точке :

Точка Р является точкой перегиба.

6. Строим график потенциальной кривой (рис. 2.9):

Рис. 2.9

Задачи для самостоятельного решения

1. Для тела массой m, находящегося в гравитационном поле Земли над ее поверхностью, вывести зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до центра Земли. Считать известными радиус Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли .

2. Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил, описывается законом , где А – некоторая постоянная; – единичные векторы координатных осей. Определить потенциальную энергию тела в этом поле.

3. Тело массой 3 кг движется со скоростью 2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе (3 Дж).

4. Груз массой 80 кг поднимают вдоль наклонной плоскости с ускорением 1 . Длина наклонной плоскости 3 м, угол ее наклона к горизонту равен 30^о, а коэффициент трения 0, 15. Определить работу, совершаемую подъемным устройством, его среднюю мощность, его максимальную мощность. Начальная скорость груза равна нулю (1, 72 Дж; 702 Вт; 1, 41 кВт).

Контрольные вопросы

1. Что называют механической работой?

2. Что такое мощность? В каких единицах измеряют мощность?

3. Что показывает коэффициент полезного действия?

4. Какие силы называют консервативными? Чему равна работа консервативных сил?

5. Как рассчитать работу по изменению скорости тела?

6. В каком случае совершается отрицательная работа?

7. Чему равна работа силы тяжести при движении по горизонтальной поверхности? Почему?

8. Что такое положение устойчивого равновесия, неустойчивого равновесия? Сформулируйте принцип минимума потенциальной энергии.

Глава 3

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒