ТОЧЕЧНАЯ И ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА.

СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОК

Общие положения

Статистические характеристики выборочной совокупности являются приближенными оценками независимых параметров генеральной совокупности. Оценка может быть представлена одним числом, точкой (точечная оценка) или некоторым интервалом (интервальная оценка), в котором с определенной вероятностью может находиться искомый параметр.

Обозначая ошибку выборочной средней как точечную оценку генеральной средней можно записать в виде .

Интервальной называют оценку, которая характеризуется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют такой интервал, который с заданной вероятностью покрывает оцениваемый параметр. Центр такого интервала – выборочная оценка точки, а пределы, или доверительные границы интервала определяются средней ошибкой и уровнем вероятности. Интервальная оценка является дальнейшим развитием точечной оценки.

В общем виде доверительный интервал для генеральной средней записывается как

, (1)

Или в более краткой форме

. (2)

Здесь – предельная ошибка выборочной средней при данном числе степеней свободы и принятом уровне значимости, а – критерий Стьюдента при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы.

Цель работы – провести оценку и сравнение двух выборок.

Порядок выполнения работы

Исходные данные для расчетов приведены в приложении 3.

Пример 1. При определении содержания белка в зерне получены следующие данные: Повторность опытов четырехкратная, т.е. . Требуется определить 95 %-ный и 99 %-ный доверительный интервалы для генеральной средней.

При числе степеней свободы равном имеем и – см. таблицу 1 приложения.

Найдем доверительные интервалы

95 %-ный

99 %-ный

Такая запись говорит о том, что с вероятностью 95% генеральная средняя содержания белка в зерне заключена в интервале 14, 16…15, 44% и с вероятностью 99% она находится в интервале 13, 63…15, 97%. Вероятность выйти за эти интервалы в первом случае составляет 5%, а во втором – 1% (уровень значимости).

Крайние точки интервала – начало и конец называются доверительными границами.

Интервальную оценку параметров распределения можно использовать для статистической проверки гипотез при сравнении выборочных средних.

Пример 2. Пусть, например, при числе повторностей получены средние их ошибки:

и

Необходимо определить, существенно ли различаются эти выборочные средние при 95 %-ном уровне вероятности или 5 %-ном уровне значимости, т.е. проверить нулевую гипотезу : Для 10 – 1 = 9 степеней свободы имеем и 95 %-ные доверительные интервалы равны:

Доверительные интервалы для генеральных средних перекрывают друг друга и следовательно, разность между выборочными средними нельзя переносить на генеральные средние и , так как она может быть равна нулю. Поэтому нулевая гипотеза не отвергается.

Величину, указывающую границу случайным предельным отклонением называют наименьшей существенной разностью. Ее сокращенно обозначают и определяют по соотношению:

. (3)

Здесь определяется при степеней свободы. В нашем примере имеем

10 +10 – 2=18 степеней свободы.

– ошибка разности средних. В теории статистики доказывается, что ошибка разности или суммы независимых средних арифметических выборок при одинаковом числе наблюдений определяется соотношением:

. (4)

Если фактическая разность между выборочными средним больше

, (5)

то гипотеза об отсутствии разницы отвергается и доказывается существенность разности.

Если выполняется условие:

, (6)

то нулевая гипотеза не отвергается и разность между выборочным средним статистически не доказывается.

Для рассмотренного выше примера имеем:

При степеней свободы критерий Стьюдента при 5 %-ном и 1 %-ном уровнях значимости соответственно равны – см. таблицу 1 приложения

и .

Отсюда

Величину определим по выражению (3)

;

.

Следовательно, разность между средними несущественна ни при 5 %-ном уровне значимости, ни при 1 %-ном.

Другим способом оценки существенности различий между и служит отношение разности к ее ошибке. Это отношение получило название критерия существенности разности.

.

Если – нулевая гипотеза опровергается, а если , то различия находятся в пределах случайных колебаний (различие между средними не доказывается).

В нашем примере:

и .

Таким образом, имеем

Следовательно, разность между и несущественна.

 

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №5

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вопрос – 130 Доказывание в ПАП. Предмет доказывания. Доказательства в производстве по делам об административных правонарушениях: понятие, виды и оценка.
2. Лесные сукцессии. Их причины, биологическая и хозяйственная оценка.
3. Точечная и дуговая эластичность спроса
4. Точечная,дуговая,перекрестная эластичность. Эластичность спроса по доходу.