|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
СПОСОБ ОБРАБОТКИ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ
Общие положения Первоначально данные исследований представляют в виде таблиц. Однако табличные данные не имеют наглядности и не могут быть использованы в математических моделях, описывающих той или иной процесс. Указанных недостатков лишены эмпирические формулы, отражающие с определенным уровнем достоверности зависимость между изучаемыми величинами. Этот процесс называется аппроксимацией. При аппроксимации опытных данных, прежде всего, наносят на координатную сетку опытные данные и затем через полученные точки проводят кривую так, чтобы она по возможности близко проходила от всех экспериментальных точек. Таким образом, первый этап математической обработки данных состоит в выборе формулы, графическое изображения которой согласуется в общих чертах с размещением экспериментальных точек на координатной сетке. Задачей дальнейшей математической обработки является определение числовых значений, входящих в формулу параметров. В большинстве случаев зависимость между переменными можно задать множеством эмпирических формул, и только глубокое знание физической сущности изучаемого процесса позволяет остановиться на одной из них. Метод подбора числовых значений, входящих в формулу параметров основан на принципе наименьших квадратов, суть которого состоит в том, что из множества возможных эмпирических зависимостей Впервые этот метод предложил Гаусс. Рассмотрим применение этого метода для эмпирических формул, описывающих различные формы зависимостей. Цель работы – изучить метод наименьших квадратов для обработки опытных данных. Порядок выполнения работы Исходные данные для расчётов приведены в приложении 7. Линейная функция Пусть дано n – точек с координатами
Таблица 1 – Экспериментальные данные в общем виде
Очевидно, что эмпирическую формулу нужно искать в виде линейной функции
Причём коэффициенты a и b нужно подобрать так, чтобы суммарное отклонение Задача нахождения минимального значения функции – есть классическая задача дифференциального исчисления. Ординате i -ой точки
Рисунок 1 – График линейной функции Отклонение находится по выражению
Сумма квадратов отклонений
Для нахождения экстремума функции двух переменных необходимо осуществить следующую последовательность операций. Найти частные производные функции S по переменным a и b для чего продифференцировать S по a и b
Приравнять их к нулю и решая систему уравнения, найти критические точки
или
Выражения (3) представляют собой систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b. Для составления нормальной системы удобно пользоваться дополненной таблицей 1. Прямая y = ax+b при найденных из системы (3) числовых значений Пример. Определить зависимость износа коренных шеек коленчатого вала двигателя Д-240 от наработки. Исходные данные приведены в таблице 2. Нормальная система (3) согласно данным таблицы 2 имеет вид
В результате решения имеем a=0, 09623; b=0, 02492 Значение параметров
Таблица 2 – Износ коренных шеек коленчатого вала двигателя Д-240 от наработки
Эмпирическое уравнение линейной функции имеет вид:
Квадратичная функция Эмпирическую формулу нужно искать в виде квадратичной функции
Сумма квадратов отклонений имеет вид
Частные производные по Приравнивая частные производные нулю, получим
При составлении нормальной системы данные опыта удобно свести в таблицу 3.
Таблица 3 – Экспериментальные данные в общем виде
Решая нормальную систему, найдём значения a, b, c для эмпирической формулы. Параметры уравнения параболы второго порядка можно определить по следующим формула:
где
Рассмотренный приём можно использовать для аппроксимации опытных данных многочленами более высоких степеней. Коэффициенты многочлена в этом случае так же определяют из системы уравнений, получаемых приравниванием к нулю частных производных от суммы квадратов отклонений по соответствующим параметрам. Этот метод можно применять и в том случае, когда аппроксимация неполиноминальная. Гиперболическая функция Уравнение гиперболической функции
Сумма квадратов отклонений имеет вид
Приравнивая их к нулю, получим
При вычислении коэффициентов данные удобно свести в таблицу 4. Таблица 4 – Экспериментальные данные в общем виде
Числовые значения параметров a и b найдём путем решения системы уравнений (9). Параметры a и b уравнения (9) можно определить по формулам:
где Показательная функция Данные опыта могут быть аппроксимированы показательной кривой Для получения параметров
Сумма квадратов отклонений
Частные производные по
Приравнивая частные производные к нулю, имеем
Для решения системы удобно составить таблицу 5. Таблица 5 – Экспериментальные данные в общем виде
Найденные из нормальной системы (12) значения Показательная функция Экспериментальные данные могут быть аппроксимированы показательной кривой в виде Прологарифмируем это выражение по основанию e Сумма квадратов отклонений
Частные производные по основаниям b и ln a
Приравняв частные производные к нулю, имеем
Для решения системы уравнений удобно свести данные в таблицу 6. В результате решения нормальной системы (15) можно найти b и ln a, а по таблице антилогарифмов найти a. Так как экспериментальные данные получаются с определенной погрешностью, следует стараться получить достаточно большое их число. При этом случайные ошибки отельных измерений погашают друг друга и решение, найденное по методу наименьших квадратов, становится более достоверным.
Таблица 6 – Экспериментальные данные в общем виде
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Тимирязев К.А. Наука и демократия. М.: Сельхозгиз, 1963. – 346с. 2. Павлов И.П. Избранные труды. М.: Учждгиз, 1964. – с.37. 3. Капустин В.П. Основы научных исследований и патентоведения: лекции к курсу. Тамбов. – 1996. – 84с. 4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука 1981. – 719 с. 5. Доспехов Б.А. Методика полевого опыта. – М.: Агропромиздат, 198. – 31 с. 6. Кравченко В.С., Трубилин Е.И., Курасов В.С., Куцеев В.В. Основы научных исследований: Учебное пособие / КГАУ, Краснодар. – 2002. - 126 с. 7. Королюк В.С., Портенко Н.И., скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. – 640 с. 8. Рябушкин Т.В., Ефимова М.Р., Ипатова И.М., Яковлева Н.И. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 1981.-279 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1 – Значения t - критерия (Стьюдента)
Таблица 2. Значения F – критерия (Фишера) на 5 %-ном уровне значимости
Таблица 3. Значения
Таблица 4. Значения функции Лапласа Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-10; Просмотров: 791; Нарушение авторского права страницы
выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений, замеряемая по оси y является наименьшей.
, представляющих данные эксперимента – таблица 1.
(1)
принимало минимальное значение.
на прямой 
соответствует точка 
- рисунок 1.
.
(2)
, 
.
(3)
.
и 
есть прямая наилучшего приближения к точкам 
по критерию метода наименьших квадратов. Эту прямую так же называют линией регрессии 
на 
.
(4)
, 
, тыс. мотто-ч
, мм
(5)
(6)
, 
и 
, 
, 
. 
, 
, (7)
.
, 
, 
, 
; 
; 
; 
, 
число членов эмпирической зависимости; 
значение зависимой переменной y, корреляционно связанной с независимой переменной X; 
отклонение членов ряда независимой переменой X от их средней x, отнесённые к значению промежутка между членами ряда x, то есть 
. При нечётном числе членов ряда отклонения x выражается числами 0, 1, 2, 3…, а при чётном числе членов – 0, 54 1; 1, 5; 2, 5; 3, 5…
(8)
(9)
; 
; 
(10) 
и 
.
(11)
(12)
( 13)
(14)
.
(15)
- критерия (Пирсона)