КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЛИНЕЙНАЯ (ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ) КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ

Общие положения

Под линейной (прямолинейной) корреляционной зависимостью между двумя признаками X и Y понимают такую зависимость, которая носит линейный характер и выражается уравнением прямой линии.

(1)

Это уравнение называется уравнением регрессии Y и X, а соответствующая ему линия – выборочной линией регрессии Y на X.

Порядок выполнения работы

Исходные данные для расчетов приведены в приложении 6.

Пример. Провести корреляционный и регрессионный анализ данных по определению относительной влажности X и липкости Y чернозема, полученные при изучении налипания почвы на рабочие органы (стойки) культиваторных лап. Полученные данные парных значений признаков приведены в таблице 1.

Коэффициент корреляции определяется по выражению

(2)

Вычислим вспомогательные величины. При расчете учтем, что число пар наблюдений∑ XY=2011, 19

Таблица 1 – К расчету корреляции и регрессии Y по X (n=12)

Номер пары	Значение признаков			XY
X, %	Y, г/см²

	19, 9	0, 0	396, 01	0, 00	0, 00
	20, 9	0, 6	436, 81	0, 36	12, 54
	26, 1	1, 1	681, 21	1, 21	28, 71
	29, 4	1, 2	864, 36	1, 44	35, 28
	30, 5	1, 7	930, 25	2, 89	51, 85
	40, 3	1, 7	1624, 09	2, 89	68, 51
Окончание таблицы 1

	44, 8	2, 6	2007, 04	6, 76	116, 48
	47, 8	3, 4	2284, 84	11, 56	162, 52
	55, 6	4, 2	3091, 36	17, 64	233, 52
	58, 3	5, 8	3398, 89	33, 64	338, 14
	64, 2	6, 3	4121, 64	39, 69	404, 465
	76, 6	7, 3	5867, 56	53, 29	559, 18
Сумма

(3)

514, 7: 12=42, 87%

(4)

35, 9: 12=2, 99 г/

Для удобства расчетов занесем в таблицу 1 значение X², Y² и XY

Подставим полученные данные в выражение (2)

Коэффициент регрессии определим по выражению

(5)

г/см².

Уравнение регрессии в каноническом виде имеет вид

(6)

Отсюда

(7)

Стандартную ошибку коэффициента корреляции определяем по формуле

(8)

Ошибку коэффициента регрессии найдем по выражению

(9)

г/см².

Ошибка отклонения от регрессии определяется по формуле

(10)

г/см².

Критерий значимости рассчитывается по выражению

(11)

Количество степеней свободы составит

Критерий Стьюдента при 5%-ом уровне значимости в этом случае составит – см. таблицу 1 приложения.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. КРИВОЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ.

Общие положения

Если связь между изучаемыми явлениями существенно отклоняется от линейной, что легко установить по виду корреляционной решётки или по точечному графику, то коэффициент корреляции непригоден в качестве меры связи. Он может указать на отсутствие сопряжённости там, где налицо сильная криволинейная зависимость. Поэтому необходим такой показатель, который измерял бы степень криволинейной зависимости. Таким показателем является корреляционное отношение, обозначаемое греческой буквой (эта).

Порядок выполнения работы

Исходные данные для расчёта приведены в приложении 6.

Пример. По малой выборке ( ) определить корреляционное отношение и построить линию регрессии, характеризующую потери аммиака от испарения в зависимости от концентрации его в поливной воде. Исходные данные приведены в таблице 2.

В таблице 2 значения независимой переменной располагаются последовательно от меньшей величины к большей, а весь ряд значений разбивается на 4-7 групп, чтобы в каждой группе независимого признака было не менее двух наблюдений. При этом интервалы групп могут быть различны по величине. Данные таблицы 2 разобьём на пять групп.

Составим вспомогательную таблицу 3 и вычислим суммы квадратов отклонений и средние.

Таблица 2 – Потери аммиака от испарения в зависимости от концентрации его в поливной воде

Номер пары	Концентрация аммиака в поливной воде , кг на 100	Потери , %	Группа

Таблица 3 – Вспомогательная таблица к расчёту корреляционного отношения

№ пары		Групповая средняя	Групповая средняя
	3	3, 5		1, 00 -1, 00	1, 00 1, 00	14, 25 12, 25	203, 06 150, 06
	5	5, 5	14, 5	0, 50 -0, 50	0, 25 0, 25	3, 25 4, 25	10, 56 18, 06
	8	8, 0	11, 5	0, 50 -0, 50	0, 25 0, 25	1, 25 0, 25	1, 56 0, 06
	17	17, 67	6, 33	-1, 33 0, 67 0, 67	1, 77 0, 45 0, 45	-5, 75 -3, 75 -3, 75	33, 06 14, 06 14, 06
	25	32, 33	3, 33	1, 67 -0, 33 -1, 33	2, 79 0, 11 1, 77	-5, 75 -7, 75 -8, 75	33, 06 60, 06 76, 56
-

Определим квадрат корреляционного отношения

(12)

или %

Корреляционное отношение найдём по выражению

(13)

Ошибку корреляционного отношения определим по формуле

(14)

Определяем критерии существенности корреляционного отношения

(15)

При числе степеней свободы табличное значение критерия Стьюдента составит

Так как , то нулевая гипотеза отклоняется, и считаем доказанным наличие криволинейной зависимости.

Доверительный интервал для корреляционного отношения

Точки с координатами (3, 5 и 24, 0), (5, 5 и 14, 5), (8 и 11, 5), (17, 67 и 6, 33), (32, 33 и 3, 33) наносим на график и соединяем их плавной линией – рисунок 2.

Рисунок 2 – График потерь аммиака в зависимости от его концентрации

Кривая на рисунке 2 и есть линия регрессии по . Она показывает, что потери аммиака из поливной воды резко возрастают, когда концентрация его в поливной воде составляет менее 15 кг на 100 м³.

РАСЧЁТНАЯ РАБОТА № 8

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 Следующая ⇒