ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ И ПОЛИГОНА ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Общие положения

Многие исследования в области механизации сельского хозяйства сопровождаются сбором обширного цифрового материала. К таким исследованиям относятся: изучение размерно-массовой характеристики семян для определения параметров рабочих органов высевающих аппаратов посевных машин; анализ различных смесей семян с целью подбора рабочих органов для их разделения; определение размерной характеристики убираемой культуры для обоснования высоты среза и т.п. Такие исследования требуют не только сбора обширного цифрового материала, но и представление его в удобном для математической обработки виде, [6, 7, 8]. Результаты изучения размерно-массовой характеристики какой-либо сельскохозяйственной культуры чаще всего представляют в виде вариационных кривых. Анализ вариационных кривых начинается с построения гистограммы и полигона. В настоящей работе рассматривается высота стеблей яровой пшеницы. Этот параметр во многом определяет высоту установки мотовила над режущим аппаратом, его вынос, частоту вращения мотовила и скорость зерноуборочного комбайна.

Цель работы – построение гистограммы и полигона эмпирического распределения, а также определение основных статических характеристик выборки.

Порядок выполнения работы

Исходные данные для расчетов приведены в приложении 2.

Порядок выполнения работы изложим на конкретном примере.

Пример. Измерена высота стеблей 100 растений яровой пшеницы.

Полученные данные занесем в таблицу 1.

Таблица 1 - Высота стеблей яровой пшеницы, см

№ пп	Значение	№ пп	значение	№ пп	значение	№ пп	значение	№ пп	значение






Окончание таблицы 1

Определим размах варьирования результатов измерения по следующему выражению

, (1)

где – размах варьирования, см;

– соответственно максимальное и минимальное значения высоты стеблей яровой пшеницы, см.

см.

Сгруппируем все полученные значения в k групп. Ориентировочно число групп равно корню квадратному из объёма выборки, и оно должно быть не меньше 5, но не более 20.

Величину интервала групп определим по соотношению

(2)

(3)

где i–величина интервала, см;

- число групп.

В нашем случае целесообразно взять семь групп. В этом случае получим

Подготавливаем макет таблицы 2 сгруппированного распределения частот результатов измерений. При записи в таблицу интервалов следует обратить внимание на то, чтобы верхняя граница группы была меньше, чем нижняя граница, прилегающей соседней группы на единицу измерения. В данном примере на 1 см.

Заполним 1-3 столбцы таблицы 2.

Графическое изображение вариационного ряда называется вариационной кривой. Ступенчатый график в виде столбиков, имеющих высоту, пропорциональную частотам называется гистограммой. Соединив средние значения групп, получим кривую распределения, называемую полигоном.

По полученным данным построим гистограмму и полигон эмпирического распределения – рисунок 1.

Далее заполняем 4-7 столбцы таблицы 2.

Определим основные статистические характеристики анализируемой выборки.

Стандартное отклонение в самом общем случае определяется по выражению.

Таблица 2 Расчет квадратов суммы отклонений

Интервал Частота Среднее значение по группе

[45-54] 81, 6-50=31, 6

[55-64] 81, 6-60=21, 6

[65-74] 81, 6-70=11, 6

[75-84] 81, 6-80=1, 6

[85-94] 81, 6-90=-8, 4 -

[95-104] 81, 6-100=-18, 4

[105-115] 81, 6-110=-28, 4

Итого 100 - 12544, 00

см

, (4)

где –стандартное отклонение, см;

– соответственно текущее и среднее значения высоты стеблей яровой пшеницы, см;

- объем выборки.

При наличии сгруппированных частот стандартное отклонение определяется по формуле

(5)

где – частота, с которой встречаются значения - го интервала.

Подставив данные из таблицы 2 в выражение (5) получим

см.

Рисунок 1 – Гистограмма и полигон эмпирического распределения

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №3

ПРОВЕРКА ОСНОВНОЙ ГИПОТЕЗЫ

Общие положения

Основной (нулевой) гипотезой называют гипотезу об отсутствии реального различия между двумя сравниваемыми вариационными рядами: эмпирическим и теоретическим или двумя эмпирическими.

Для оценки соответствия эмпирического распределения теоретическому используют критерий согласия (подобия) , закон распределения которого открыл К. Пирсон. Кривая распределения, полученная из функции имеет вид:

, (1)

где – фактическая частота численности объектов выборки; – гипотетическая (теоретическая) частота объектов выборки.

Гипотеза опровергается, если , и не опровергается, если .

Фактическая частота численности объектов и определенной части известна из эмпирического распределения. Гипотеза о нормальном характере распределения частот позволяет вычислить теоретические их значения для вероятности попасть в –интервал.

Для этого используется следующее выражение:

, (2)

где и – концы рассматриваемого интервала; , –параметры распределения, среднее и стандартное отклонение соответственно.

Самым строгим и надежным критерием согласия при обработке сгруппированных данных является критерий Пирсона:

, (3)

где – фактическая частота попадания в – интервал;

- теоретическая частота попадания в – интервал;

– общее количество частот.

При условии эта величина имеет приблизительно –распределение с количеством степеней свободы , где –количество интервалов.

Цель работы – рассчитать критерий Пирсона для эмпирического вариационного ряда и проверить основную гипотезу.

Порядок выполнения работы

Для примера воспользуемся данными второго занятия. Перенесем из второй работы (таблица 2) во вновь составленную таблицу 1 первые две графы: интервалы группировки и частоту попадания в каждый интервал.

Таблица 1 – К расчету критерия Пирсона

Интервал группировки	Фактическая частота,	Теоретическое значение , попадающие в соответствующий интервал

45-54		0, 65	0, 0814
55-64		5, 03
65-74		18, 06	0, 4786
75-84		30, 56	2, 9160
85-94		24, 64	0, 1092
95-104		9, 37	0, 0002
105-115		1, 68

В третьей графе приведены теоретические значения , попадающие в соответствующий интервал. Вероятности вычислим в предположении, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение с параметрами см и см (из предыдущей работы №2). Вероятность определим по формуле (2), где и – границы соответствующего интервала. Значения функции Лапласа принимаем по таблице 4 приложения.