ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Общие положения

Сущностью дисперсного анализа является расчленение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части – компоненты, соответствующие структуре эксперимента и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F – критерию.

Дисперсия – это частное от деления суммы квадратов отклонений текущих значений от среднего на число степеней свободы. Число степеней свободы каждой дисперсии равно количеству всех измерений без единицы (на каждую дисперсию наложена одна связь).

Для определения суммы квадратов отклонений используется следующее выражение

(1)

Вторая часть этой формулы сильно облегчает работу по вычислению дисперсии с многозначными членами.

Цель работы – оценить существенность разности между двумя выборками, используя методику однофакторного дисперсионного анализа.

Порядок выполнения работы

Исходные данные для расчетов приведены, в приложении 4.

Расчет проведем для однофакторного опыта, в котором сравниваются два варианта. Общее число наблюдений равно восьми – по четыре в каждом варианте.

Пример 1. Было определенно дробление зерна кукурузы при уборке ее комбайнами СК-5М-1 «Нива» и Дон-1500, соответственно с кукурузоуборочными приставками ППК-4

и КМД-8. Независимость выборок обеспечивать отбором проб в случайном порядке.

Полученные опытные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1 Дробление зерна кукурузы

Варианты	Дробление, %	Сумма по вариантамV	Среднее по вариантам
1.Нива СК-5	7, 7, 9, 5
2.Дон-1500	3, 1, 5, 3
Общая сумма	Общее среднее

В этом эксперименте возможна лишь одна группировка исходных данных – по вариантам. Находим суммы и средние по вариантам, общую сумму и общую среднюю по опыту. Варьирование дробления, то есть отклонение его общей средней обусловлено здесь двумя компонентами – эффектами вариантов и случайным варьированием. Других источников вариации дробления зерна в опыте нет.

Следовательно, общее варьирование C_Y_, которое измеряется суммой квадратов отклонений дробления от общей средней состоит из варьирования вариантов C_V и случайного варьирования C_z.

Модель дисперсионного анализа данных этого опыта имеет вид

С_Y=C_V+C_Z (2)

Определяем общую сумму квадратов отклонений

, (3)

Эту же величину мы получим, если воспользуемся второй частью выражения (1)

, (4)

Второй член этого выражения носит название корректирующего фактора С.

Следовательно, выражение (4) примет вид

C_Y = ∑ X²–C, (5)

∑ X² = 7² + 7² + 9² + 5² + 3² + 1² + 5² + 3²=248

Подставим полученные данные в выражение (5)

C_Y = 248 – 200 = 48

Общее число степеней свободы для этой группировки составляет

N – 1 = 8 – 1 = 7

Для определения суммы квадратов отклонений по вариантам вместо каждого значения X в таблицу 1 подставим среднее соответствующих вариантов.

Таблица 2 – Дробление зерна кукурузы

Вариант	Дробление, %	Сумма по вариантам V	Среднее
	7, 7, 7, 7
	3, 3, 3, 3
Общая сумма	Общее среднее

Подставляя вместо фактических данных X среднее по вариантам X_V _,мы тем самым устраняем случайную вариацию внутри вариантов выборки.

Сумму квадратов отклонений для вариантов находим по соотношению

, (6)

Это же само можно найти и менее громоздким способом, минуя вычисления средних. Для этого достаточно использовать выражение

, (7)

Отсюда

Разность между общим варьированием и варьированием вариантов даёт сумму квадратов отклонений для ошибки

С_Z=C_Y+C_V, (8)

С_Z= 48 – 32.

Общее число степеней свободы N – 1 = 8 – 1 = 7 также расчленяются на две части:

степени свободы для вариантов

Ɩ – 1 = 2 – 1 = 1,

степени свободы для ошибок

N – Ɩ = 8 – 2 = 6.

Для вычисления фактического критерия существенности находим два средних квадрата (дисперсии).

Для вариантов

(9)

Для ошибки

, (10)

Определяем критерии существенности

(11)

Сравним полученное значение с табличным при 5%-ном уровне значимости для одной степени свободы вариантов (числитель) и шести степеней свободы ошибки (знаменатель)

F_ф=11, 09 ˃ F_{0, 05} = 5, 99.

Следовательно, варианты в опыте различаются существенно, и таким образом, нулевая гипотеза отвергается.

Определяем наименьшую существенную разность для 5%-ного уровня значимости

(12)

Теоретическое значение критерия Стьюдента t₀₅ = 2, 45 находим по таблице приложений для шести степеней свободы ошибки и 5%-ного уровня зависимости.

Следовательно

Таким образом, комбайн Дон-1500 дробит зерно существенно меньше, чем комбайн СК-5М-1.

Пример 2. Рассмотрим теперь схему дисперсного анализа простой модели однофакторного полевого опыта, заложенного методом рендомизированных повторений. Для этого воспользуемся цифровыми данными приведенного выше примера.

Изучалось влияние на урожайность пшеницы способов обработки почвы. Варианты 1 и 2 – это способы обработки почвы (1 – отвальная пахота, 2 – весенняя обработка почвы).

В этом случае возможна уже двойная группировка данных: по повторениям и вариантам.

Таблица 3 – Урожайность пшеницы, т/га

Варианты Повторения X Суммы по вариантам V Среднее по вариантам

I II III IV

Суммы по повторениям ∑ X = 40

Среднее по повторениям - -

В этом опыте варианты связаны общим контролируемым условием – наличием организованных повторений.

Схема дисперсионного анализа

C_Y = C_P + C_V + C_Z, (13)

Для определения варьирования повторений вместо исходных данных в таблицу 3 подставим средние значения урожайности по повторениям – таблица 4.

Таблица 4 – Урожайность пшеницы, т/га

Варианты	Повторения X	Суммы по вариантам V	Среднее по вариантам
I	II	III	IV


Суммы по повторениям				∑ X = 40	X = 5
Среднее по повторениям				-	-

Подставляя вместо фактических данных средние по повторениям, мы устраняем вариацию, связанную с действием вариантов и ошибки.

Находим отклонение повторений от их общей средней, а так же сумму квадратов отклонений повторений.

(14)

Эту же сумму мы получим, если воспользуемся выражением

(15)

С_Р = (10² + 8² + 14² + 8²): 2 – 200 = 212 – 200 = 12.

Сумма квадратов отклонений для вариантов нами определена ранее (в 1-ом примере она равна C_V = 32).

Случайное варьирование (ошибки) находим по выражению

C_Z = C_Y + C_P + C_V , (16)

C_Z = C_Y + C_P + C_V = 48 – 12 – 32 = 4.

Общее число степеней свободы в однофакторном полевом опыте, поставленном в четырех рендомизированных повторениях, также разделим на три части:

для повторений

(n – 1) = 4 – 1 = 3,

для вариантов

( l – 1) = (2 – 1) = 1,

для ошибки

Общее число степеней свободы

N – 1 = 8 – 1 = 7.

Определяем дисперсии вариантов, ошибки и фактический (расчетный) критерий Фишера.

, (17)

, (18)

Расчетный критерий Фишера определяем по выражению

(19)

По таблице 2 приложения для одной степени свободы вариантов (числитель) и трех степеней свободы ошибки (знаменатель) при 5%-ном уровне значимости теоретическое значение критерия Фишера равно

F₀₅ = 10, 1.

Отсюда

F_ф = 24, 1 ˃ F₀₅ = 10, 1

Следовательно, нулевая гипотеза отвергается. Разница в вариантах существенна.

Наименьшую существенную разность определяем по выражению (12). Теоретическое значение критерия Стьюдента t₀₅ =3, 18 находим по таблице 1 приложения для трех степеней свободы ошибки и 5%-ном уровне значимости.

т.

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №6

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 Следующая ⇒