ТРЕХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Общие положения

Многофакторный дисперсионный комплекс – это совокупность исходных наблюдений (измерений), позволяющих статистически оценить действие и взаимодействие нескольких изучаемых факторов на изменчивость результатов признака.

Статистическую обработку данных в этом случае проводят в следующей последовательности:

1. Заносят исходные данные в таблицу, определяют средние суммы.

2. Вычисляют суммы квадратов для общего варьирования C_Y, варьирования повторений C_P, вариантов C_V и остатка C_Z, то есть обрабатывают данные, так же как и результаты однофакторного опыта.

3. Общее варьирование вариантов C_V разлагают на компоненты – главные эффекты изучаемых факторов и их взаимодействия.

4. Составляют таблицу дисперсионного анализа и проверяют нулевую гипотезу о существенности действия и взаимодействия фактора по F – критерию.

Цель работы – изучить методику дисперсионного анализа данных многофакторного эксперимента.

Порядок выполнения работы

Исходные данные для расчетов приведены в приложении 5.

Пример. В лабораторно-полевом опыте изучалась степень очистки початков кукурузы от оберточных листьев. Исследовалось влияние трех факторов: А – скорость кукурузоуборочного агрегата ( V, км/ч); B – угол наклона русел початкоотделяющего аппарата ( , град); C – частота вращения протягивающих вальцов ( ). Каждый фактор варьировался на двух уровнях.

То есть мы имеем типичный трехфакторный опыт на двух градациях каждого фактора. Первичные опытные данные приведены в таблице 1.

В таблице 1 определяем суммы и средние. Правильность вычислений проверим по соотношению

(1)

Далее рассчитаем суммы квадратов отклонений

Общее число наблюдений

(2)

Число степеней свободы

Корректирующий фактор

(3)

Общая сумма квадратов

(4)

Число степеней свободы

Сумма квадратов для повторений

(5)

Число степеней свободы

Суммы квадратов для вариантов

(6)

Число степеней свободы

Сумма квадратов отклонений для остатка

(7)

Число степеней свободы

Таблица 1 – Влияние изучаемых факторов на степень очистки початков от оберточных листьев, %
Факторы	Повторения	Суммы, V	Средние
A	B	C
			38, 2	44, 7	26, 2	109, 1	36, 4
	57, 7	57, 8	51, 2	160, 7	53, 6
		47, 7	61, 8	57, 9	167, 4	55, 8
	48, 8	50, 0	50, 8	149, 6	50, 0
			32, 2	33, 3	33, 3	98, 8	32, 9
	62, 3	50, 0	58, 0	170, 3	56, 8
		44, 9	50, 0	40, 0	134, 9	45, 0
	62, 0	52, 5	62, 0	176, 5	58, 8
Суммы P	387, 8	400, 1	379, 4

Следующий этап – определение сумм квадратов AB, AC, BC и ABC. Для этого на основании таблицы 2 составим вспомогательную таблицу 3, в которую из таблицы 1 выпишем суммы по вариантам и определим суммы для главных эффектов и взаимодействий, исключая действия разных факторов.

Вычисляем суммы квадратов отклонений для факторов A, B, C (главных эффектов) и парных взаимодействий AB, AC, BC

(8)

При степени свободы.

(9)

при степени свободы.

(10)

при степени свободы.

Таблица 2 – Расчетные формулы для определения главных эффектов и взаимодействий

Суммы по вариантам Суммы сумм по факторам и взаимодействиям

A B C A B AB AC BC

Суммы сумм C - - - - -

(проверка)

Таблица 3 – Определение главных эффектов и взаимодействий

Суммы по вариантам Суммы сумм по факторам и взаимодействиям

A B C A B AB AC BC

109, 1 160, 7 586, 8 538, 9 269, 8 276, 5 207, 9

167, 4 149, 6 310, 3

98, 8 170, 3 580, 5 628, 4 269, 1 233, 7 302, 3

134, 9 176, 5 311, 4 346, 8 326, 1

Суммы сумм 510, 2 657, 1 - - - - -

проверка 1167, 3 1167, 3 1167, 3 1167, 3 1167, 3 1167, 3

(11)

при степени свободы.

(12)

при степени свободы.

(13)

при степени свободы.

(14)

при 1 степени свободы.

Теоретическое значение F – критерия при 5 %-ном уровне значимости, одной степени свободы для главных эффектов и взаимодействий, 14 степеней свободы для остатка (ошибки) равно 4, 60 – см. таблицу 2 приложения.

Результаты расчетов сведем в таблицу 4.

Таблица 4 – Результаты дисперсионного анализа

Дисперсия Сумма квадратов Степени свободы Средний квадрат

Общая 2473, 58

Повторений 27, 10

Скорости A 1, 66 1, 0 1, 66 0, 05 4, 60

Угла B 333, 76 1, 0 333, 76 9, 88 4, 60

Частоты вращения C 899, 15 1, 0 899, 15 26, 61 4, 60

Взаимодействие AB 1, 00 1, 0 1, 00 0, 03 4, 60

Взаимодействие AC 262, 02 1, 0 262, 02 7, 75 4, 60

Взаимодействие BC 410, 86 1, 0 410, 86 12, 16 4, 60

Взаимодействие ABC 65, 00 1, 0 65, 00 1, 92 4, 60

Остаток (ошибка) 473, 03 33, 79

Определим наименьшую существенную разность. Значение t – критерия при 5 %-ном уровне значимости и 14 степенях свободы ошибки составит 2, 15 (таблица 1 приложения).

Для частных различий

(15)

Для главных эффектов

(16)

(17)

Из сравнения дисперсий следует (по таблице 4 при условии ), что существенно влияют на степень очистки початков: угол наклона русел; частота вращения вальцов; взаимодействия скорости и частоты, угла и частоты.

Влияние факторов

(18)

Влияние повторений

(19)

Влияние случайных факторов

(20)

Доверительный интервал для коэффициента регрессии

Так как , то корреляционная связь существенна.

По уравнению регрессии (7) рассчитываем усреднённые теоретические значения (минимум и максимум), подставляя в уравнение координаты и .

,

,

Найденные точки (19, 9; 0.007) и (76, 6; 7, 378) наносят на график и соединяют их прямой, получают теоретическую линию регрессии – рисунок 1.

Рисунок 1 – График прямолинейной регрессии .

График регрессии показывает, что увеличению влажности почвы на 1% соответствует увеличение липкости в среднем на .

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции

Судя по коэффициенту детерминации, примерно 95% изменений в липкости обусловлено изменениями во влажности почвы и только 5% изменений связано с другими факторами.

Чтобы ограничить доверительную зону необходимо вверх и вниз от теоретической линии регрессии отклонить величину одной (68%-ая зона) или двух(98%-ая зона) ошибок отклонений от регрессии , то есть или и провести пунктирные линии.

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №7

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 Следующая ⇒