Реализация метода разностной прогонки для уравнения параболического типа

Рассмотрим задачу на примере краевой задачи (9.7). Выберем равномерную прямоугольную сетку, определим узлы по правилу:

x_m=m h, m = 0, 1, …, M, h = 1/M> 0,

t_n=n t, n = 0, 1, …, N, t > 0, Nt £ T < (N+1) t.

Будем использовать неявную разностную схему (9.9), которая аппроксимирует задачу (9.7) с погрешностью O(t+h²) и является абсолютно устойчивой.

Положим в (9.9) n=0, получим:

Перепишем в следующем виде, обозначив:

s - (1+2s) + s =-t - , m=1, 2, …, M-1, (9.10)

(0 £ m £ M) - искомое решение задачи на первом слое по времени.

Предположим, что между соседними значениями этого решения существует связь:

=a_i +b_i, i=0, 1, …, M-1, (9.11)

где a_i, b_i - некоторые числовые коэффициенты. При i=0 определим a₀, b₀ таким образом, чтобы выполнялось левое граничное условие =m₁(t). Для чего достаточно положить a₀=0, b₀=m₁(t). Возьмем i=m-1. Значение , определяемое по формуле =a_m-1 +b_m-1, подставим в (9.10) и преобразуем опять к виду (9.11), получим вид прогоночных коэффициентов a_m, b_m:

a_m = , b_m= , m=1, …, M-1. (9.12)

Определение прогоночных коэффициентов по формулам (9.12) для m=1, …, M-1 называется прямым ходом метода прогонки. По условию задачи . Обратный ход метода прогонки заключается в вычислении значений функции U¹_i , для i=M-1, M-2, …, 1 по формуле (9.11). Далее переходим на следующий слой по времени и т. д.

Задание

1. Используя разностные аналоги производных, получить для своего варианта разностную схему и найти решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа (теплопроводности).

2. Исследовать схему на аппроксимацию и устойчивость.

Варианты

1. ; U(x, 0)=x; U(1, t)=1+t; U(2, t)=2-t; h=0, 1; T=1.

2. ; U(x, 0)=x²; U(0, t) = t; U(1, t)=1+ t; h=0, 1; T=1.

3. ; U(x, 0)=x+1; U(0, t)=1; U(1, t)=2+t²; h=0, 1; T=1.

4. ; U(x, 0)=x²; U(0, t)=0; U(1, t)=1; h=0, 1; T=1.

5. ; U(x, 0)=x+1; U(0, t)=1; U(1, t)=2+t²; h=0, 1; T=1.

6. ; U(x, 0)=x²; U(0, t)= t; U(1, t)=1+t; h=0, 1; T=1.

7. ; U(x, 0)=x+1; U(0, t)=1; U(1, t)=2+t²; h=0, 1; T=1.

8. ; U(x, 0)=(1, 1x²+1, 2) sin(p x); U(0, t)=0; U(2, t)=0; h=0, 1; T=1.

9. ; U(x, 0)=x+1; U(0, t)=1; U(1, t)=2+t²; h=0, 1; T=1.

10. ; U(x, 0)=(1, 3x²+1, 2 )sin(px); (0, t)=0; (1, t)=0; h=0, 1; T=1.

Решение уравнения эллиптического типа

Задача Дирихле для уравнения Пуассона

=f(x, y) (9.13)

заключается в нахождении функции U=U(x, y), удовлетворяющей данному уравнению (9.13) внутри некоторой области G={0 < x< a, 0 < y< b}, а на границе этой области Г - заданному условию:

U|_Г=j(M),

где j - известная функция, M – точка контура Г. Считаем, что задача имеет единственное решение в области с границей Г, и это решение непрерывно в области со своими производными до четвертого порядка включительно.

Выберем прямоугольную сетку, положив:

x_m=m h, m = 0, 1, …, M, h = a/M> 0,

y_n=n l, n = 0, 1, …, N, l=b/N> 0.

Для аппроксимации уравнения (9.13) используем пятиточечный шаблон. Запишем разностную схему для задачи Дирихле:

L_h(U_h ) = f^(h), (9.14)

где

L_h(U_h )º

и правая часть

f^(h)º

Разностная схема (9.14) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Число уравнений этой системы равно (M-1)х(N-1), столько же неизвестных U_{m n}, m=1, …, M-1, n=1, …, N-1. Разностная схема устойчива и аппроксимирует данную задачу с погрешностью порядка О(h²). Для решения подобных систем линейных алгебраических уравнений, определяемых формулой (9.14), разработан метод матричной прогонки.

Метод матричной прогонки

Запишем разностную схему (9.14) в виде:

U_{m+1 n} - 2U_{m n} + U_{m-1 n}+a (U_{m n+1}-2U_{m n}+U_{m n-1} )=h²f(x_m, y_n), (9.15)

m=1, 2, …, M-1; n=1, 2, …, N-1;

U_0n=j(0, y_n); U_mn=j(a, y_n); n=1, 2, …, N-1

U_m0=j(x_m, 0); U_mn=j(x_m, b); m=1, 2, …, M-1, где a=h²/l²> 0.

Введем обозначение:

U_m =(U_{m 1,} U_{m 2, …,} U_{m N-1})^T, m=1, …, M. (9.16)

Положим в формулах (9.15) n=1, 2, …, N-1 и, используя (9.16), запишем систему уравнений (9.15) в векторной форме:

U_m+1+AU_m+U_m-1=f_m , m = 1, 2, …, M-1 (9.17)

U₀=j₀; U_M=j_a ,

где A – трехдиагональная матрица порядка M-1 c диагональным преобладанием, т. к. |1+a|> |a|, a> 0.

A= ,

f_m = , j₀ = , j_a = .

Задача (9.17) аналогична задаче в п.9.3.3, отличие состоит лишь в том, что она имеет векторную форму. Предполагаем, что между соседними значениями векторов этого решения U_m существует связь

U_k=R_kU_k+1+S_k, k=0, 1, …, M-1, (9.18)

где R_k – это матрицы, S_k – векторы.

При k=0 R₀=0 U₀=j₀, S₀=j₀ - задано. Возьмем k=m-1, запишем (9.18), подставим в (9.17), затем опять преобразуем к виду (9.18). Получим соотношения для вычисления матриц и векторов

U_m = -U_m+1 (A + R_m-1 )^-1 +(f_m - S_m-1 ) (A + R_m-1)^-1, m=1, 2, …, M-1.

Вычислим матрицы R_k = - ( A + R_k-1)^-1 и векторы S_k= R_k (S_k-1-f_k), для k=1,.., M-1. Что позволит, используя данное значение вектора на границе U_M=j_a, вычислить последовательно искомые значения вектора решения по формуле

U_m = R_mU_m+1 + S_m, для m=M-1, M-2, …, 1 .

Задание:

1. Методом матричной прогонки найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в единичном квадрате с вершинами в точках A(0; 0), B(0; 1), C(1; 1), D(1; 0) ( h=0, 2).

Варианты

№	U|AB	U|BC	U|CD	U|AD
	30y	30(1-x2)
	20y	30сos( )	30cos( )	20x2
	50y(1-y2)			50sin(px)
	20y		20y2	50x(1-x)
		50x(1-x)	50y(1-y2)	50x(1-x)
	30sin(py)	20x	20y	30x(1-x)
	40y2			40sin( )
	30y2	30(1-x)		40x2(1-x)
		50sin(px)	50y(1-y2)
	20 sin(py)	30x	30y	20x(1-x)
	30cos( )	20x(1-x)	25y(1-y2)	30(1-x2)
	10 y2(1-y)	30sin(px)		15x(1-x2)
	25y	25(1-x2)	30 (1-y)

Список литературы:

1. Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобелькова. – М.: Наука, 1987.

2. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука. 1973.

3. Годунов С. К. Разностные схемы./ С. К. Годунов, С.В. Рябенький. – М.: Наука, 1973.

4. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

5. Самарский А. А. Численные методы. / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М.: Наука, 1989.

6. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений. / А. А. Самарский, Е.С. Николаев. – М.: Наука, 1978.

Содержание

Предисловие …………………………………………………………………3

Тема 1. Элементы теории погрешностей. 4

Задания. 6

Варианты.. 6

Тема 2. Интерполирование. 10

Задания. 15

Варианты функций. 15

Тема 3. Численное интегрирование. 16

Задания. 20

Варианты.. 20

Тема 4. Решение трансцендентных (нелинейных) уравнений. 22

Задания. 28

Варианты уравнений. 28

Тема 5. Решение спектральной задачи. 28

Задания. 32

Варианты матриц. 32

Тема 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений. 33

Задания. 43

Тема 7. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. 44

Задания. 46

Варианты.. 46

Тема 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. 47

Задания. 52

Варианты заданий. 53

Тема 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 54

Задание. 62

Варианты.. 62

Подписано к печати “_______” 2004 г. Печать офсетная. Бумага газетная.

Усл. печ. л. ___. Тираж 150 экз. Заказ № ______

Кемеровский госуниверситет. 650043 Кемерово, ул. Красная, 6

Отпечатано в издательстве «Кузбассвузиздат». Кемерово, ул. Ермака, 7.

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Популярное:

1. CПИСОК ТЕМ ДЛЯ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ
2. DOUBLE NEEDS PANG PANG ТУШЬ ДЛЯ РЕСНИЦ от TONY MOLY – 660 руб
3. E) для факторов - капитал и земля
4. I. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ
5. I.2. Самореализация подростков через творческую и культурно-досуговую деятельность.
6. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ.
7. III. Определите значимость для переводчика изучения особенностей литературного направления, к которому относится тот или иной автор.
8. III. Разделы, изученные ранее и необходимые для данного занятия (базисные знания)
9. IV. Здания для проживания людей
10. IX.3. Прелестные девушки для странных парней
11. MS Excel. Для автоматического построения диаграммы по выделенным данным
12. Q Часть 3. Интуитивные игры для ума